初中七年级数学“一元一次方程的应用：储蓄与销售利润问题”导学案

初中七年级数学“一元一次方程的应用：储蓄与销售利润问题”导学案

  一、教学背景分析

  本节课隶属于初中数学“数与代数”领域，是沪科版七年级上册第三章“一次方程与方程组”中“3.3一元一次方程的应用”的第二课时内容。方程是刻画现实世界数量关系的重要模型，其应用贯穿于整个数学学习历程。在本章中，学生已经学习了一元一次方程的概念、解法以及第一课时关于等积变形、行程问题的初步应用，掌握了寻找等量关系、设未知数、列方程、解方程及检验作答的基本流程。本节课将数学模型的应用场景拓展至社会经济生活中的两个典型领域——储蓄利息与商品销售利润。这两个问题紧密联系学生的现实生活（如压岁钱存储、家庭理财讨论、商场购物促销），具有极强的现实意义和应用价值，是培养学生数学应用意识、模型观念和理性思维能力的绝佳载体。

  从学情来看，七年级学生正处于从具体运算向形式运算过渡的关键期，其抽象逻辑思维开始加速发展，但仍需具体情境和直观经验的支撑。他们对“利息”和“利润”等经济概念已有一定的感性认识和生活经验，例如知道存款可能获得利息、商品买卖会涉及成本和售价，但对于其中精确的数量关系，如利息与本金、利率、存期的数学化关联，利润、利润率、进价、售价之间的逻辑依存，尚缺乏系统、清晰的理解，更难以主动将其抽象为方程模型。此外，学生在处理涉及百分比、小数运算的实际问题时，计算准确性是一个常见的挑战。因此，教学设计的核心在于如何创设真实、连贯、有吸引力的问题情境，引导学生从生活语言自然过渡到数学语言，自主发现并梳理这些复杂的数量关系，最终成功构建并求解方程，从而深刻体会数学的工具性价值，增强学习数学的自信心和成就感。

  在核心素养培育指向方面，本节课致力于达成以下目标：一是发展“模型观念”，引导学生经历从现实生活问题中识别关键信息、抽象数量关系、建立一元一次方程模型的全过程，强化“数学建模”的应用意识。二是提升“运算能力”，在解方程和涉及百分比的计算中，追求准确与熟练。三是培养“抽象能力”与“推理能力”，从具体情境中抽象出普遍的数量关系式，并能进行逻辑推理和表达。四是渗透“应用意识”与“创新意识”，鼓励学生运用所学知识分析和解决身边的金融、商业小问题，甚至提出简单的理财或促销方案。五是融入“金融素养”启蒙和“理性消费”观念，在数学学习中自然地接受财经基础知识教育。

  二、学习目标与重难点

  基于以上分析，确立本节课的学习目标如下：

  1.知识与技能目标：理解储蓄问题中的本金、利息、利率、本息和等基本概念及其关系；理解销售问题中的进价（成本）、售价、利润、利润率等基本概念及其关系。能准确分析实际问题中的已知量和未知量，找出关键等量关系，并熟练地列出一元一次方程解决关于储蓄利息和商品销售利润的实际问题。

  2.过程与方法目标：经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的数学建模过程。通过小组合作探究、分析对比、归纳概括等活动，提高从复杂情境中提取数学信息、梳理数量关系的能力。体验方程思想在解决实际经济问题中的优越性。

  3.情感、态度与价值观目标：感受数学与经济社会生活的紧密联系，增强数学应用意识和服务生活的观念。在解决储蓄与利润问题的过程中，获得积极的数学学习体验，培养严谨、细致、理性的思维品质。初步形成基本的金融常识和理性的消费理财观念。

  教学重点：准确理解储蓄利息问题（利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息）和销售利润问题（利润=售价－进价，利润率=利润/进价×100%）中的基本数量关系，并能据此寻找等量关系列出一元一次方程。

