新版2026年中考数学（山东卷）真题详细解读及评析

2026年山东省中考数学真题完全解读试题分析2026年山东省中考数学试卷坚持“基础性、综合性、应用性、创新性”的命题导向，全卷满分120分，考试时间120分钟，由10道单选题(30分)、5道填空题(15分)和8道解答题(75分)组成。试卷在题型结构上保持稳定，同时在情境创设、综合实践和思维探究方面呈现出鲜明的山东地方特色与学科育人价值。从模块分布看，图形的性质模块占比最高(约39分),函数模块(约28分)、数与式模块(约22分)、图形的变化与综合实践模块(约21分)和统计与概率模块(约10分)相互配合，共同覆盖初中数学核心领域。试卷难度梯度清晰，选择题1-6题和填空题11-13题侧重基础运算与概念理解，选择题7-10题和解答题16-19题强化推理与应用能力，解答题20-23题以项目式学习、综合实践、二次函数应用和几何探究压轴，对学生的模型观念、推理能力和创新意识提出较高要求，情境方面，第3题以山东毗邻海域面积16万平方公里考查科学记数法，第9题以“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动为背景考查一次函数图象应用，第18题以山东非遗描金琉璃瓶和内画瓶购买问题考查方程与不等式应用，第21题以戴震《算学初稿》中的矩盘测量工具考查解直角三角形与综合实践，第22题以京剧“踢枪”抛物线运动为背景考查二次函数实际应用，充分体现了数学与地方文化、传统文化和现实生活的深度融合。试题亮点约为16万平方公里为背景考查科学记数法，将本省海洋大省数据转化为数学表达问题；第9题以2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动为背景，通过小英和小杰的路程-时间图象考查一次函数应用与追及问题；第18题以第十个“全国科技工作者日”购买山东非遗描金琉璃瓶和内画瓶为素材，考查二元一次方程组和一次函数最值。三题分别对应海洋数据、体育文化和非遗文化，构建了山东卷鲜明的地域标识矩阵。综合实践与传统文化深度融合，项目式学习和古代数学工具成为命题亮点：第20题以九年级“数学探究”项目式学习活动为背景，综合考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体和概率计算，并设置决策建议开放性问题：第21题以清代学者戴震《算学初稿》中记载的矩盘测量工具为载体，通过模型制作、操作发现和应用探究三阶任务，考查解直角三角形、三角函数和实际测量：第23题以等边三角形旋转为背景设置“观察与发现—思考与探究—拓展与延伸”三阶几何探究。三题从项目调查、古代工具到几何探究，完整呈现函数与几何深度融合，压轴题强化数形结合与分类讨论：第10题以抛物线顶点、对称轴、与坐标轴交点综合考查二次函数图象性质：第15题以平行四边形折叠为背景，综合考查菱形判定、中位线、勾股定理和相似三角形求面积；第19题以圆的切线、直径、垂线和勾股定理综合考查圆的性质；第22题以京剧“踢枪”抛物线运动为背景，考查二次函数建模、最值和不等式应用；第23题以等边三角形旋转和中位线综合考查几何探究。五题共同指向数形结合、分类讨论、模型建构和综合推理等高阶思维能力。命题趋势题以海域面积考查科学记数法、第9题以运河健步走考查一次函数图象、第18题以非遗纪念品购买考查方程与不等式应用、第21题以《算学初稿》矩盘考查解直角三角形。未来备考应关注山东的海洋经济、运河文化、非遗工艺(如琉璃、内画)、科技成就等素材，训练学生从地方文化资源中抽象数学模型的能力，第20题项目式学习调查、第21题矩盘测量、第23题几何探究三题分值合计32分，占全卷近27%。预计今后命题将继续强化“模型制作—操作发现—应用探究—决策建议”的探究路径，备考中应重视统计调查、测量实践、传统文化阅读和数学建模活动。题折叠求面积、第19题圆综合、第22题抛物线实际应用、第23题旋转几何探究，五题均涉及函数图象、几何变换或最值范围问题。未来备考应强化“见函数想图象、见折叠想对称、见旋转想全等、见最值想转化”的策略意识，提升在复杂图形中识别全等、相似、特殊三角形和圆性质的能力。方差等统计量综合判断；第20题以项目式学习调查为背景，综合考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率计算和开放性决策建议。预计未来该模块将继续以真实调查数据或项目活动为载体，强化数据读取、计算、解释和决策能力的综合考查。