初高中数学暑假衔接材料：第01讲 指数（解析版）

16/16第01讲指数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1根式与分数指数幂的互化题型2\t"/gzsx/zj145209/_blank"\o"根式的化简求值"根式的化简求值题型3指数幂的运算题型4指数幂的化简、求值题型5指数式的给条件求值问题题型6指数幂等式及幂的方程问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航n次方根、指数幂1.理解n次方根，n次根式的概念及运算；2.会进行根式及分数指数幂的化简求值；3.通过对有理数指数幂aeq\f(m,n)(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算学习重点：理解根式的概念及运算性质；指数幂运算性质的应用学习难点：指数幂运算性质的应用知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01根式(1)n次方根的定义与性质定义一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*性质(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示；(2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为；(3)负数没有偶次方根；(4)0的任何次方根都是0，记作(2)根式的定义与性质定义式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数性质，知识点02分数指数幂整数指数幂指数

幂中

的指

数从

整数

拓展

到了

有理

数分数指数幂正整数指数幂：正数的正分数指数幂：负整数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.知识点03指数幂的运算1．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，>0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a>0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.2．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.整数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围实数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>03．指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.题型1根式与分数指数幂的互化【例1】下列根式与分数指数幂的互化错误的是（

）A．3aa=C．x−12【答案】B【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解.【解答过程】对于A选项，3a对于B选项，x−对于C，x−对于D，3−x故选：B．【易错提醒】/【方法总结】利用分数指数幂的运算法则即可求解【变式1-1】下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.【变式1-2】设a>0，则4a3A．a16 B．a15 C．【解题思路】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解.【解答过程】4a故选：D.【变式1-3】设a>0，则14a3A．a−16 B．a−15【答案】D【解题思路】根据根式和指数幂的转化即可得到答案.【解答过程】14故选：D.题型2\t"/gzsx/zj145209/_blank"\o"根式的化简求值"根式的化简求值【例2】若1<a<2，则31−a3+A．1 B．−1 C．3−2a D．2a−3【答案】C【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可.【解答过程】由1<a<2，得2−a>0，所以31−a故选：C.【易错提醒】/【方法总结】化简根式时需注意：在根式计算中，含有eq\r(n,a)(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而eq\r(n,an)中a可以是任何实数【变式2-1】已知a<1，则a−12+3A．−1 B．1 C．2a−1 D．1−2a【答案】B【解题思路】根据根式的性质化简求值即可.【解答过程】因为a<1，所以a−12故选：B.【变式2-2】若a<−1，则1+a6⋅3A．−a+15 B．a+15 C．−【解题思路】先判断a+1的正负，然后利用根式运算化简原式即可求得结果.【解答过程】因为a<−1，所以a+1<0，所以1+a6故选：C.【变式2-3】下列各式正确的是（

）A．3−8=6C．nan=【答案】D【解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误.【解答过程】3−8=−2，(3−π∵n>1,n∈N∗，∴当n为奇数时，nan=a(n故选：D.题型3指数幂的运算【例3】下列各式中，计算正确的是（

）A．m4·mC．−2xy3=−6x【答案】D【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解．【解答过程】对于A，m4对于B，m4对于C，−2xy3对于D，−ab故选：D．【易错提醒】/【方法总结】根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算再合并同类项即可【变式3-1】下列运算结果中，正确的是（

