初高中数学暑假衔接材料：第02讲 对数（原卷版）

16/16第02讲对数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对数的概念判断与求值题型2指数式与对数式的互化题型3对数的运算性质的应用题型4运用换底公式化简计算题型5指、对数方程的求解题型6带附加条件的指、对数问题题型7对数的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数、对数的运算性质换底公式1.理解对数的概念并掌握对数的运算性质；2.了解对数的换底公式；3.能运用对数的运算性质及换底公式进行对数的化简、求值、证明．4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算学习重点：对数的运算及应用学习难点：对数的运算知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01对数的概念1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N.

用图表示为：2．常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数简记作lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

≈2.71828简记作lnN知识点02对数的运算1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数2．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.题型1对数的概念判断与求值【例1】对数loga+35−a中实数a的取值范围是（A．−∞,5 B．−3,5 C．−3,−2∪−2,5 【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】若代数式log8x2−2xA．−∞,−1 B．−1,3C．3,+∞ D．−∞,−1【变式1-2】在b=loga5−aA．a>5或a<0 B．0<C．0<a<1 【变式1-3】有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型2指数式与对数式的互化【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】若m2024=n（m>0且m≠1），则（A．logmn=2024 C．log2024m=n 【变式2-2】已知ax=4，loga3=y，则A．5 B．6 C．7 D．12【变式2-3】将log30.81=x化成指数式可表示为（A．3x=0.81 B．x0.81=3 C．题型3对数的运算性质的应用【例3】计算：log153−logA．－2 B．0 C．1 D．2【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】已知ab≠1,logam=2,logbA．110 B．17 C．710【变式3-2】若log2m+log4n=2A．3 B．4 C．9 D．16【变式3-3】若a>0且a≠1，b>0，c>0，n、m∈N+，n>1，给出下列等式：①logab2−c2=2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型4运用换底公式化简计算【例4】设lg2=a，lg3=b，则A．b−a+1a+2b B．b+a+1a+2b C．b−a+1a−2b【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】若a=log35，5b=6A．1 B．−1 C．2 D．−2【变式4-2】若2x=6，y=log44A．3 B．log23 C．8 【变式4-3】已知m>0，n>0，log33m+log3A．−1或0 B．1 C．−1 D．1或0题型5指、对数方程的求解【例5】若lga，lgb是方程5x2−10x+3=0A．2 B．12 C．100 D．【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】若方程lgx2+lg7+lg5lgx+A．lg7⋅lg5 B．lg35 【变式5-2】设方程lgx2−lgx2−3=0的两实根是aA．1 B．－2C．−103【变式5-3】方程log3x=logA．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型6带附加条件的指、对数问题【例6】（1）已知2a=5（2）已知32x=4【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知5x=2，5y=3，则A．223 B．324 C．【变式6-2】（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a、b表示（2）已知3x=6【变式6-3】已知：2x=3题型7对数的实际应用【例7】星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍【易错提醒】/【方法总结】【变式7-1】2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知M（里氏震级）的计算公式为M=lgA−lgA0（其中A是被测地震最大振幅，常数AA．1.8 B．18 C．63 D．128【变式7-2】声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级L来表示声强强度大小，规定声强级L=10lgII0（单位：分贝），其中I0为标准声强.若声强I1是声强I2的150倍，则声强A．14 B．21 C．22 D．23【变式7-3】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时10A．10 B．14 C．15 D．16一、单选题1．计算22+log2A．7 B．9 C．10 D．202．若代数式log8x2−2x−3有意义，则实数A．−∞,−1 C．3,+∞ D．3．若ab=2a>0,a≠1A．loga2=b C．2a=b 4．已知a=lg3,b=lg5，则用a,b表示A．a+2b B．2ab C．3ab D．3b−a5．计算：log23⋅logA．2 B．4 C．5 D．66．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（

）天后进步的是落后的200倍A．264 B．266 C．268 D．270二、多选题7．下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=38．下列关系表示正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若设，且，则D．若，则9．若实数x>0，y>0，a>0，且a≠1，m≠0，n≠0，则下列各式中，恒成立的是（

）A．ax+y=aC．logam