初高中数学暑假衔接材料：第01讲 集合及其表示方法（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第01讲集合及其表示方法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：集合的概念题型2：集合元素互异性的应用问题题型3：集合的列举法与描述法表示问题题型4：集合的区间表示问题题型5：元素与集合的关系判定问题题型6：常用数集的识别与应用问题题型7：由元素与集合关系求参数问题题型8：根据集合元素个数求参数问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航集合的定义元素与集合的关系集合中元素的特性集合的表示方法常用数集1.理解集合的定义，认识集合与元素的概念，掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性三大特性。2.掌握元素与集合的属于（∈）、不属于（∉）关系，能正确判断元素与集合的从属关系。3.掌握集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图），能根据不同情境选择合适的方法表示集合。4.识记常用数集符号（N、N*、Z、Q、R），并能在解题中正确使用。学习重点：集合的基本概念、集合中元素的三大特性、集合的表示方法。学习难点：用描述法表示集合、利用集合元素的互异性解决含参数问题、集合表示方法的灵活选择与转换。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01元素与集合的概念1．元素与集合的概念（1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示．（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示．（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．2．元素的特性（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”．注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物．3．有限集、无限集、空集集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元索的集合称为无限集，空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集。即时即练下列说法正确的是（

）A．本校擅长打篮球的学生可构成集合B．七大洲可以构成一个确定集合C．数集含有7个元素D．不大于3的正整数组成的集合为【答案】B【解析】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性；B选项，七大洲对象确定，可构成集合；C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素；D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为.知识点02元素与集合的关系（1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作．（2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作．温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果．（2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的．即时即练已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A选项，当时，，故A错误；对于B选项，令，解得，故，即B错误；对于C选项，当时，，故C正确；对于D选项，令，解得，故，即D错误；知识点03常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或即时即练下列关系正确的是（

）A． B． C． D．错误【答案】C【解析】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确.知识点04集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开．（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复．（4）集合中的元素可以是任何事物．2．描述法（1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等．（2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．（3）不能出现未被说明的字母．即时即练把下列集合用另一种方法表示出来：(1)；(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；(3)；(4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）；(5)由方程的所有整数解组构成的集合．【解析】（1）集合为列举法，改为描述法为且，表示小于等于的正偶数．（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数，由列举法可得：一位自然数：；两位无重复：；三位无重复：；故集合为：．（3）集合用描述法表示，改为列举法为：．（4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离，距离恒等于5，即为圆周上的点，故集合．（5）由方程的所有整数解组构成的集合，改为列举法：，用描述法为：．知识点05区间1．区间的概念(为实数,且)定义名称符号数轴表示闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间2．其他区间的表示定义符号即时即练将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1)；(2)或；(3)且；(4).【解析】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：（2）或用区间表示为，用数轴表示如图：（3）且用区间表示为，用数轴表示如图:（4）用区间表示为，用数轴表示如图：

题型1：集合的概念【典例1-1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（

）（1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数.A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合；（3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合.【典例1-2】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（

）A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数【答案】D【解析】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性.对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素，即元素不确定，故A、B、C错误；对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确.【变式1-1】下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生【答案】D【解析】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误.对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误.对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误.对于D，根据元素的确定性可知D正确，题型2：集合元素互异性的应用问题【典例2-1】已知，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或，当时，，集合为，元素各不相同，符合题意；当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意；因此实数的值为或，故C正确.【典例2-2】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误．【变式2-1】（2026·高一·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（

）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】根据集合中元素的互异性，.即A中的元素个数为6，故选：C【变式2-2】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（

