相似三角形判定专项练习题

相似三角形判定专项练习题相似三角形的判定，是平面几何中的一块基石，其应用贯穿于各类复杂图形的分析与解决之中。能否熟练、准确地运用判定定理，直接关系到几何推理能力的高低。本次专项练习，我们将通过一系列精心设计的题目，帮助你巩固所学，深化理解，提升运用判定定理解决实际问题的能力。一、相似三角形判定定理回顾在开始练习之前，让我们简要回顾一下相似三角形的核心判定定理，这是我们解题的依据：1.定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（注：此方法虽为定义，但直接用于判定较为繁琐，更多用于性质的应用。）2.两角对应相等判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简记：AA）3.两边对应成比例且夹角相等判定定理：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（简记：SAS）4.三边对应成比例判定定理：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。（简记：SSS）掌握这些定理，并能灵活选用，是解决相似三角形判定问题的关键。二、专项练习题（一）基础判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.两个等边三角形一定相似。（）2.两个等腰三角形一定相似。（）3.有一个角是30°的两个等腰三角形相似。（）4.有一个角是120°的两个等腰三角形相似。（）5.对应边成比例的两个三角形相似。（）（二）选择题1.下列条件中，不能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（）A.∠A=∠A'，∠B=∠B'B.∠C=∠C'=90°，∠A=30°，∠B'=60°C.AB=AC，A'B'=A'C'，∠A=∠A'D.AB=3，BC=4，AC=5；A'B'=6，B'C'=8，A'C'=122.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定△ADE与△ABC相似的是（）（示意图：△ABC，D在AB上，E在AC上）A.DE∥BCB.∠ADE=∠CC.AE/AC=DE/BCD.AD/AB=AE/AC3.在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=12，DF=9。则这两个三角形（）A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断（三）解答题1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。求证：△ACD∽△ABC∽△CBD。（示意图：直角三角形ABC，∠C为直角，CD⊥AB于D）2.已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD·AB=AE·AC。求证：△ADE∽△ACB。（示意图：△ABC，D在AB上，E在AC上，连接DE）3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AO/CO=BO/DO。求证：△AOB∽△COD，且∠ABC=∠ADC。（示意图：四边形ABCD，对角线交于O）4.在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE。求证：△ADE∽△ABC。（示意图：等腰△ABC，AB=AC，D在AB延长线上，E在AC延长线上，BD=CE）5.如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q。求证：△ABP∽△PCQ。（示意图：正方形ABCD，P在BC上，PQ⊥AP交DC于Q）三、参考答案与解析（一）基础判断题1.√解析：等边三角形各角均为60°，各边成比例，故一定相似。2.×解析：等腰三角形的顶角不一定相等，底角也不一定对应相等，如顶角30°和顶角120°的等腰三角形不相似。3.×解析：30°角可能是顶角也可能是底角。若一个三角形的顶角为30°，另一个三角形的底角为30°，则三角不一定对应相等。4.√解析：120°角只能是顶角（因为底角不可能为钝角），故两底角均为30°，三角对应相等，所以相似。5.×解析：应为“对应边成比例且对应角相等”才是相似三角形，仅对应边成比例是定义的一部分，完整定义需两者兼备。此处题目表述不完整，故错误。（若严格按判定定理，“三边对应成比例”可判定相似，但题目中“对应边成比例”未明确是“三边”，故判错。）（二）选择题1.C解析：A选项：两角对应相等（AA），相似。B选项：∠A=30°，∠B=60°，则∠C=90°；∠D=∠A=30°，∠B'=60°，则∠C'=90°，故△ABC∽△B'A'C'（AA）。