初高中数学暑假衔接材料：第05讲 充分条件、必要条件（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14第05讲充分条件、必要条件内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：充分条件与必要条件的关系判定题型2：数学文化背景下的条件关系问题题型3：充分、必要与充要条件的探究题型4：根据条件关系求解参数取值范围题型5：充要条件的双向论证题型6：条件关系与量词命题的综合应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航充分条件必要条件充要条件1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，掌握三类条件的定义与逻辑含义，明确条件与结论的推出关系。2.能准确判断两个命题之间的条件关系：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。3.掌握充要条件的证明方法，能完成简单的充要条件的双向证明过程。4.能根据充分条件、必要条件的逻辑关系，求解对应参数的取值范围。5.能结合集合的包含关系理解条件关系，掌握用集合思想快速判断条件关系的方法。学习重点：充分条件、必要条件、充要条件的核心概念，两类条件关系的基础判定方法。学习难点：充分条件与必要条件的逻辑区分，充要条件的双向严谨证明，根据条件关系求解参数取值范围，用集合思想处理复杂条件关系问题。

知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01充分条件与必要条件命题真假“若,则”是真命题“若,则”是假命题推出关系及符号表示由通过推理可得出,记作:由条件不能推出结论,记作:条件关系是的充分条件；是的必要条件不是的充分条件；不是的必要条件注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式．（2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”．即时即练已知a，b为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件知识点02充要条件如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件．注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若，则称是的充分条件，是的必要条件．②若，则是的充要条件．③若，且，则称是的充分不必要条件．④若，且，则称是的必要不充分条件．⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件．（2）“”的传递性若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件．即时即练已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件.

题型1：充分条件与必要条件的关系判定【典例1-1】（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例1-2】（2026·高一·浙江衢州·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2026·高一·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2026·高一·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型2：数学文化背景下的条件关系问题【典例2-1】（2026·高一·江苏·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2-2】（2026·高三·浙江·阶段检测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2026·高一·浙江温州·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-2】（2026·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型3：充分、必要与充要条件的探究【典例3-1】（2026·高一·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2026·高一·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【变式3-1】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．【变式3-2】（2026·高一·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．题型4：根据条件关系求解参数取值范围【典例4-1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围.【典例4-2】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【变式4-1】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【变式4-2】已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【变式4-3】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.题型5：充要条件的双向论证【典例5-1】已知，证明：“”是“”的充要条件.【典例5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是【变式5-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且.(1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是；(2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根.【变式5-2】设集合．(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．题型6：条件关系与量词命题的综合应用【典例6-1】设全集，集合，，其中．(1)若，求(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；(3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围．【典例6-2】（2026·高一·北京·期中）设全集，集合，集合.(1)若对任意，都有，求实数a的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【变式6-1】（2026·高一·江苏常州·期中）已知条件对任意，不等式恒成立；条件当时，函数.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【变式6-2】（2026·高一·河南南阳·期末）已知集合．(1)当时，求；(2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围．①；②；③是的充分条件．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【变式6-3】（2026·高一·广东中山·阶段检测）已知集合，(1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答）(2)若，求实数的取值范围.

1．（2026·高一·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2026·高一·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分3．（2026·高一·福建宁德·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）下列说法正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．设，则“”是“”的必要不充分条件C．“”是“”的充分不必要条件D．“”是“”的既不充分也不必要条件5．（2026·高一·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（多选题）（2026·高一·四川宜宾·期中）下列命题中为真命题的有（

）A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件.B．若是无理数，则也是无理数.C．若，则实数的值为1或2.D．，则的子集个数是4个.7．（多选题）（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）下列命题中为真命题的是（

）A．，B．是的充分不必要条件C．集合与集合表示同一集合D．设全集为，若，则8．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______.9．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．10．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________.11．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．12．（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或．(1)若，求实数的取值范围；(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．13．（2026·高一·上海·期末）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.14．（2026·高一·河南新乡·期中）已知集合，.(1)若，求的取值集合；(2)若是的必要条件，求的取值集合；(3)若，求的取值集合.15．已知全集，集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．16．已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.17．（2026·高一·江西九江·期末）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．（2026·高一·北京石景山·期末）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围.

第4章指数与对数单元测试卷建议用时：120分钟，满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（

）A．－5 B． C． D．5【答案】D【分析】根据指数、对数运算性质即可求解.【详解】.故选：.2．设，则下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数的运算性质可判断各选项的正误.【详解】对于A，，错误；对于B，，错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确，故选：D.3．下列式子中成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解.【详解】由可知，对于A，，，故A错误；对于B，时，，而无意义，故B错误；对于C，，，且，故C正确；对于D，时，，而无意义，故D错误；故选：C.4．已知a12−a−A．35 B．±35 C．215【答案】C【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得.【解答过程】由a12−a−故a1故a−故a2故选：C.5．若1<a<2，则31−a3+A．1 B．−1 C．3−2a D．2a−3【答案】C【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可.【解答过程】由1<a<2，得2−a>0，所以31−a故选：C.6．正实数，满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】两边取对数可得，利用基本不等式即可求出的取值范围.【详解】正实数，满足，两边取对数可得，所以，所以，即，所以或，解得或，所以的取值范围是．7．若，是方程的两个实根，则的值等于（

）A．2 B． C．100 D．【答案】C【分析】由韦达定理可得：，再由对数的运算即可求得.【详解】由韦达定理可得：，所以，所以.故选：C8．设m=log62，n=log6A．12 B．1 C．2 【答案】B【解题思路】利用指对数互换和幂的运算性质求得4n=6【解答过程】因为m=log62，n=可得4=62m,9=62n又因为m+n=log所以m2故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（

）A．a23=C．lg22+lg2×【答案】AD【解题思路】AB由指数运算性质可判断选项正误；CD由对数运算性质可判断选项正误.【解答过程】对于A，由指数运算性质可得：a2对于B，由指数运算性质可得：a1对于C，由题lg22+对于D，3a=10⇒a=log故选：AD.10．下列说法中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】取可判断AB选项；利用指数幂的运算性质可判断C选项；利用对数的换底公式可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，，A错；对于B选项，当时，有意义，无意义，B错；对于C选项，若，则，，因为，故，C对；对于D选项，若，由换底公式可得，D对.故选：CD.11．已知，则下列说法一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用对数的运算性质化简方程得，结合指数的运算性质逐一判断即可【详解】依题意，，即，则且，故C项正确；对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于D项，，故D项正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．．【答案】2【分析】利用换底公式直接求解即可.【详解】.故答案为：2.13．已知，且，则M的值为.【答案】72【分析】利用指数与对数的换算，结合对数的运算法则计算即可.【详解】，，，则，∴故答案为：14．log62=a,6b=7，则用a和b表示log【答案】1+b−a【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解.【解答过程】由6b=7，得log6所以log98故答案为：1+b−aa+2b四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）计算：(1)641(2)log【答案】(1)121(2)7【解题思路】（1）根据指数式运算法则对式子进行化简求解即可.（2）根据对数的运算法则进行化简求解.【解答过程】（1）641（2）log216．（15分）（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）5；（2）2【分析】（1）利用对数运