考情分析考情分析题号题型分值具体考点关键能力13数与式→实数的大小比较→实数大小比较(含无理数估算)力23几何直观33数据观念43图形的性质→投影与视图→简单组合体的俯视图空间观念53力63角形内角和力73力83统计与概率→统计量→折线统计图、众数、中位数、方差的综合判断析93函数→一次函数图象→一次函数图象的实际应用(追及问题)念3用填空3力填空3图形的性质→多边形→正多边形内角和公式力填空3方程与不等式→一元二次方程→解一元二次方程(因式分解法)力填空3力填空3用8力8力8方程与不等式→方程与不等式的应用→二元值应用应用意识8力总体、概率计算、决策建议析图形的变化与综合实践→解直角三角形→解直应用意识式用图形的变化与综合实践→几何探究→等边三角形旋转、全等三角形、中创新意识数与式模块(约18.3%,22分):重点考查实数大小比较、科学记数法、整式运算、分式运算、二次根式乘法、实数混合运算等基础运算，对应第1、3、5、7、11、16(1)题。该模块以运算能力为核心，强调算理理解与算法程序的统一。函数模块(约23.3%,28分):重点考查一次函数图象实际应用、二次函数图象性质、反比例函数与正比例函数交点规律、一次函数最值应用、二次函数实际应用，对应第9、10、14、18(2)、22题。第22题以京剧“踢枪”抛物线运动为背景，体现了函数与传统文化、现实生活的深度融合。图形的性质模块(约32.5%,39分):重点考查轴对称与中心对称、俯视图、尺规作图与平行线、正多边形内角和、直角三角形斜边中线、三角形中位线、圆综合等，对应第2、4、6、12、17、19题。几何模块分值最高、覆盖面最广，是山东卷的核心承载模块。图形的变化与综合实践模块(约17.5%,21分):重点考查图形折叠、解直角三角形实际应用、等边三角形旋转探究，对应第15、21、23题。该模块强调动手操作、实践探究和综合推理能力的协调发展。统计与概率模块(约8.3%,10分):重点考查折线统计图、众数、中位数、方差、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率计算和决策建议，对应第8、20题。第20题以项目式学习活动为背景，综合考复习策略复习策略(1)针对实数大小比较、科学记数法、幂的运算、分式运算、二次根式、一元二次方程等高频基础题，每日限时训练8-10道，重点纠正符号错误、指数运算失误、分解不彻底等问题。(2)建立“错题归因卡”,将第5题整式运算混淆、第7题分式约分、第13题一元二次方程漏根等典型失误(2)对第15题折叠综合、第19题圆综合、第23题旋转探究等中高档几何题，先独立完成再对照标准答案提炼辅助线添加动机，总结“见直径想直角、见切线连半径、见旋转想全等”等常用策略。(1)围绕第9题一次函数图象应用、第18题方案最值、第22题抛物线实际应用，建立“情境抽象—变量识别—关系表达—求解验证”的建模流程，强化文字语言、图形语言、符号语言之间的转化。(2)对第21题矩盘测量、第22题抛物线运动等跨学科问题，养成画图、分类、分段讨论的习惯，通过列表分析不同阶段变量取值范围，避免“想当然”导致范围错误。×轻视基础运算导致失分：实数比较、幂的运算、分式约分、二次根式、一元二次方程等基础题看似简单，但符号、指数、分母、解集方向最易出错。×分类讨论不画图：第15题折叠、第22题抛物线取值范围、第23题旋转探究等题，若不画图分类，极易×应用题不回归实际意义：第18题购买数量、第20题统计估计、第21题测量结果等题要注意取整、单位和结论的实际合理性。真题解读真题解读1.下列实数中，比1大的数是()A.-2B.0(1)情境创设：以四个实数选项为背景，考查实数大小比较和无理数估算。(2)问题设计：给出四个实数，要求学生判断哪个比1大，需要估算无理数大小并与1比较。(3)考查目标：考查学生对实数大小比较方法和无理数估算的掌握，以及运算能力。【答案】【答案】D【分析】本题考查实数大小比较，只需将各选项的数与1比较，即可得出结果【详解】解：∵负数小于正数，0小于正数，知识总结①实数大小比较方法：正数大于0,负数小于0,正数大于负数：两个正数比较，绝对值大的数大：两个负数比较，绝对值大的反而小，②无理数估算：先确定被开方数在哪两个相邻完全平方数之间，再确定算术平方根的范围。③解题要点：注意负数、0、正数与1的大小关系；常用无理数近似值√2≈1.414,2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()(1)情境创设：以四个图形为背景，考查轴对称图形和中心对称图形的识别。(2)问题设计：给出四个图形，要求学生判断哪个既是轴对称图形又是中心对称图形。(3)考查目标：考查学生对轴对称和中心对称定义的理解和几何直观能力。【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.行逐一判断即可.