初高中数学暑假衔接材料：第01讲 函数的概念和图像（解析版）

16/16第01讲函数的概念和图像内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1函数的概念题型2同一函数的判断题型3给出解析式求函数的定义域题型4抽象函数求定义域题型5给出函数定义域求参数范围题型6函数图象的画法与识别题型7求函数的值域04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的概念、函数的三要素、函数的图像1.了解构成函数的要素,会判断两个函数是否为同一函数2.会求一些简单函数的定义域与值域.3.会识图、画图学习重点：会判断两个函数是否为同一函数、会求一些简单函数的定义域与值域学习难点：会求抽象函数的定义域值域，已知值域或定义域求参数知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的概念1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.4．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.5．求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.6．求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.7．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法.知识点02函数的图像1．函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象.2．作函数图象的一般方法(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.题型1函数的概念【例1】下列从集合A到集合B的对应关系f中，y是x的函数的是（

）A．A=B=R，对应关系f:x→y=B．A=B=0,+∞C．A=B=R，对应关系f:x→y=D．A=B=R，对应关系f:x→【答案】B【解题思路】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解.【解答过程】对于A，当x=0时，函数y=1x2没有意义，所以y对于B，当A=B=0,+∞时，对于函数任意一个x∈[0,+∞)，都有唯一的y与之相对应，所以y是对于C，当x<0时，函数y=x没有意义，所以y不是x对于D，令x=1，由对应关系f:x→y2=x，可得y=±1，不符合函数的定义，所以y故选：B.【易错提醒】/【方法总结】利用函数的定义判断即可【变式1-1】集合A=x0≤x≤4，B=y0≤y≤2，下列不能表示从A到A．f：x→y=12x B．C．f：x→y=23x D．【答案】C【解题思路】ABD选项，求出值域均为集合B的子集，且对每一个x，有唯一确定的y与其对应；C选项，求出值域不是集合B的子集，故C不能表示从A到B的函数.【解答过程】A选项，y=12x，当0≤x≤4且对每一个x，有唯一确定的y与其对应，故A能表示从A到B的函数；B选项，y=13x，当0≤x≤4且对每一个x，有唯一确定的y与其对应，故B能表示从A到B的函数；C选项，y=23x，当0≤x≤4时，y∈0,8D选项，y=x，当0≤x≤4时，y∈且对每一个x，有唯一确定的y与其对应，故D能表示从A到B的函数；故选：C.【变式1-2】已知集合A=x|−1≤x≤1，集合B={y∣−1≤y≤1}，则下列图象能表示以A为定义域，B为值域的函数是（

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解题思路】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解.【解答过程】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为A，值域为B的函数，所以A符合题意；对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为A，值域为−1,1的函数，所以B不符合题意；对于C，选项C中存在x∈A，有两个y∈B与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意；对于D，选项D中，当x=0时，y=±1，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意.故选：A.【变式1-3】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（

）A．B．C． D．【答案】D【详解】函数的定义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．对于A，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A不符合题意；对于B，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B不符合题意；对于C，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故C不符合题意；对于D，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象有两个交点，故D符合题意；故选：D．题型2同一函数的判断【例2】下列各组函数是同一个函数的是（

）A．fx=x−1x2−1与C．fx=1x与gx【答案】D【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解.【解答过程】对于A，由函数fx=x−1x2则其定义域为−∞由函数gx=1x+1可得x+1≠0，解得两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误．对于B，函数fx=x的定义域为R，函数g两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误．对于C，函数fx=1函数gx=1两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误．对于D，函数fx=1函数gx=1定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确．故选：D.【易错提醒】/【方法总结】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同【变式2-1】下列函数中，与函数相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的定义域为R，对于A，，定义域为R，与不是相等函数，故A错误；对于B，，定义域为R，与是相等函数，故B正确；对于C，，定义域为，与不是相等函数，故C错误；对于D，的定义域为，与不是相等函数，故D错误.故选：B.【变式2-2】下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，函数定义域是，而定义域是，A不是；对于B，函数定义域是，而定义域是，B不是；对于C，函数定义域是，定义域是，，即对应法则也相同，C是；对于D，函数定义域是，定义域是，而对应法则不同，D不是.故选：C【变式2-3】下列各组函数表示同一函数的是（

