初高中数学暑假衔接材料：第06讲 等式（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14第06讲等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：等式性质的理解与应用题型2：因式分解的方法与应用题型3：一元二次方程解集的求解题型4：一元二次方程根与系数关系的应用题型5：方程组解集的求解题型6：由解集求解参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航等式的概念等式的性质等式的解集一元一次等式（方程）等式的恒等变形1.理解等式的定义，区分恒等式、条件等式、矛盾等式，能用符号规范书写等式。2.掌握等式的五条基本性质，熟练运用性质对等式进行等价变形。3.能利用等式性质化简、求解一元一次等式，会检验等式解的正确性。4.掌握等式恒等变形常用方法：移项、去括号、去分母、合并同类项，能完成代数式等价转化。5.会结合实际问题列等式，建立简单等量关系模型，解决基础应用题。学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解。学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型。

知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01等式的性质(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：(1)如果，则对任意c，都有；(2)如果，则对任意不为零的c，都有.即时即练下列说法正确的是（）A．在等式两边同除以，可得B．在等式两边同除以2，可得C．在等式两边同除以，可得D．在等式两边同除以，可得知识点02恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．注：常见的代数恒等式（1），（2）（3），（4），即时即练下列等式中，属于恒等式的是（

）A． B．C． D．知识点03十字相乘法对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到v，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行．注：运用进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．即时即练将下列各式因式分（1）

（2）

（3）知识点04一元二次方程的解集一元二次方程，其判别式.(1)当时，方程的解集为；(2)当时，方程的解集为；(3)当时，方程的解集为.即时即练求方程的解集.知识点05一元二次方程根与系数的关系当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有即时即练关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．2或0知识点06方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．即时即练方程组解集是（

）A． B．C． D．

题型1：等式性质的理解与应用【典例1-1】若，则下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知等式，则下列变形正确的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2026·高一·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【变式1-2】下列运用等式的性质，变形不正确的是（

）A．若x=y，则x+5=y+5B．若a=b，则ac=bcC．若，则a=bD．若x=y，则题型2：因式分解的方法与应用【典例2-1】下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【典例2-2】将下列各式因式分(1)；(2)；(3).【变式2-1】把下列各式因式分解（1）；（2）；（3）；（4）.【变式2-2】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．【变式2-3】(1)分解因式：．(2)多项式因式分解后有一个因式为，求k的值.题型3：一元二次方程解集的求解【典例3-1】求下列关于的方程（方程组）的解集：(1)；(2)；(3)；【典例3-2】已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集．【变式3-1】（2026·高一·北京·阶段检测）方程的解集是（

）A． B． C． D．【变式3-2】下列关于方程的说法中，正确的是（

）A．两根之和为2 B．解集为 C．两根之和为1 D．有两不等实根【变式3-3】方程的解集是（

）A． B． C． D．题型4：一元二次方程根与系数关系的应用【典例4-1】（2026·高一·上海虹口·期末）已知为实数，集合，集合．(1)若，且满足，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围．【典例4-2】（2026·高一·湖北襄阳·期中）（1）若方程的两根分别为，求的值.（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理若一元二次方程的两个根为，则证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为由于从而等式恒成立.根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等.因此类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系；（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值.【变式4-1】（2026·高一·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（

）A． B． C．5 D．3【变式4-2】（2026·高一·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（

）A． B． C．7 D．【变式4-3】（2026·高一·贵州遵义·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（

）A．或2 B．1或 C． D．1【变式4-4】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（

）A．7 B． C． D．【变式4-5】（2026·高一·重庆·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型5：方程组解集的求解【典例5-1】方程组的解集为（

）A． B．C． D．【典例5-2】（2026·高一·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（

）A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4【变式5-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（

）A． B． C． D．【变式5-2】下列关于方程的解的说法中正确的是（

）．A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解题型6：由解集求解参数【典例6-1】（2026·高一·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______.【典例6-2】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组.唯一解，则实数的取值范围是__________.【变式6-1】（2026·高一·全国·单元测试）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______．【变式6-2】已知实数，满足，，则______．

