初高中数学暑假衔接材料：第01讲 命题、定理、定义（解析版）

10/18第01讲命题、定理、定义内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1命题的概念题型2判断命题的真假题型3\t"/gzsx/zj149828/_blank"\o"已知命题的真假求参数"已知命题的真假求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航定义、命题、定理的概念，真假命题的判断1.了解定义、命题、定理的概念，理解元素与集合的关系;2.了解命题的分类；3.掌握根据命题真假求参数的范围；学习重点：命题的分类、命题真假的判断学习难点：根据命题真假求参数的范围知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01命题1．命题及相关概念(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题.(2)命题的分类①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句.(3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.知识点02定理、定义1．定理定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.2．定义定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题.题型1命题的概念【例1】有下列语句，其中是命题的个数为（

）．（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）a2+1>0(aA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解.【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；（2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；（3）因为a2+1>0(a（4）不能判断x>3是否正确，所以x（5）因为91=13×7，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题．故选：A.【易错提醒】/【方法总结】根据命题的定义即可判断【变式1-1】下列语句为命题的是（

）A．对角线相等的四边形 B．a<5C．x2−x−1=0【答案】D【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可.【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题．A，B，C不能判断真假，所以不是命题．故选:D．【变式1-2】下列语句为命题的是（

）A．对角线相等的四边形 B．aC．x2−【答案】D【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可.【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题．A，B，C不能判断真假，所以不是命题．故选:D．【变式1-3】下列语句是命题的是（

）A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180°C．这里的景色山真美啊! D．x>2【答案】B【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可.【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误；对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确；对于C：这是感叹句，不是命题，C错误；对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，故选：B.题型2判断命题的真假【例2】对于命题p：全等三角形的周长相等，命题q：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（

）A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题【答案】C【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题p,【解答过程】解：对命题p，全等三角形的形状和大小均相同，故周长相等，故命题p为真命题,对命题q，只要三角形三边和相等，则周长相等，对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等，故命题q为假命题；对A,命题p为真命题,命题q为假命题，故A错；对B，命题p为真命题,命题q为假命题，故B错；对C,命题p为真命题,命题q为假命题，故C对，对D,命题p为真命题,命题q为假命题,故D错.故选：C.【易错提醒】/【方法总结】根据全等三角形的定义即可判断命题【变式2-1】下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1+④至少存在一个整数x，使得x2其中是真命题的为（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【答案】A【解题思路】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题.【解答过程】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确；因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；因为1+1=2，故③正确；取x=1，则x2故选：A.【变式2-2】下列命题中是真命题的是（

）A．等边三角形都全等 B．若x2>9C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数【答案】C【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例.【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误；B选项，若x2>9，则x>3C选项，对顶角相等，C正确；D选项，2为偶数，但2为质数，D错误.故选：C.【变式2-3】下列命题中，是真命题的是（

）A．所有梯形的对角线相等 B．∀x∈R,C．存在一个自然数小于0 D．∃x,y∈R,【答案】D【解题思路】根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假.【解答过程】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误；当x=4时，x=2∈Q所有的自然数均大于或等于0，C错误；当x=2，y=0时，x−2+故选：D.题型3\t"/gzsx/zj149828/_blank"\o"已知命题的真假求参数"已知命题的真假求参数【例3】已知p:−2<a<2，q：关于x（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）(−∞,14【解题思路】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案；（2）根据p真q假，可列出关于a的不等式，进而可求出答案.【解答过程】（1）∵关于x的方程x2−x+a∴若q为真命题，实数a的取值范围为：(−∞,1（2）∵p为真命题，q为假命题，∴{−2<a<2∴a∈(【易错提醒】/【方法总结】一元二次方程有根则判别式大于或等于零【变式3-1】已知命题p:∃x∈R,x2+2x+1−a=0A．1 B．0 C．3 D．−3【答案】D【解题思路】由题意求出a的取值范围，判断选项【解答过程】由题意得，Δ=4−4(1−a)≥0，解得故选：D.【变式3-2】已知命题p：关于x的方程x2−23x+(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围.【答案】(1)−1,3(2)−1,2【解题思路】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于0，列出不等式，求出解集即可；（2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集.【解答过程】（1）关于x的方程x2则Δ=−232解得：−1<m<3，即（2）当p为真命题，q为假命题，则m∈−1,3m当p为假命题，q为真命题，则m∈−∞,−1∪m∈【变式3-3】已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（