【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，知识总结①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。②中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180度后，旋转后的图形能与原图形重合。③既是轴对称又是中心对称的图形：线段、矩形、3.山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里.将160000用科学记数法表示为()A.0.16×10⁶B.1.6×10⁵C.1.6×10⁶(1)情境创设：以山东毗邻海域面积约为16万平方公里为背景，将本省海洋大省数据转化为数学表达问题。(2)问题设计：给出具体大数160000,要求学生用科学记数法表示，选项设置常见错误形式。(3)考查目标：考查学生用科学记数法表示大数的能力，以及数据观念。【分析】科学记数法的标准形式为a×10”,其中1≤la|<10,n为整数，只需按要求确定a和n的值即可，【详解】解：160000=1.6×10⁵.①科学记数法：把一个数表示成a×10^n的形式，其中1≤|a|≤10,n为整数。②确定n的方法：看为普通数字，再确定a和n。④拓展关联：科学记数法广泛应用于国土面积、人口、资源等大数表示。4.如图所示几何体的俯视图是()命题透视▶核心考点：简单组合体的俯视图命题分析：(1)情境创设：以几何体为背景，考查俯视图的概念。(2)问题设计：给出几何体图形，要求学生判断其俯视图，选项为不同俯视图形。(3)考查目标：考查学生对三视图中俯视图概念的理解和空间观念。答案与解析【分析】根据俯视图的定义，从物体的正上方往下看，分析看到的平面图形形状及线条即可，【详解】解：从上面看，该几何体的俯视图为：知识总结①俯视图：从物体的正上方观察得到的平面图形。②画俯视图方法：确定列数，再数出每列能看到的最大正方形个数。③解题要点：俯视图中被遮挡的正方体仍按该位置最高层数计数；注意区分俯视图、主视图、左视图。④拓展关联：三视图是机械制图、建筑设计的基础。5.下列运算正确的是()命题透视▶核心考点：合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、单项式乘法命题分析：(1)情境创设：以四个代数运算选项为背景，考查整式的运算。(2)问题设计：给出四个运算结果，要求学生判断哪个计算正确，选项涵盖合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、单项式乘单项式等常见易错点。(3)考查目标：考查学生对整式运算法则的掌握，以及运算能力。答案与解析【答案】B【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到【详解】解：A、m³与m²不是同类项，不能合并，∴A错误；B、(m²)³=m²×3=m⁶,运算正确，∴B正确：D、2m·3m=(2×3)-(m·m)=6m²≠6m,∴D知识总结①合并同类项：字母和指数相同，系数相加。②幂的乘方：(a^m)"n=a"(mn)。③同底数幂除法：a^m÷a^n=a"(m-n)(a≠0)。④单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘，⑤解题要点：注意区分“指数相加”与“指数相乘”,避免将合并同类项误作同底数幂运算。6.如图，直线aⅡb,直线c分别交a,b于点A,B.以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a,c于点M,N;再分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部交于点C;作射线AC交b于点D.若LABD=54°,则∠ADB的度数是()A.36°B.54°C.63命题透视核心考点：角平分线尺规作图、平行线性质、三角形内角和命题分析：(1)情境创设：以尺规作角平分线和平行线为背景，考查角平分线作法和平行线性质。(2)问题设计：根据作图痕迹判断所作射线为角平分线，结合平行线性质和三角形内角和求角度。(3)考查目标：考查学生对尺规作图原理、平行线性质和三角形内角和定理的综合运用能力。答案与解析【答案】【答案】C【分析】根据作图痕迹可知AD平分∠MAB,利用平行线的性质求出∠MAB的度数，进而求出∠DAB,最后利用三角形内角和定理求解.【详解】解：由作图可知，AD平分∠MAB,知识总结①角平分线尺规作法：以顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心、大于一半弧长为半径画弧，两弧交点与顶点的连线即为角平分线。