  教学难点：从现实问题的复杂叙述中清晰辨识属于哪种问题模型，并正确选择与设定未知数；对利润率等概念的理解及其公式的灵活变形应用；区分“利率”与“利润率”等相似概念在不同语境下的含义。

  三、教学策略与方法

  为达成上述目标，突破重难点，本节课将采用以下教学策略与方法：

  1.情境驱动教学法：创设贯穿始终的“小明一家的财经生活”主题情境，将储蓄与销售问题置于连贯的、贴近生活的故事线中，激发兴趣，赋予学习意义。

  2.探究发现式学习：设置层层递进的探究性问题链，引导学生通过自主思考、小组讨论，逐步发现、归纳和概括出利息与利润的基本关系式，完成知识的自我建构。

  3.对比归纳法：在学完两类问题后，引导学生从概念、关系式、等量关系寻找等方面进行对比分析，形成清晰的知识结构图，深化理解，防止混淆。

  4.变式训练与讲练结合：通过精心设计的例题、变式题和阶梯式练习，帮助学生巩固模型，灵活应用。采用“先试后导，先练后讲”的方式，暴露思维过程，针对性解决困惑。

  5.信息技术融合：利用多媒体课件动态呈现关系式推导过程、展示真实的生活场景图片（如银行利率表、商场促销标签），增强直观性。有条件可引入简易的在线计算工具辅助验证。

  四、教学资源与工具准备

  1.教师准备：多媒体课件（内含情境故事动画/图片、核心关系式推导流程图、例题与习题、课堂小结思维导图）；课堂练习纸及课后拓展学案；实物道具（如模拟存款单、商品价签卡片）。

  2.学生准备：七年级上册数学课本、练习本、文具；复习一元一次方程的解法及应用的一般步骤；课前可简单了解家人银行存款或家庭店铺经营的大致情况。

  五、教学过程设计

  （一）情境创设，激趣导新（预计用时：8分钟）

  教师活动：

  1.多媒体展示主题图片：“小明一家的多彩生活”。讲述：“同学们，今天我们继续跟随小明一家，用数学的眼光探索生活中的经济学问。新年刚过，小明收到了一笔2000元的压岁钱，妈妈建议他把钱存入银行。而小明的爸爸经营一家文具店，最近正在考虑一批新书包的定价问题。这里面的数学奥秘，就是我们今天要学习的内容。”

  2.提出问题链，引导学生初步思考：

  问题1：小明去银行存款，他需要了解银行的哪些信息？（预设回答：存多少钱、存多久、利率多少、到期能拿回多少等）

  问题2：爸爸在给书包定价时，需要考虑哪些成本？怎样才算盈利？（预设回答：进货花的钱、卖多少钱、赚了多少、赚的比例等）

  3.自然引出课题：“这些问题都涉及到经济活动中常见的计算，我们可以用我们已经掌握的有力工具——一元一次方程来解决它们。这就是我们今天要深入学习的‘一元一次方程的应用：储蓄与销售利润问题’。”

  学生活动：

  1.观看情境展示，融入故事氛围。

  2.联系自身经验，积极回答教师提出的引导性问题。

  3.明确本节课的学习主题和任务，产生探究兴趣。

  设计意图：通过创设真实、连贯且贴近学生经验的情境，快速吸引学生注意力，激活其关于储蓄和利润的已有生活认知。问题链的设计旨在引导学生自发地聚焦于核心概念，为接下来的概念学习做好心理和认知铺垫。明确方程作为解决工具，建立新旧知识的联系。

  （二）合作探究，建构模型（预计用时：22分钟）

  第一部分：储蓄利息问题探究

  教师活动：

  1.回到小明存压岁钱的情境。给出具体数据：“假设银行一年期定期存款的年利率是2.25%（此为示例数据，可根据实际调整），小明存入2000元，存期一年。”