）A．a2⋅a3=a5 B．【解题思路】根据指数的运算性质即可逐一判断.【解答过程】对于A,a2对于B，−a对于C，当a≠1时，才有a−1对于D，−a故选：A.【变式3-2】3−82+A．16−π B．π C．−π 【解题思路】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得.【解答过程】3===4+4−=−π故选：C.【变式3-3】6423−A．−985 B．−983 C．−995 D．−994【解题思路】利用指数幂的运算性质求解.【解答过程】原式=4故选：A.题型4指数幂的化简、求值【例4】计算：(1)−1.80(2)若a=27，b=16，求−2ab【答案】(1)19(2)6【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；（2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可.【解答过程】（1）原式=1+=1+=1+4（2）原式==4a因为a=27，b=16，所以原式=4×27【易错提醒】/【方法总结】利用根式与指数幂运算法则计算【变式4-1】（1）计算：94（2）化简：a【答案】（1）1；（2）a【解题思路】利用指数运算法则和根式运算法则计算即可.【解答过程】（1）9=3（2）a2【变式4-2】计算2n+12⋅A．164 B．22n+5 C．2【解题思路】根据指数幂运算求解即可.【解答过程】原式=2故选：D.【变式4-3】若a,b>0，则a−1−bA．12a−2+b−2 B．−【解题思路】根据分数指数幂的运算性质求解即可.【解答过程】a−1故选：D.题型5指数式的给条件求值问题【例5】（1）已知2a=4，求（2）已知a2+a−1=0，求【解题思路】（1）由2a=4得（2）根据分数指数幂的运算性质求解即可.【解答过程】（1）由2a=4，得则4a（2）因为a2+a−1=0，则则a2【易错提醒】/【方法总结】对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值【变式5-1】已知a12−a−A．35 B．±35 C．215【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得.【解答过程】由a12−a−故a1故a−故a2故选：C.【变式5-2】已知，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值；（2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值.【解析】（1）因为，故，故，而，故，故.（2）由（1）可得，故，故，故.【变式5-3】若am=3，an=4，则A．24 B．12 C．26 D．【答案】A【解题思路】利用分数指数幂运算法则得到答案.【解答过程】a2m+3n故选：A.题型6指数幂等式及幂的方程问题【例6】方程32x−1=A．−2 B．−22 C．2【答案】B【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可.【解答过程】由32x−1=所以2x−1=−2，2解得x=−2故选：B.【易错提醒】/【方法总结】将方程两边化为同底数幂的形式即可求解【变式6-1】方程5x−1A．1,4 B．14 C．1,14【解题思路】根据题意，先把103x转化为53x⋅【解答过程】原方程可化为：5x−1⋅53x⋅故选：B．【变式6-2】方程81×32x=19【解题思路】根据指数幂运算求解即可．【解答过程】∵81×32x=则2x+4=−2(x+2)，解得x=−2．故答案为：−2．【变式6-3】关于x的方程4x−2x=2【解题思路】由4x−2x=2可得出2【解答过程】由4x−2x=2因为2x>0，可得2x所以，方程关于x的方程4x−2故答案为：x=1.一、单选题1．设a>0，则4a3aA．a13 B．a15 C．【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案.【解答过程】4a故选：A．2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义；当时，，此时④无意义．因为，所以恒有意义，因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义，所以恒有意义的式子是①③．故选：B．3．3−82+A．16−π B．π C．−π 【解题思路】由根式和指数的运算法则计算即可.【解答过程】3−8故选：C.4．下列等式成立的是（

）A．x13=−C．x3+y【解题思路】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案.【解答过程】对于A，x1对于B，2−3对于C，当x=1,y=1,时，x3对于D，39故选：D.5．若有意义，则的取值范围是（

）A．， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】由题意可知，且．故选：B6．设，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得①；由得②．得，得故选：D.二、多选题7．下列各式错误的是（

）A．6y2=C．x−13=−3x【解题思路】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案.【解答过程】对于A，当y<0时，6y对于B，a=1时显然等式不成立，故B错误；对于C，x−对于D，4a故选：ABC.8．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=(−x)C．x−13【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断.【解答过程】对于A，−x=−x对于B，6y对于C，x−对于D，3(−x)故选：CD.9．已知实数a满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】,，，故选项A正确;，，故选项B错误;,，故选项C正确;,且，，，故选项D正确.故选：ACD三、填空题10．若2m=3，2n=5【解题思路】根据指数幂的运算法则求解．【解答过程】若2m=3，2n故答案为：15．11．计算：eq\r(3,（－3）3)＋4eq\r(4,（－2）12)＝________．12．若实数、、满足，，则的最小值是.【答案】【解析】由可得：，即，当且仅当，即时取等号，由，可得：，又由得：，所以，因为，所以，当且仅当取等号，故答案为：四、解答题13．计算：(1