）A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形【答案】C【解析】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确；可取，设中，，另一边为，若，则，此时是等腰三角形，故A错误；若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误；若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误.故选：C.题型3：集合的列举法与描述法表示问题【典例3-1】用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(2)被除余的正整数组成的集合；(3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．(4)使函数有意义的实数组成的集合．【解析】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为．（2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为．（3）由于，所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．（4）由，则，故集合为．【典例3-2】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合；(2)正偶数组成的集合；(3)函数的图象上所有的点组成的集合．【解析】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为；（2）正偶数组成的集合是．（3）函数的图象上所有的点组成的集合是．【变式3-1】用描述法表示下列集合：(1)；(2)36的所有整因数组成的集合；(3)二次函数的函数值组成的集合；(4)反比例函数的自变量组成的集合；(5)不等式的解集；(6)被9除余2的所有整数组成的集合.【解析】（1）根据题意可知，；（2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为；（3）二次函数的函数值为y，∴二次函数的函数值y组成的集合为；（4）反比例函数的自变量为x，∴反比例函数的自变量组成的集合为；（5）由，得，∴不等式的解集为；（6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为.【变式3-2】用列举法表示下列集合：(1)小于的所有自然数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)大于1且小于的所有偶数组成的集合；(4)由1~15以内的所有质数组成的集合．【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，．（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或，．（3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为，．（4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为，．题型4：集合的区间表示问题【典例4-1】用区间表示下列数集.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)或.【解析】（1）集合为，对应区间为.（2）集合为，对应区间为.（3）集合为，对应区间为.（4）集合为，对应区间为.（5）集合为或，对应区间为.【典例4-2】用区间表示下列集合：(1)；(2)不等式的所有解组成的集合．【解析】（1）（2）,所以不等式所有解的集合是【变式4-1】把下列数集用区间表示：(1)；(2)；(3)；(4)或.【解析】（1）（2）（3）（4）或【变式4-2】用区间表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（2）（3）（4）题型5：元素与集合的关系判定问题【典例5-1】（多选题）（2026·高一·广东广州·期中）下列表示不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：AD.【典例5-2】（多选题）（2026·高一·福建·阶段检测）非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，则【答案】CD【解析】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在，由性质①，，，，由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误；对于选项B，由性质①，，，，，而，故选项B错误；对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，，由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确；对于选项D，由性质①，，，由性质①，，，，由性质①，，，，故选项D正确.【变式5-1】（多选题）（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，是有理数，故A正确；对于B，不是正整数，故B错误；对于C，不是自然数，故C正确；对于D，=2是整数，故D错误.故选：AC.【变式5-2】（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）设，，则（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【解析】若，，设，则，故A错误，B正确；若，，设，则，故C正确，D错误.故选：BC.题型6：常用数集的识别与应用问题【典例6-1】用符号或填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______.【答案】【解析】0是自然数，；是无理数，不属于有理数集，；-5是整数，；是实数，；【典例6-2】14不是正整数，.【变式6-1】用符号“”或“”填空．（1）________；（2）3.14________；（3）________；（4）________；（5）________；（6）0________．【答案】【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.故答案为：，，，，，【变式6-2】（2026·高一·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______【答案】2【解析】依题意，，，，，，，因此①④正确，②③⑤⑥错误，所以正确命题的个数是2.故答案为：2【变式6-3】（2026·高一·上海·阶段检测）用列举法表示集合_________.【答案】【解析】因为，所以或，解得或0或2或3，即.故答案为：题型7：由元素与集合关系求参数问题【典例7-1】设，集合，若，则______.【答案】2或或【解析】因为，所以或，解得或.当时，，满足；当时，，满足；当时，，满足；故或或.【典例7-2】（2026·高一·上海·期末）已知集合，且，则___________【答案】【解析】因为，所以.故答案为：【变式7-1】（2026·高三·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________．【答案】【解析】因为，所以或，即或，由集合的互异性知且且，即且，所以．故答案为：.【变式7-2】（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________【答案】【解析】若，则，此时，集合不满足互异性；若，则或（舍），当时，，符合题意，综上，故答案为：【变式7-3】（2026·高一·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____．【答案】【解析】因为，，所以，或，或，若，则，所以，解得或，当时，，符合题意，当时，，不符合题意；若，则，又，方程无解；若，则，解得或，当时，，不符合题意，当时，，符合题意；综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为.故答案为：.题型8：根据集合元素个数求参数问题【典例8-1】（2026·高一·上海·期中）已知集合.(1)若，求集合；(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以，所以，由，解得或，所以；（2）当时，，，所以，满足条件；当时，方程无解或仅有解，则只需，解得，综上所述，的取值范围是.【典例8-2】（2026·高一·广东中山·阶段检测）已知集合.(1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数取值范围.【解析】（1）由于中有两个元素，关于的方程有两个不等的实数根，，且，即，且.故实数的取值范围是或；（2）当时，方程为，集合只有一个元素；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即.综上可知，实数的取值范围是.【变式8-1】（2026·高一·北京延庆·阶段检测）已知集合.(1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围；(2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合.【解析】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根；当时，，解得：，不合题意；当时，，解得：或；综上所述：实数的取值范围为：或.（2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根；当时，，解得：，符合题意；当时，，解得：，此时；综上所述：实数的取值集合为.【变式8-2】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知集合至多有一个元素，求a的取值范围.【解析】由题意，集合至多有一个元素，当时，方程为，解得，此时，满足题意；当时，由，解得.综上所述，a的取值范围为.【变式8-3】（2026·高一·吉林·阶段检测）已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围．【解析】因集合中的元素恰有2个整数，则其区间长度应满足，得，当时，此时，则，得；当时，此时，符合题意；则的取值范围为.