）A．fB．fC．fD．f【答案】B【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论.【解答过程】对于A，fx=x+1的定义域为R，gx两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合；对于B，fx=x2,g则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合；对于C，fx=1的定义域为R，gx两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合；对于D，fx=x−1x+1的定义域满足x−1x+1≥0，解得x≤−1或gx=x−1x+1的定义域满足x−1≥0x+1≥0，解得x≥1两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合.故选：B.题型3给出解析式求函数的定义域【例3】函数y=11+1A．xx>0 B．xx>0或C．xx>0或x<−1 D．【答案】C【解题思路】由函数特征得到不等式，求出定义域.【解答过程】由题意得1+1x>0且x≠0等价于xx+1>0，解得x>0或故定义域为xx>0或x<−1故选：C.【易错提醒】/【方法总结】根据函数解析式求函数定义域的常用方法（1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；（2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零（3）若出现有零次幂的，则底数不能为零；（4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义，即求各个式子有意义的交集【变式3-1】）函数fx=x+3A．xx≥−3 B．C．xx>−3且x≠1 D．xx≥−3【答案】D【解题思路】根据具体函数定义域的求法列不等式，解不等式组即可.【解答过程】由已知fx则x+3≥0x−1≠0，解得x≥−3且x≠1即函数的定义域为xx≥−3且x≠1【变式3-2】）函数f(x)=1x+1+A．[−1,2) B．(−1,2)∪(2,+C．−1,2 D．[−1,2)∪(2,+【答案】C【解题思路】由分式和根式有意义列不等式组求解即可.【解答过程】由题意可得x+1>02−x≥0故选：C.【变式3-3】函数fx=1+xA．0,+∞ B．0,+∞ C．0,1 【答案】B【解题思路】根据根式和分式的意义列式求解即可.【解答过程】令1+x≥0x>0，解得x>0所以函数fx=1+x故选：B.题型4抽象函数求定义域【例4】若函数fx的定义域为0,6，则函数gx=A．1,2 B．1,2 C．1,18 D．1,18【答案】B【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可.【解答过程】因为函数fx的定义域为0,6令0≤3x≤6x−1>0，解得1<x≤2所以函数gx=f故选：B.【易错提醒】/【方法总结】已知fx的定义域为[a,b],求fg(x)的定义域时即解不等式a【变式4-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】函数的定义域为，，则，，函数的定义域为.故答案为：.【变式4-2】已知函数fx+1的定义域为−1,3，则fx2A．−2,2  B．0,4  C．1,9 【答案】A【解题思路】通过中间函数f(x)过渡，即求出f(x)的定义域后可求．【解答过程】在y=fx+1中，x∈[−1,3]，∴x+1∈[0,4]∴f(x)的定义域是[0,4]，故在fx2中0≤x∴fx2的定义域是故选：A.【变式4-3】已知函数的定义域是，则函数的定义域为.【答案】【解析】由题意知.故答案为：.题型5给出函数的定义域求参数的范围【例5】函数fx=1ax2+3x+bA．2 B．－2 C．－1 D．1【答案】A【解题思路】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解.【解答过程】因为fx=1所以ax2+3x+b>0得1+2=−3a1×2=ba，解得a=−1故选：A．【易错提醒】/【方法总结】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根即可求得参数【变式5-1】已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是．【答案】【解析】由题意得，从而函数的定义域为，即，故．要使函数有意义．则需，从而，故，所以，解得．【变式5-2】若函数的定义域是R，实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为的定义域为，所以不等式恒成立.当时，不等式为，显然恒成立；当时，有，即，解得，所以的取值范围为，故答案为：.【变式5-3】已知函数的定义域是，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知在上恒成立.当时，，符合题意；当时，则，解得.综上，的取值范围是.故答案为：.题型6函数图象的画法与识别【例6】函数fx=x+1A．