1．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（

）A．4 B．6 C．2 D．32．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（

）A． B．C．或 D．或3．（2026·高一·吉林·阶段检测）“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．方程组的解集为（

）A． B．C． D．5．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（

）①；②；③；④．A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④6．（2026·高三·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（

）A．， B．，C．， D．，7．（2026·高一·山东青岛·期末）已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2026·高一·山东菏泽·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2026·高一·北京延庆·期中）方程组的解集为（

）A． B．C． D．10．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为011．（多选题）（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（

）A．方程是“和谐方程”B．若关于的方程是“和谐方程”，则C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”12．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（

）A． B．C． D．13．（多选题）（2026·高一·吉林白城·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的一个必要条件是D．当时，方程的两个实数根之和为014．（多选题）（2026·高一·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．B．C．若方程有两个根，且；则D．若方程有四个根，则这四个根的和为415．已知关于的方程组和有相同的解，则的值为________.16．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知是方程组的解，则方程组的解是______．17．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____．18．关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是________．19．（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______．20．（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）若一个整数能表示成（、为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数.已知（、是整数，是常数），若对于任意整数，均为“完美数”，则的值为__________.21．若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值.22．（2026·高一·安徽·阶段检测）解下列方程或方程组.(1)；(2)；(3)23．（2026·高一·河北石家庄·期中）已知，.(1)若，求M；(2)若，且满足，求实数的值；(3)若，求实数的取值范围.24．（2026·高一·青海西宁·期中）已知集合(1)若命题是真命题，求实数的值；(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.

第06讲等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：等式性质的理解与应用题型2：因式分解的方法与应用题型3：一元二次方程解集的求解题型4：一元二次方程根与系数关系的应用题型5：方程组解集的求解题型6：由解集求解参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航等式的概念等式的性质等式的解集一元一次等式（方程）等式的恒等变形1.理解等式的定义，区分恒等式、条件等式、矛盾等式，能用符号规范书写等式。2.掌握等式的五条基本性质，熟练运用性质对等式进行等价变形。3.能利用等式性质化简、求解一元一次等式，会检验等式解的正确性。4.掌握等式恒等变形常用方法：移项、去括号、去分母、合并同类项，能完成代数式等价转化。5.会结合实际问题列等式，建立简单等量关系模型，解决基础应用题。学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解。学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型。

知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01等式的性质(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：(1)如果，则对任意c，都有；(2)如果，则对任意不为零的c，都有.即时即练下列说法正确的是（）A．在等式两边同除以，可得B．在等式两边同除以2，可得C．在等式两边同除以，可得D．在等式两边同除以，可得【答案】D【解析】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误；对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误；对于C，若，则不一定相等，故C错误；对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确.故选：D.知识点02恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．注：常见的代数恒等式（1），（2）（3），（4），即时即练下列等式中，属于恒等式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，时，，故A错误；对于B，取，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，取,可得,与无意义，故D错误.故选:C.知识点03十字相乘法对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到v，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行．注：运用进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．即时即练将下列各式因式分（1）

（2）

（3）【解析】；；(3).知识点04一元二次方程的解集一元二次方程，其判别式.(1)当时，方程的解集为；(2)当时，方程的解集为；(3)当时，方程的解集为.即时即练求方程的解集.【解析】设有，则原方程可变为，因此可知或（舍）从而，即，所以原方程的解集为.知识点05一元二次方程根与系数的关系当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有即时即练关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．2或0【答案】B【解析】设一元二次方程的两个实数根为，由题意，解得或，当时，方程为无解，舍去，当时，方程为，两根为符合题意.故则的值为0.知识点06方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．即时即练方程组解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】方程组，解得或，所以方程组解集是.故选：C

题型1：等式性质的理解与应用【典例1-1】若，则下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，当时，满足等式，故AB错误；再由两边同时除以6，可得，故C正确，D错误.故选：C.【典例1-2】（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知等式，则下列变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，满足，但无意义，故错误；对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确；对于C，当，，满足，但得不到，故错误；对于D，当时，无法得到，故错误；故选：B【变式1-1】（2026·高一·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】选项A，当时，显然不成立；选项B，如果，那么或，显然不成立；选项C，当时，无意义，不成立；选项D，如果，则，故，即，成立故选：D【变式1-2】下列运用等式的性质，变形不正确的是（