  2.组织第一次探究（个人思考后小组讨论）：

  探究任务A：你能用数学语言解释“年利率2.25%”是什么意思吗？到期后，银行付给小明的“利息”是多少元？请列式计算。

  探究任务B：到期后，小明从银行一共可以取回多少钱？这个总额叫什么？

  3.巡视指导，参与小组讨论。收集典型算法和可能出现的错误（如将2.25%直接当作0.225计算）。

  4.请小组代表展示汇报。教师板演关键计算：利息=2000×2.25%×1=2000×0.0225×1=45（元）。强调将百分数化为小数或分数参与运算。明确：本息和=本金+利息=2000+45=2045（元）。

  5.引导抽象概括：“如果去掉具体数字，用字母表示这些量，你能写出它们之间的关系式吗？”师生共同完成：

  设本金为p，利率为r（百分数形式），存期（期数）为n，利息为I，本息和（简称本利和）为S。

  则基本关系式为：I=p×r×n；S=p+I=p+p×r×n=p(1+r×n)。

  强调：公式中的r是如2.25%这样的百分比，在计算时需转化为小数或分数；n与r的时间单位须一致（如年利率对应存期年数）。

  6.概念辨析：通过快速问答区分“利息”与“本息和”。

  学生活动：

  1.独立思考探究任务A和B，尝试计算。

  2.在小组内交流计算过程和结果，相互检查、解释。可能出现对利率处理的疑问。

  3.聆听小组代表汇报，对照自己的思考，理解正确的计算方法和概念。

  4.跟随教师引导，从具体数字抽象到字母表示，共同推导出储蓄问题的通用关系式，并记录在笔记本上。

  5.参与概念辨析问答，巩固理解。

  设计意图：从具体实例出发，让学生在实际计算中感受概念，符合认知规律。小组合作促进思维碰撞，暴露并解决理解误区（如百分数处理）。从具体到抽象概括出数学模型，是培养模型观念的关键一步。关系式的推导过程清晰呈现了数量间的依存关系。

  第二部分：销售利润问题探究

  教师活动：

  1.切换情境至爸爸的文具店。“爸爸购进一款新书包，每个进价是80元。他计划定价销售。”

  2.组织第二次探究（类比储蓄问题，进行小组讨论）：

  探究任务C：如果爸爸以每个100元的价格卖出书包，每个书包赚了多少钱？这个赚的钱在商业上称作什么？

  探究任务D：赚的钱（利润）占进价（成本）的百分比是多少？这个百分比称作什么？如何计算？

  3.巡视指导，关注学生对“利润”、“利润率”概念的形成过程。

  4.请小组代表汇报。教师板演：利润=售价-进价=100-80=20（元）。利润率=(利润/进价)×100%=(20/80)×100%=25%。

  5.引导抽象概括：“同样地，我们用字母来表示这些量。”师生共同完成：

  设进价（成本）为a，售价为b，利润为L，利润率为m（百分数形式）。

  则基本关系式为：L=b-a；m=(L/a)×100%=((b-a)/a)×100%。

  由此可推导出其他变形公式：b=a(1+m)；a=b/(1+m)；L=a×m。

  强调：利润率通常是利润相对于进价的百分比，这是商业中的常见约定，需牢记。

  6.概念辨析：比较“利润（额）”与“利润率”的区别与联系。通过举例说明“打几折”与利润率的关系。

  学生活动：

  1.类比储蓄问题的探究方式，小组合作完成探究任务C和D。

  2.汇报交流，明确利润和利润率的计算方式。

  3.跟随教师引导，抽象出销售问题的通用关系式及其变形，并做好笔记。

  4.参与辨析，理解利润是绝对量，利润率是相对量（百分比）。

  设计意图：采用类比探究的方式，学生能借鉴前一部分的学习经验，更高效地完成知识迁移。强调利润率的定义及其公式变形，是解决复杂销售问题的代数基础。概念辨析有助于学生精准把握经济术语的数学内涵。

