专题16 等腰三角形与直角三角形（共26道）（学生版）（01期）

专题16等腰三角形与直角三角形(共26道)一、单选题1．(江苏徐州·统考中考真题)如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为(

)

A．1 B．2 C．1或 D．1或22．(甘肃兰州·统考中考真题)如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则(

)

A．2 B．2.5 C．3 D．3.53．(北京·统考中考真题)如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是(

)A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．(江苏无锡·统考中考真题)如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为(

)

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④5．(浙江·统考中考真题)如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是(

)

A． B． C．2 D．16．(四川眉山·统考中考真题)如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．(湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________．

8．(天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．

(1)的面积为________；(2)若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________．9．(河南·统考中考真题)矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．10．(湖北·统考中考真题)如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________．11．(山东·统考中考真题)如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________．

12．(山东日照·统考中考真题)如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．

13．(四川遂宁·统考中考真题)如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号)

14．(四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为________

15．(江苏苏州·统考中考真题)如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则________________．(结果保留根号)

16．(山西·统考中考真题)如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．

17．(湖北十堰·统考中考真题)在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．

三、解答题18．(北京·统考中考真题)在中、，于点M，D是线段上的动点(不与点M，C重合)，将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；(2)如图2，若在线段上存在点F(不与点B，M重合)满足，连接，，直接写出的大小，并证明．19．(黑龙江·统考中考真题)如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

20．(黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．21．(四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，D是边上一点，且(n为正整数)，E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．22．(吉林长春·统考中考真题)如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．()

(1)当点和点重合时，线段的长为__________；(2)当点和点重合时，求；(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．23．(甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若，，求的值．

24．(重庆·统考中考真题)如图，在等边中，于点，为线段上一动点(不与，重合)，连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；(3)如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．25．(湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在中，，点分别为边的中点，连接．初步尝试：(1)与的数量关系是_________，与的位置关系是_________．特例研讨：(2)如图2，若，先将绕点顺时针旋转(为锐角)，得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．(1)求的度数；(2)求的长．深入探究：(3)若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．综合训练一、选择题1.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm2.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上的一点,延长CA到点E,连接EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠2>∠3 B.∠2>∠3>∠1C.∠3>∠1>∠2 D.∠3>∠2>∠13.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对4.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的长度之差为()A.2cm B.3cm C.6cm D.12cm5.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD的度数是()A.145° B.150° C.155° D.160°6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7 B.10 C.35 D.707.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,则∠1的度数为()A.75° B.65°C.45° D.30°8.如图,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3等于()A.45° B.50°C.55° D.60°二、填空题9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.10.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且∠AEF=∠AFE,则∠A的度数是.11.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则α的度数是.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数是.

三、解答题13.如图,在△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若∠AED=70°,求∠2的度数.14.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.15.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.16.问题引入:(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),并说明理由.

(2)如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(直接写出,用α表示)(3)如图③,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由类比研究:(4)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(直接写出,用α表示)综合训练一、选择题1.D2.A3.C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为14cm.故这个等腰三角形的周长为13cm或14cm.4.C5.B由题意知x°+2x°+3x°=180°,解得x=30,所以∠BAD=180°-30°=150°.6.C因为一个正n边形的每个内角为144°,所以144n=180×(n-2),解得n=10.正十边形的所有对角线的条数是10×(107.A∠1的对顶角所在的三角形中,另两个角的度数分别为60°,45°,所以∠1=180°-(60°+45°)=75°.8.C二、填空题9.360°10.40°因为AB∥CD,所以∠EFB=∠DCF=110°.所以∠EFA=∠AEF=180°-110°=70°.所以∠A=180°-∠EFA-∠AEF=180°-2×70°=40°.11.72°正五边形的一个内角是108°,正方形的一个内角是90°,所以∠α+90°+90°+108°=360°,解得∠α=72°.12.225°∵∠A=45°,∴∠A的外角是180°-45°=135°.∵三角形的外角和是360°,∴∠1+∠2=360°-135°=225°.三、解答题13.解∵FG∥BD,∴∠2=∠DBC.∵∠1=∠2,∴∠1=∠DBC,∴DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=70°.∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠DBC=12∠ABC=35°14.解因为DF⊥AB,所以∠AFG=90°.在△AFG中,∠AGF=180°-∠A-∠AFG=180°-40°-90°=50°,所以∠CGD=∠AGF=50°.所以∠ACB=∠CGD+∠D=50°+50°=100°.15.解(1)甲对,乙不对.当θ能取360°时,(n-2)×180=360,解得n=4.当θ能取630°时,(n-2)×180=630,解得n