）A．若x=y，则x+5=y+5B．若a=b，则ac=bcC．若，则a=bD．若x=y，则【答案】D【解析】对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确；对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确；对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确；对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误．故选：D题型2：因式分解的方法与应用【典例2-1】下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，应该是，故A错误

对于B，应该是，故B错误；对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.故选：D.【典例2-2】将下列各式因式分(1)；(2)；(3).【解析】（1）（2）（3）【变式2-1】把下列各式因式分解（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）；（2）因为，所以；（3）；（4）【变式2-2】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．【解析】；；；．【变式2-3】(1)分解因式：．(2)多项式因式分解后有一个因式为，求k的值.【解析】（1）．（2）设可得,解得题型3：一元二次方程解集的求解【典例3-1】求下列关于的方程（方程组）的解集：(1)；(2)；(3)；【解析】（1）由方程，即，解得或，即方程的解集为.（2）由方程，即解得或，即方程的解集为.（3）由方程，即，解得或（舍去），即，所以方程的解集为【典例3-2】已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集．【解析】∵，又，，，∴，∴，∴一元二次方程为，∴，∴或，解得或，∴原方程的解集为．【变式3-1】（2026·高一·北京·阶段检测）方程的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，可得，当时，，可得，所以方程的解集为.故选：C【变式3-2】下列关于方程的说法中，正确的是（

）A．两根之和为2 B．解集为 C．两根之和为1 D．有两不等实根【答案】B【解析】中，，故解集为.故选：B【变式3-3】方程的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方程的解为,所以方程的解集是，故选:C.题型4：一元二次方程根与系数关系的应用【典例4-1】（2026·高一·上海虹口·期末）已知为实数，集合，集合．(1)若，且满足，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）由已知可得，是关于的方程的两个不等实数根，则，即由韦达定理可得所以．解得或，均满足．因此或．（2）由得．当时，，此时；当时，中有一个元素或两个元素，若中有一个元素时，，解得，此时，满足条件；若中有两个元素时，，即1、3是关于的方程的两个根，此时需满足，解得，且，没有满足条件的．综上所述，实数的取值范围是.【典例4-2】（2026·高一·湖北襄阳·期中）（1）若方程的两根分别为，求的值.（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理若一元二次方程的两个根为，则证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为由于从而等式恒成立.根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等.因此类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系；（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值.【解析】（1）由题意，所以.（2）设有三个不相等的实数根，则可分解因式为，展开得，所以有恒成立，所以等式两边对应系数相等，所以有.（3）由（2）可知，，易知，因为，所以有，解得.【变式4-1】（2026·高一·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（

）A． B． C．5 D．3【答案】A【解析】由题意可得，，，由韦达定理可得，，，所以，所以.故选：A.【变式4-2】（2026·高一·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（

）A． B． C．7 D．【答案】B【解析】已知方程两根分别为，，由韦达定理得：，故故选：B【变式4-3】（2026·高一·贵州遵义·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（

）A．或2 B．1或 C． D．1【答案】D【解析】由题设，而，所以，可得或，由，故.故选：D【变式4-4】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（

）A．7 B． C． D．【答案】C【解析】和3是一元二次方程的两个实根，，解得，．故选：C．【变式4-5】（2026·高一·重庆·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，且，解得由韦达定理，则，因为，所以，，，故选：D.题型5：方程组解集的求解【典例5-1】方程组的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得：，代入得：，化简得：，解得或，对应的或，所以解集为.【典例5-2】（2026·高一·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（

）A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4【答案】B【解析】甲看错，把代入，得，解得.乙看错，把代入，得，解得.综上，.【变式5-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题，得，解得，代入得，则，∴方程组的解集是.故选：D.【变式5-2】下列关于方程的解的说法中正确的是（