  （三）典例精讲，掌握范式（预计用时：25分钟）

  教师活动：

  1.呈现例题1（储蓄问题）：小明妈妈把一笔钱存入银行，年利率为2.75%，存期两年，到期后共取出本息和8625元。问妈妈当初存入的本金是多少元？

  2.带领学生运用“列方程解应用题五步法”进行分析：

  （1）审题：读题，明确已知条件（利率2.75%，存期2年，本息和8625元）和所求（本金）。

  （2）设元：设本金为x元。

  （3）列方程：寻找等量关系。根据储蓄模型，等量关系是“本息和=本金+利息”，即S=p(1+r×n)。代入得：x(1+2.75%×2)=8625。强调将2.75%化为0.0275参与运算。

  （4）解方程：师生共同求解。x(1+0.055)=8625→1.055x=8625→x=8625÷1.055≈8175.36（通常保留两位小数，实际问题中本金常为整数，此处可作为讨论点）。

  （5）检验作答：将x≈8175.36代入原方程检验，并解释答案的合理性（本金通常为整数，可能是计算中四舍五入导致，或题目数据为近似值）。最终作答：妈妈当初存入的本金约为8175.36元。

  3.呈现例题2（销售利润问题）：某文具店将一款笔记本按进价提高40%后标价，为了促销又打八折出售，结果每本笔记本仍获利2.4元。这款笔记本每本的进价是多少元？

  4.引导学生独立分析，教师点拨难点：

  （1）审题：涉及“提高百分率”和“打折”，需要理解其对应运算。“提高40%”是在进价基础上增加40%，即标价为进价的(1+40%)；“打八折”是在标价基础上乘以80%（或0.8）。

  （2）设元：设每本笔记本进价为x元。

  （3）列方程：梳理售价的形成过程：进价x→标价：x(1+40%)=1.4x→售价（折后价）：1.4x×0.8=1.12x。等量关系是“利润=售价-进价”，即1.12x-x=2.4。

  （4）解方程：0.12x=2.4→x=20。

  （5）检验作答：检验后作答，进价为20元。

  5.组织学生讨论两道例题在寻找等量关系、设未知数、列方程过程中的异同。总结规律：储蓄问题核心围绕“本息和=本金+利息”或其变形；销售利润问题核心围绕“利润=售价-进价”或“利润率公式”或其变形。关键是理清题目描述的数量变化过程。

  学生活动：

  1.跟随教师的引导，逐步分析例题1，巩固列方程解应用题的标准步骤，特别注意百分数的处理和方程建立的过程。

  2.尝试独立或小组合作分析例题2，遇到“提高率”和“折扣”的连续运算时主动思考，在教师点拨下理清思路。

  3.动手完成两道例题的求解过程。

  4.参与对比讨论，归纳两类问题建模的共性与个性，提升解题策略的元认知水平。

  设计意图：通过两个典型例题的精细讲解与演练，将前面探究得到的抽象模型应用于具体解题情境。强调规范的分析步骤和书写格式，培养学生严谨的解题习惯。例题2设计了多步数量变化，旨在提升学生分析复杂情境、厘清数量流程的能力。对比讨论有助于学生形成清晰的知识网络和解题图式。

  （四）变式巩固，分层演练（预计用时：15分钟）

  教师活动：

  1.发放课堂练习纸，包含三个层次的题目：

  基础巩固题：

  （1）小张将5000元存入银行，定期一年，年利率为1.95%，到期后可获得利息多少元？本息和共多少元？

  （2）一件衣服的进价是150元，商店想要获得20%的利润率，售价应定为多少元？

  能力提升题：

  （3）老王把一笔钱存入银行两年，年利率为2.1%，到期后获得利息420元。他存入了多少本金？

  （4）某商品因换季准备打折销售，如果按定价的七五折出售，将赔25元；如果按定价的九折出售，将赚20元。这种商品的定价是多少？

  拓展思考题（供学有余力学生选做）：

  （5）小明爸爸的文具店同时出售两种书包，A书包进价80元，售价120元；B书包进价100元，售价150元。近期促销，两种书包都打x折销售，结果卖完后发现两者的利润率相同。求x的值。

