湖北省十堰市2025-2026学年高一下学期期末评价数学试卷（含详解）

湖北十堰市普通高中2025-2026学年高一下学期期末评价数学试卷一、单选题1．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C．1 D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．在中，，，角，则角大小为（

）A． B． C． D．或4．如图在梯形中，，，设，，则（

）A． B．C． D．5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（

）A． B．C． D．6．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（

）A．B．；C．D．.7．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．8．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（）A．1:2 B．2:3C．1:4 D．4:5二、多选题9．为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（

）A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.810．已知向量，，下列说法正确的是（）A． B．C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为11．正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的外接球表面积为B．三棱锥的体积为定值C．平面AEF截正方体所得的截面周长为D．直线AF与平面所成角的正弦值为三、填空题12．已知角满足，则________．13．已知向量，满足，，且，则与的夹角为______.14．在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.四、解答题15．已知，，且与夹角为，求：(1)；(2)与的夹角的余弦值.16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．(1)求A，(2)若的周长为20，面积为，求a．17．中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；(2)求这500名中国大模型用户的年龄在内的人数；(3)估计这500名中国大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．18．在中，内角的对边分别为，且，.(1)求的大小；(2)若，求的面积；(3)求的最大值.19．如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求异面直线与所成的角的余弦值．参考答案1．C【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.2．A【详解】因为，所以．3．A【详解】在中，已知，，，由正弦定理.所以，所以.由，根据大边对大角，得，所以只能为锐角.因此.4．D【详解】因为，，所以，又，，所以.故选：D.5．B【详解】由题意可得，令，得，此时，所以图象的对称中心是.6．B【详解】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误；选项B：由面面平行的性质定理可知B正确；选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误；选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误；故选：B.7．C【详解】已知，则，解得，在方向上的投影向量为：．8．B【详解】解：设，由“阳马”的定义及可知，四边形是矩形，平面，“阳马”的体积为：，由“堑堵”的定义可知，，且平面，“堑堵”的体积为：，所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为：.故选：B.9．BCD【详解】将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10,选项A，分位数位置：，因为为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位数是，A错误选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确；选项C，样本均值，用样本均值估计总体均值，C正确；选项D，样本方差，D正确.10．ABD【详解】对于A，，，所以，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，则有、，即与向量平行的单位向量有、，故C错误；对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确．故选：ABD11．BC【详解】对于A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为，因此三棱锥的外接球表面积为，A错误；对于B，连接，由且，得四边形是平行四边形，则，又，于是，四边形是平面截正方体所得的截面图形，连接，则由、均为所在棱的中点，得，，则四边形是平行四边形，，又平面，平面，因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离，为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确；对于C，由选项B知，平面截正方体所得的截面图形为四边形，而，，，平面截正方体所得的截面周长为，C正确；对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角，又，，，，因此直线与平面所成角的正弦值为，D错误．故选：BC12．【详解】,.13．【详解】因为，所以，即，设与的夹角为，则，又，，所以，解得，因为，所以.14．【详解】如图，取的中点，的中点，连接，并连接，由于点分别是棱的中点，所以，平面，平面，平面，与，平行且相等，则是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，面，平面，所以平面平面，平面，平面，且平面平面，所以，即点轨迹是线段，正方形棱长为4，则，，所以的最小值即为底边上高等于．故答案为：．15．(1)(2)【详解】（1），，且与夹角为，，；（2），，.16．(1)；(2).【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，即，则，即，又，所以.（2）由的面积为，得，解得，由的周长为20，得，即，由余弦定理得，即，于是，解得，所以.17．(1)0.015(2)200人(3)37.5【详解】（1）由题可知组距为10，则：，解得：；（2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：，所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人；（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由正弦定理得：，又，，即，又，，，又，.（2）由余弦定理得：，解得：，.（3）由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，又，；，令，，则在上单调递增，，即，的最大值为.19．(1)取中点，连接，．在中，，分别为的中点，所以，且．由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．(2)在正方形中，，又，，，平面，所以平