1．已知，则实数的值为（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【解析】因为元素，所以有或两种情况，当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性；当时，即，当时，不符合题意；当时，集合为，满足，符合条件.2．设集合，若，则的取值为（

）A．0 B．4 C．0或2 D．0或4【答案】D【解析】解方程，因式分解得，解得或故.由得或.3．已知集合，下列判断错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，得，所以.4．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（

）A． B． C． D．均不属于【答案】B【解析】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数，故属于奇数集，即.5．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，故B正确．6．（2026·高二·重庆·期中）已知集合，且，则（

）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】因为集合，且，当时，即，解得或，若时，，，集合的元素出现重复，故舍去；若时，，符合题意.当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去.综上所述，.7．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】已知，，当时：，；当时：，；当时：，；由集合的互异性得，元素个数为.8．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（

）A．0或4 B．4 C．0或 D．0【答案】C【解析】集合，表示关于的方程的解集，当时，解得，则，符合题意；当时，，解得，此时，符合题意,综上可得或.9．（2026·高一·江西赣州·期末）集合的元素个数是（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个【答案】B【解析】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.故集合的元素个数是4.故选：B10．（2026·高一·四川·阶段检测）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上所述，.故选：B.11．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由，且，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数．对于A选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素；故A错误，对于B选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素；故B错误，对于C选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素；故C错误，对于D选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素，故D正确.故选：D12．（多选题）（2026·高一·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】AB【解析】因为集合只有一个元素，当时，方程，解得，此时集合，满足题意；当时，要使得只有一个实根，则满足，即，解得，此时方程的解为，即，满足题意，综上可得，实数的取值可以是或.故选：AB.13．（多选题）（2026·高一·江西九江·阶段检测）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（

）A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为【答案】BCD【解析】由，，得，，要使得T为双元素集合，则x，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等．因为，，，所以T不可能是双元素集合，所以A错误．由上知，T中必有三个元素，所以，则，所以B正确，C正确．当时，，，所以D正确．故选：BCD14．（多选题）（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，则（）A．B．C．存在，使得D．存在，使得【答案】BD【解析】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数，即代入……可得.对于A，由上分析可知错误；选项B，由上分析可知正确；对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中；对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中，例如.故选：BD15．（2026·高一·西藏拉萨·期中）已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）.【答案】①③【解析】；；；，故①③正确.故答案为：①③16．（2026·高一·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________.【答案】7【解析】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中，为影子关系的集合有.故答案为：717．（2026·高一·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______．【答案】【解析】因为，所以，，此时两个集合即，所以，解得或，若，则两个集合都是不满足互异性，所以此时两个集合都是，满足条件.所