  2.巡视课堂，观察学生答题情况。对基础题进行快速核对；对能力提升题进行个别或小组辅导，特别是第（4）题涉及两种情境下的等量关系建立；对拓展思考题给予适当提示（用含x的代数式表示打折后的售价和利润，利用利润率相等列方程）。

  3.留出时间让学生展示第（3）、（4）题的解题思路，教师点评，强化建模思想。

  学生活动：

  1.独立完成基础巩固题，确保对基本公式的应用无误。

  2.挑战能力提升题，运用所学知识分析更复杂的问题。对于第（4）题，尝试设定价或进价为未知数，根据两种销售情况的描述分别列出利润表达式，利用“进价不变”或“定价不变”作为等量关系建立方程。

  3.学有余力的学生尝试拓展思考题，探索更综合的模型应用。

  4.聆听同学展示，对照自己的解法，优化思路。

  设计意图：分层练习设计满足了不同层次学生的学习需求，确保全体学生掌握基础，同时为有能力的学生提供挑战。基础题强化公式直接应用；能力提升题需要逆向思维或处理多条件关系，深化模型理解；拓展题综合性强，培养学生灵活运用和代数变形能力。巡视与展示环节能及时反馈学情，解决个性化问题。

  （五）课堂小结，梳理提升（预计用时：5分钟）

  教师活动：

  1.提问引导学生从多维度进行总结：

  知识层面：今天我们学习了哪两类经济问题？它们各自的核心概念和基本关系式是什么？（请学生复述）

  方法层面：解决这类应用题的一般步骤是什么？在寻找等量关系时有什么技巧？

  思想层面：通过今天的学习，你对“数学建模”有了什么新的体会？方程思想在解决实际问题中发挥了什么作用？

  2.利用多媒体课件动态呈现本节课的知识结构思维导图，将储蓄问题与销售问题的概念、关系式、典型等量关系进行对比性梳理。

  3.强调易错点：百分数的转化；利率与利润率的时间一致性或参照基准；区分利润额和利润率；复杂销售场景中价格变化链条的梳理。

  学生活动：

  1.积极回应教师的提问，从知识、方法、思想三个层面回顾本节课的收获。

  2.观看思维导图，完善自己的笔记，形成系统化的知识网络。

  3.反思自己在练习中出现的错误，对照教师强调的易错点进行内省。

  设计意图：引导学生进行多维度的课堂小结，超越知识点的简单罗列，涵盖方法掌握和思想感悟，促进深度学习。思维导图的呈现使知识结构可视化、系统化，便于学生记忆和提取。强调易错点有助于学生规避常见错误，提升解题的准确性。

  （六）作业设计，拓展延伸（课后）

  教师活动：

  1.布置分层作业：

  必做题：课本对应章节的练习题；编写一道关于自己压岁钱存储计划的应用题并解答（需设定合理的本金、利率和存期目标）。

  选做题：调查附近银行不同期限的存款利率或一款商品的线上线下售价与估算进价，尝试用今天所学知识进行分析比较，写一份简单的数学小报告。

  2.预告下节课内容：“下节课我们将探索方程在工程问题、比例分配问题中的应用，继续感受方程模型的强大力量。”

  学生活动：

  1.记录作业要求。

  2.根据自身情况完成必做题和选做题。

  3.对下节课内容产生期待。

  设计意图：必做题巩固课堂所学，自编题目鼓励创新和应用。选做题将数学学习延伸到课外实践，培养学生的调查研究能力和财经分析意识，体现数学的实用性和综合性。预告下节课内容，保持学习连续性。

  六、板书设计