初高中数学暑假衔接材料：第02讲 集合的基本关系（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第02讲集合的基本关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：判断两个集合的包含关系题型2：求子集（真子集）及其个数题型3：空集的性质及其应用题型4：根据集合相等关系进行计算题型5：根据两个集合相等求参数题型6：根据集合的包含关系求参数题型7：根据子集（真子集）的个数求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航子集真子集集合相等空集Venn图1.理解子集、真子集的定义，掌握子集、真子集的符号表示方法，能正确判断两个集合的包含关系。2.掌握集合相等的判定条件，能根据定义或元素特征判断两个集合是否相等。3.理解空集的概念与性质，明确空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集，掌握空集的特殊性。4.会用Venn图直观表示集合间的包含、相等关系，能借助图形辅助分析集合关系问题。5.能根据集合间的关系求解参数的取值范围，掌握分类讨论的思想在集合关系问题中的应用。学习重点：子集、真子集的概念与符号表示，集合相等的判定方法，空集的核心性质，集合间关系的基础判断。学习难点：根据集合间的包含关系求解参数取值范围，空集的特殊性在解题中的应用，用分类讨论思想处理含参数的集合包含问题。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01子集的概念定义一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集记法与读法记作(或),读作“包含于”(或“B包含”)图示或结论（1）任何一个集合是它本身的子集,即;（2）对于集合A,B,C,若,且,则即时即练已知集合，则（

）A． B． C． D．A、B没有包含关系知识点02集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则.即时即练已知为实数，集合，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3知识点03真子集的概念定义如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集记法记作(或)图示结论(1)若且,则;(2)若且,则即时即练满足⫋的集合的个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5知识点04子集的个数如果集合A中含有个元素，则有A的子集的个数有个，非空子集的个数有个，真子集的个数有个，非空真子集的个数有个．即时即练集合，则的子集个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型1：判断两个集合的包含关系【典例1-1】已知集合，，则（）A． B．C． D．【典例1-2】已知集合，则（）A． B． C． D．【变式1-1】集合之间的关系是（）A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋【变式1-2】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（

）A． B．C． D．题型2：求子集（真子集）及其个数【典例2-1】已知集合满足，求集合及其个数．【典例2-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集．【变式2-1】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合.(1)求集合；(2)写出集合的所有子集.【变式2-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知集合，且.(1)求实数的值；(2)写出集合的所有子集.题型3：空集的性质及其应用【典例3-1】（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．【典例3-2】（多选题）（2026·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（多选题）（2026·高一·广东惠州·阶段检测）对于下列四个判断，其中错误的是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（多选题）（2026·高一·河南南阳·期中）下列表述正确的有（

）A． B．C． D．题型4：根据集合相等关系进行计算【典例4-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，若，则__________.【典例4-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知集合，且，则的值为______．【变式4-1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.【变式4-2】若集合，，且，则________.题型5：根据两个集合相等求参数【典例5-1】若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______．【典例5-2】（2026·高一·安徽·期中）若，则_____.【变式5-1】（2026·高一·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则________.【变式5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，，且，则集合________．题型6：根据集合的包含关系求参数【典例6-1】已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数的取值集合；(3)若中有3个整数，求实数的取值集合；(4)若，求实数的取值集合；(5)若，求实数的取值取值集合；【典例6-2】（2026·高一·河南周口·期末）已知全集，，.(1)当时，求；(2)若，求m的取值范围.【变式6-1】已知集合，．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．【变式6-2】设全集，集合，非空集合.(1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围；(2)若B是A的子集，求实数a取值范围.【变式6-3】（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.题型7：根据子集（真子集）的个数求参数【典例7-1】（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合(1)若，写出的所有子集(2)若集合中只含有一个元素，求的值．【典例7-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知集合.(1)若，写出集合A的所有子集；(2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；(3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围.【变式7-1】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知集合．(1)若中有两个元素，求实数的取值集合；(2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集．【变式7-2】设集合，．(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．

1．（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2026·高一·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．643．（2026·高一·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（

）A．3 B．6 C．7 D．84．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．5．（2026·高一·云南普洱·期中）集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．96．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2026·高三·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（）A． B． C． D．8．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（

）A． B． C． D．9．（多选题）（2026·高一·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．10．（多选题）（2026·高一·广东江门·阶段检测）下列关系表示正确的是（

）A． B．C． D．11．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数______．12．（2026·高一·广东广州·期中）设，若，则=__________.13．（2026·高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______.14．（2026·高一·四川眉山·期末）已知集合，且.(1)求的值；(2)写出集合的所有真子集.15．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）设集合，．(1)当时，求的所有子集中的元素之和；(2)若，求的取值范围．16．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知集合．(1)若，写出集合A的所有子集；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．17．（2026·高一·北京延庆·阶段检测）已知集合(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.18．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是.(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和；(2)已知集合，根据提示解决问题.①求集合所有非空子集的元素和的总和；②求集合所有非空子集的交替和的总和.19．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知集合(1)若，请写出集合的所有子集；(2)若集合，且，求的取值范围.20．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.(2)已知集合，根据提示解决问题.①求集合M所有非空子集的元素和的总和；提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合