B．

C．

D．

【答案】A【解题思路】利用函数的性质及特殊值可以判断.【解答过程】由题意，x>2时，fxf0故选：A.【易错提醒】/【方法总结】利用函数的性质及特殊值可以判断即可【变式6-1】我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数fx=xA． B．C． D．【答案】A【解题思路】根据特殊点的函数值来确定正确答案.【解答过程】f2f1故选：A.【变式6-2】如图为函数y=f1−x的图象，则y=fx+2A． B．C． D．【答案】D【解题思路】根据题意利用特殊值排除法可得答案.【解答过程】当x=−2时，则y=f由函数y=f1−x图象，x=1时，y=f所以y=fx+2的图象经过点故选：D.【变式6-3】作出下列函数图象：(1)y=1−x(x∈Z且|x|≤2)(2)y=2x【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解题思路】（1）分析函数特征，再描点作出图象.（2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象.【解答过程】（1）由于x∈Z且|x|≤2，则x∈{−2,−1,0,1,2}所以函数y=1−x(x∈Z且|x|≤2)的图象为直线y=1−x（2）函数y=2(x−1)2−5，则当x=0时，y=−3；当x=3时，y=3；当x=1所以函数y=2x2−4x−3(0≤x<3)的图象是抛物线y=2题型7求函数的值域【例7】求下列函数的值域：(1)；(2)．【解析】（1）因为所以，所以的值域为；（2）因为，所以的值域为.【易错提醒】/【方法总结】求函数值域的方法(1)观察法:有的函数的结构并不复杂,可以通过几种常见函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.解题过程中,要特别关注自变量的取值范围.(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.(4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域.【变式7-1】(1)；(2)；【解析】（1）由，可得其对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由当时，；当时，，所以函数的最大值为，所以函数在区间上的值域为.（2）由函数，可得其定义域为，则，即，所以函数的值域为且【变式7-2】求下列函数的值域(1)(2)【解析】（1），因为，所以函数的值域是；（2）设，，所以，当时，函数取得最小值1，所以函数是值域是【变式7-3】求下列函数的值域：(1)；(2)．【解析】（1），因为，所以，即，得，即函数的值域为；（2），由，得，所以函数的定义域为，令，则，，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数取得最小值，最小值为，故函数的值域为．一、单选题1．设集合M=x0≤x≤2，N=y0≤y≤2，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【答案】C【解题思路】由函数的定义逐项判断即可.【解答过程】由题意知，函数的定义域为M=x0≤x≤2，值域为对于①中，函数的定义域不是集合M，所以①不正确；对于②中，函数的定义域为集合M，值域为集合N，能表示集合M到集合N且以集合N为值域的函数关系，所以②正确；对于③中，集合M的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确；对于④中，集合M中的元素在集合N中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确.故选：C.2．已知函数f(x)的定义域为(0,5)，则函数g(x)=f(x−1)+1A．[2,4) B．[2,6) C．(2,4) D．(2,6)【答案】D【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域.【解答过程】由函数f(x)的定义域为(0,5)，函数g(x)=f(x−1)+1得0<x−1<5x−2>0，解得2<x<6所以所求定义域为(2,6).故选：D.3．函数y=2025−x+x−2024A．0,2 B．0,2 C．1,2 【答案】C【解题思路】分析可知y≥0，可得出y2=1+22025−x【解答过程】对于函数y=2025−x+x−2024，则有2025−x≥0故函数y=2025−x+x−2024因为y=2025−x且y2≤1+2025−x当且仅当2025−x=x−2024时，即当x=4049又因为y2=1+22025−xx−2024≥1所以1≤y2≤2，又因为y≥0，故1≤y≤故选：C.4．已知函数fx=x2,x≤1A．4 B．15 C．−1 【答案】B【解题思路】根据分段函数的解析式，求函数值即可.【解答过程】因为函数fx所以可得f−2=4，则故选：B.5．已知函数fx满足∀x，y∈R，yfx−xfy=x−y，且fA．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可.【解答过程】对于yfx−xfy=x−y，且令x=0，可得yf0=−y，解得因为f0+f1=0，所以令y=1，可得fx−x=x−1，得到则f2故选：D.二、多选题6．已知函数y=fx的定义域为−2,1∪1,3，值域为−1,2，则函数y=fA． B．C． D．【答案】AD【解题思路】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解.【解答过程】因为函数y=fx的定义域为−2,1∪由选项A图象可知，该函数定义域为−2,1∪1,3，值域为由选项B图象可知，该函数定义域为−2,1∪1,3，值域为由选项C图象可知，该函数定义域为−2,1∪1,3，值域为由选项D图象可知，该函数定义域为−2,1∪1,3，值域为故选：AD.7．下列四组函数，表示同一个函数的一组有（

）A．y=3x2C．y=x2x【答案】AB【解题思路】对AB化简解析式，再结合其定义域即可判断，对CD，求出函数定义域即可判断.【解答过程】对于A，函数y=3x2函数y=x2+2对于B，y=x和u=v2的定义域都是R对于C，函数y=x2x的定义域为{x|x≠0}，函数m=n对于D，对函数y=x+1⋅x−1，有x+1≥0则函数y=x+1⋅x−1对函数y=x2−1，有x2−1≥0则其定义域为(−∞故选：AB.8．已知函数fx=x+2,x≤−1A．fB．若fx=3，则x的值是1C．fx的值域为D．fx<1【答案】ACD【解题思路】A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果.【解答过程】对于A：因为ff对于B：当x≤−1时，fx=3⇔x+2=3，解得当−1<x<2时，fx=3⇔x2=3所以x的值是3