）．A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解【答案】D【解析】由题意得，，即，当时，不成立，方程组无解；当时，，方程组有唯一解.故选：D.题型6：由解集求解参数【典例6-1】（2026·高一·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______.【答案】或【解析】将代入得，当即时，方程为，解得，符合题意；当即时，关于的一元二次方程只有一解，所以，解得.综上，或1.故答案为：或.【典例6-2】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组.唯一解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可得，化简得：，因为方程组有唯一解，所以关于的方程有唯一解，即，解得.故答案为：.【变式6-1】（2026·高一·全国·单元测试）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______．【答案】0或1【解析】由消去整理可得．当时，解得，此时方程组的解为符合题意；当时，则，解得，此时方程组的解为符合题意．综上可得或．故答案为：0或1.【变式6-2】已知实数，满足，，则______．【答案】或2或【解析】当时，由题得所以或，所以或2；当时，实数，是方程的两个实数根，所以，综合得或2或.故答案为：或2或

1．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（

）A．4 B．6 C．2 D．3【答案】A【解析】由是方程的两个实数根，得，，所以.故选：A2．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】设是一元二次方程的两个实数根，则，解得，所以，所以，解得或，又，所以．故选：A3．（2026·高一·吉林·阶段检测）“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】关于的二次方程的两个实数根异号，可得，由恒成立，解得，可知，则“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的充分不必要条件.故选：A.4．方程组的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，代入得，化简得：，解得：或，又，因为，所以，又因为，所以，解集为.5．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（

）①；②；③；④．A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【解析】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确；因为图象经过、两个点，所以，解得，因为，，所以，②说法正确；由得，即，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，，所以，即，④说法正确.6．（2026·高三·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根据题意可知存在，使得，所以，为方程的根，所以，解得，且当时，，符合题意.故选：D.7．（2026·高一·山东青岛·期末）已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若关于的一元二次方程有一个正根一个负根，得，则；反之，若，则，，，此时方程有一个正根一个负根，所以是的充要条件.故选：C8．（2026·高一·山东菏泽·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为，令，所以变形得：，即，也即，要使方程有三个不同的解，则方程有两个不相等的正实数根，由可能应对0个、1个、2个的值，所以方程要有三个不同的解，则方程的有一个实根必为，另一个，当，当时，，将代入方程得：，此时方程为，解得：或，当，当时，，满足题意，故选：C.9．（2026·高一·北京延庆·期中）方程组的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，代入，得，整理得，解得或，当时，解得；当时，解得；所以原方程组的解集为.故选：D.10．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】因为，可得或，所以方程有两个根的充要条件是或，则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确；方程有两个正根的充要条件是，故B正确；方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误；当时，方程无实数根，故D错误；故选：AB.11．（多选题）（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（

）A．方程是“和谐方程”B．若关于的方程是“和谐方程”，则C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”【答案】AD【解析】对于A．，解得，所以是“和谐方程”，A正确；对于B，若关于的方程是“和谐方程”，不妨设实数解为，且，则，解得，B错误；对于C，若关于的方程是“和谐方程”，不妨设实数解为，且，则，解得，由，得，则，令，解得或，C错误；对于D，点在反比例函数的图象上，则，代入方程，可得，解得，，则，所以方程是“和谐方程”，D正确．故选：AD．12．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】对于方程组，③-①得，，①-②得，把代入得，把代入①得，所以方程组的解集为或.故选：CD13．（多选题）（2026·高一·吉林白城·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的一个必要条件是D．当时，方程的两个实数根之和为0【答案】ABC【解析】A选项，方程有一个正根一个负根，等价于，即，是方程有一个正根一个负根的充要条件，A正确；B选项，方程有两个正根，等价于，即，是方程有两个正根的充要条件，B正确；C选项，方程无实数根，等价于，即，而是的必要不充分条件，则方程无实数根的一个必要条件是，C正确；D选项，当时，方程无实数根，D错误．故选：ABC．14．（多选题）（2026·高一·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．B．C．若方程有两个根，且；则D．若方程有四个根，则这四个根的和为4【答案】BCD【解析】由的顶点坐标为，则，则，由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误；，所以B正确；令，则的两根为，且开口向下，因为方程有两个根，且，所以与的两交点为，