）A．a≥－3 B．a>－3C．a≤－3 D．a<－3【答案】D【解题思路】利用不等式的解法和命题的否定即可得出.【解答过程】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥−3}，又∵a∈A是假命题，即a∉A，∴a<−3.故选：D.一、单选题1．有下列语句，其中是命题的个数为（

）（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）a2+1>0(a∈RA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解.【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；（2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；（3）因为a2+1>0(a∈R（4）不能判断x>3是否正确，所以x>3不是命题；（5）因为91=13×7，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题．故选：A.2．下列命题中是真命题的是（

）A．等边三角形都全等 B．若x2>C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数【答案】C【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例.【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误；B选项，若x2>9，则x>C选项，对顶角相等，C正确；D选项，2为偶数，但2为质数，D错误.故选：C.3．下列命题中的真命题是（

）A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角C．若a2=b2【答案】C【解题思路】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D.【解答过程】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为45°对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误；对于C，若a2=b2，则a+b(a−b)=0，即a=b对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误；故选：C.4．已知p:2+2=5,q:3≥2，则下列判断中，正确的是（

）A．p为真，q为假 B．p为假，q为真C．p为真，q为真 D．p为假，q为假【答案】B【解题思路】根据命题的真假即可判定.【解答过程】p为假，q为真,故选：B.5．在下列语句中，命题的个数是（

）①空集是任何集合的子集；②若x∈R，则x2−x+1=0；③若a>b，则A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【解题思路】根据命题的定义直接判断即可.【解答过程】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题.故选：C.二、多选题6．下列命题是真命题的有（

）A．2是无理数 B．若x>2，则x>5C．方程2x2+1=0有实数根 D．集合A【答案】AD【解题思路】根据无理数的定义，可判断A的正误；根据x的范围，分析即可判定B的正误；根据x2【解答过程】选项A：2是无理数，故A正确；选项B：当x=3时，满足x>2，但3<5，故B错误；选项C：方程2x2+1=0，整理得x所以方程2x选项D：因为集合A∪B包含集合A中全部元素，所以集合A是集合A∪B的子集，故D正确.故选：AD.7．给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（A．4 B．2 C．0 D．−3【答案】BC【解题思路】先求出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”为真时，【解答过程】当方程x2+ax+1=0没有实数根时，有Δ=故选：BC.三、填空题8．命题“若a>b，则1a<1【答案】假【解题思路】通过取反例即可判断.【解答过程】取a=2,b=−1，满足a>b，1a故答案为：假.9．已知p:5x−1>a,q:x>1，且“若p，则q”为真命题，则实数a的取值范围是__________．【答案】[4,+【解题思路】设p,q分别表示的集合为A,B，求出集合A，则由题意可得A⊆B，从而可求出实数a的取值范围.【解答过程】设p,q分别表示的集合为A,B，由5x−1>a，得x>a+15，则因为B=1,+∞，且“若p，则所以a+15≥1，解得即实数a的取值范围是[4,+∞故答案为：[4,+∞四、解答题10．判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由．(1)求证3是无理数；(2)若x∈R，则x(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；(5)若xy是有理数，则x，y都是有理数；(6)60x+9>4．【答案】(1)不是命题；(2)是命题，真命题；(3)不是命题；(4)是命题；真命题；(5)是命题，假命题；(6)不是命题.【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断命题的真假.【解答过程】（1）是祈使句，不是命题．（2）因为x∈R，x（3）是疑问句，不是命题．（4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果.（5）是命题，而且是假命题，如7×(−7)=−7是有理数，但7（6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．12．已知集合A=xx−1x−m<0，集合B=xx−1x−3≥1，命题(1)若命题P为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题P和命题Q至少有一个为假命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)−(2)−【解题思路】（1）若命题为真命题，则3−1