C选项：AB=AC，A'B'=A'C'说明两三角形均为等腰三角形，且顶角∠A=∠A'，根据“两边对应成比例且夹角相等”，AB/A'B'=AC/A'C'，夹角∠A=∠A'，应相似。（此处原答案设置可能有误，经重新审视，C选项条件应能判定相似。若题目为AB/AC=A'B'/A'C'且∠A=∠A'，则更严谨。原题表述“AB=AC，A'B'=A'C'，∠A=∠A'”，则AB/A'B'=AC/A'C'成立，夹角相等，故C选项应相似。因此，本题可能无正确答案或题目存在瑕疵。若严格按原题，最不合适的选项为D，D选项中三边比例为3:4:5与6:8:12=1:2:3，不成比例，故D不相似。原答案可能为D。此处以D为选项进行修正。）修正后答案：D解析：D选项中，AB/A'B'=3/6=1/2，BC/B'C'=4/8=1/2，AC/A'C'=5/12。三边不成比例，故不相似。2.C解析：A选项：DE∥BC，由平行线分线段成比例的推论，可得△ADE∽△ABC（AA，因为同位角相等）。B选项：∠ADE=∠C，且∠A为公共角，故△ADE∽△ACB（AA），即与△ABC相似。C选项：AE/AC=DE/BC，此为SSA形式，且非夹角，不能判定相似。D选项：AD/AB=AE/AC，且∠A为公共角，符合SAS，故相似。3.A解析：AB/DE=4/12=1/3，AC/DF=3/9=1/3，所以AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D（已知夹角相等），故由SAS判定定理，△ABC∽△DEF。（三）解答题1.证明：在△ACD和△ABC中，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA）。同理，在△CBD和△ABC中，∠CDB=∠ACB=90°，∠B=∠B（公共角），∴△CBD∽△ABC（AA）。∴△ACD∽△ABC∽△CBD。2.证明：∵AD·AB=AE·AC，∴AD/AC=AE/AB（等式两边同时除以AB·AC）。在△ADE和△ACB中，∵AD/AC=AE/AB，且∠A=∠A（公共角），∴△ADE∽△ACB（两边对应成比例且夹角相等，SAS）。3.证明：在△AOB和△COD中，∵AO/CO=BO/DO，且∠AOB=∠COD（对顶角相等），∴△AOB∽△COD（两边对应成比例且夹角相等，SAS）。∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC（相似三角形对应角相等）。在△ABC和△ADC中，∵∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC，∠ADC=∠ODC+∠ODA。（此处需补充证明∠OBC=∠ODA。由△AOB∽△COD可得AO/CO=BO/DO，在△AOD和△COB中，AO/CO=BO/DO，∠AOD=∠COB，故△AOD∽△COB，从而∠OBC=∠ODA。）∴∠ABC=∠ADC。4.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）。∵D、E分别在AB、AC的延长线上，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（等角的补角相等？不，此处应为：设AB=AC=a，BD=CE=b，则AD=a+b，AE=a+b，所以AD=AE，故∠ADE=∠AED。又∠BAC=∠DAE（公共角），所以△ADE∽△ABC（AA）。）（更优证法）设AB=AC=k，BD=CE=m。则AD=AB+BD=k+m，AE=AC+CE=k+m。∴AD/AE=(k+m)/(k+m)=1，AB/AC=k/k=1。∴AD/AB=(k+m)/k，AE/AC=(k+m)/k。∴AD/AB=AE/AC。又∵∠DAE=∠BAC（公共角），∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等，SAS）。5.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD。∴∠BAP+∠BPA=90°（直角三角形两锐角互余）。∵PQ⊥AP，∴∠APQ=90°。∴∠BPA+∠CPQ=180°-∠APQ=90°（平角定义）。∴∠BAP=∠CPQ（同角的余角相等）。在△ABP和△PCQ中，∵∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ（AA）。四、总结与提示相似三角形的判定需要我们对几个基本定理有深刻的理解和灵活的运用。在解题时，要注意以下几点：1.仔细观察图形：寻找相等的角（公共角、对顶角、直角、等角的余角或补角、平行线的同位角内错角等）和成比例的线段。2.明确判定依据：每一步推理都要有根有据，特别是在书写证明过程时，要清晰指出使用了哪个判定定理。3.