专题25 圆的有关计算与证明（共50题）（学生版）（01期）

专题25圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1．(新疆·统考中考真题)如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是(

)

A． B． C． D．2．(江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是(

)

A． B． C． D．203．(湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为()

A． B． C． D．4．(山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()

A． B． C． D．5．(四川达州·统考中考真题)如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是(

)

A． B． C． D．6．(四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是()

A． B． C． D．7．(江苏苏州·统考中考真题)如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为(

)

A． B． C． D．二、填空题8．(重庆·统考中考真题)如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留)

9．(黑龙江绥化·统考中考真题)如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．(结果保留与根号)

10．(重庆·统考中考真题)如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．(结果保留)

11．(江苏扬州·统考中考真题)用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________．12．(浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．13．(浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．(结果保留)

14．(天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．

(1)线段的长为________；(2)若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)________．15．(江苏苏州·统考中考真题)如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则________________．(结果保留根号)

16．(四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．

三、解答题17．(四川南充·统考中考真题)如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

(1)求证：；(2)若，求的长．18．(四川成都·统考中考真题)如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．

(1)求证：；(2)若，求和的长．19．(内蒙古·统考中考真题)如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．

(1)求证：；(请用两种证法解答)(2)若，的半径为3，，求的长．20．(辽宁大连·统考中考真题)如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．

(1)求的度数；(2)如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．21．(浙江杭州·统考中考真题)在边长为的正方形中，点在边上(不与点，重合)，射线与射线交于点．(1)若，求的长．(2)求证：．(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．22．(河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．计算：在图1中，已知，作于点．(1)求的长．操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．

探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．23．(湖北武汉·统考中考真题)如图，都是的半径，．

(1)求证：；(2)若，求的半径．24．(湖南·统考中考真题)如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．

(1)求证：直线直线；(2)若；①求证：；②若，求四边形的周长．25．(天津·统考中考真题)在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．

(1)如图①，求和的大小；(2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．26．(江苏苏州·统考中考真题)如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．(1)求证：；(2)若，求的长．27．(四川达州·统考中考真题)如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．28．(湖南·统考中考真题)如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

(1)求证：．(2)若，求的半径．29．(湖南怀化·统考中考真题)如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．

(1)求证：为的切线；(2)延长与的延长线交于点D，求证：；(3)若，求阴影部分的面积．30．(四川眉山·统考中考真题)如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．31．(安徽·统考中考真题)已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．32．(吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上(点P不与点A、C重合)，连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．33．(四川泸州·统考中考真题)如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．

(1)求证：平分；(2)为上一点，连接交于点，若，求的长．34．(黑龙江绥化·统考中考真题)如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．

(1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．35．(广东·统考中考真题)综合探究如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．

(1)求证：；(2)以点为圆心，为半径作圆．①如图2，与相切，求证：；②如图3，与相切，，求的面积．36．(山东·统考中考真题)如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．

(1)求证：；(2)P是上一点，，求；(3)在(2)的条件下，当是的平分线时，求的长．37．(山东·统考中考真题)如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．

(1)如图1，连接，求证：；(2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论．38．(浙江杭州·统考中考真题)如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点(不与点重合)，连接．

(1)若，求的长．(2)求证：．(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．39．(湖北宜昌·统考中考真题)如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．

(1)填空：的度数是_________，的长为_________；(2)求的面积；(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．40．(山东滨州·统考中考真题)如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．

(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：；(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明．)41．(浙江台州·统考中考真题)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点(不与点重合，且在直径的同侧)，分别作射线，交直线于点，点．

(1)如图1，当，的长为时，求的长．(2)如图2，当，时，求的值．(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．42．(浙江温州·统考中考真题)如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．

(1)求的长和关于的函数表达式．(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．(3)延长交半圆于点，当时，求的长．43．(新疆·统考中考真题)如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．44．(云南·统考中考真题)如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．

(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；(2)若，求常数的值．45．(浙江宁波·统考中考真题)如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．46．(四川遂宁·统考中考真题)如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)当，时，求的长．47．(四川广安·统考中考真题)如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．

(1)求证：是的切线．(2)若，求的长．(3)求证：．48．(浙江嘉兴·统考中考真题)已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H(其中点H在圆内，且)．

(1)在图1中用尺规作出弦与点H(不写作法，保留作图痕迹)．(2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；(3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．49．(浙江·统考中考真题)如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．

(1)求证：；(2)若，求的值；(3)连结交于点，若的半径为5①若，求的长；②若，求的周长；③若，求的面积．50．(四川宜宾·统考中考真题)如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．

(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)如果是的中点，且，求的长．综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,