②平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。③三角形内角和：三角形三个内角和等于180°。④解题要点：识别作图痕迹对应的结论，将已知条件转化为角的关系。7.计的结果是()命题透视核心考点：同分母分式减法及因式分解约分(1)情境创设：以分式运算为背景，考查同分母分式减法和因式分解约分。(2)问题设计：给出分式减法算式，要求学生计算结果，需要先对分子因式分解再约分。(3)考查目标：考查学生对分式运算法则和因式分解方法的掌握，以及运算能力。【答案】【答案】A【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果.【详解】解：=x-1.①同分母分式加减法：分母不变，分子相加减。②因式分解：将多项式化为几个整式乘积的形式，常用提公因式法和公式法。③约分：分式分子分母同除以公因式。④解题要点：分子相减时注意整体加括号：结果要化为最简分式。8.甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图.甲、乙两名同学6天的跳绳成绩统计图成绩/个成绩/个第3天第4天第6天时间第5天根据图中信息，下列结论正确的是()A.甲的跳绳成绩总是高于乙B.甲的跳绳成绩的众数为184C.甲的跳绳成绩的中位数小于乙D.甲的跳绳成绩的方差小于乙核心考点：折线统计图、众数、中位数、方差的综合判断命题分析：(1)情境创设：以甲、乙两名同学连续6天1分钟跳绳成绩折线图为背景，考查统计量的综合判(2)问题设计：给出折线统计图，要求学生对四个关于众数、中位数、方差等的结论进行判断。(3)考查目标：考查学生的数据分析能力和统计量综合运用能力，要求学生能从统计图中提取信答案与解析【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况(方差)进行判断即可.对于A,第3天甲的成绩179小于乙的成绩181,故A错误；对于B,甲的成绩中所有数据都出现1次，无众数，故B错误；对于C,甲的成续从小到大排列为179,180,181,184,186,188,中位数)乙的成绩从小到大排列为177,179,181,183,186,188,中位数∴甲的中位数大于乙，故C错误；对于D,甲成绩为平均数为：知识总结①众数：一组数据中出现次数最多的数。②中位数：将数据按大小排列后位于中间位置的数。③方差：衡量数据波动大小的量，方差越小越稳定。④解题要点：先从图中读取完整数据，再分别计算或判断各统计量；注意众数可能不存在或不止一个。9.在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目.两人8:00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无停留行进。他们行走的路程y(km)与时间x(min)之间的关系如图所示.小英追上小杰的时刻是()A.8:25B.8:33◆核心考点：一次函数图象的实际应用(追及问题)(1)情境创设：以“行走大运河”全民健身健步走活动为背景，考查一次函数图象的实际应用。(2)问题设计：给出小英和小杰的路程-时间图象，小英途中停留后继续前进，求小英追上小杰的时刻。(3)考查目标：考查学生的模型观念和数形结合能力，要求学生能从函数图象中提取信息并解决追及问题。【答案】【答案】C【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了2km,停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了1.5km,设出发后x分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可【详解】解：由图象可知，小英在0～25min内行走了2km,小英途中停留了15min,2小英再次出发的时刻为第25+15=40(min),此时路程为2km,设小英追上小杰的时刻为出发后xmin,根据题意得：两人8:00从起点出发，∴小英追上小杰的时刻是9:00.知识总结①一次函数图象：横轴表示时间，纵轴表示路程，斜率表示速度。②追及问题：两人路程相等时追上。③解题要点：从图象中读取速度、停留时间、已走路程等关键信息；建立方程求解追及时刻。④拓展关联：一次函数图象应用常与行程问题、工程问题结合。10.如图，点P是抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点，下列结论正确的是()C.对任意实数t,at²+bt<4a+2b总成立D.若点A(1-m,y₁),B(1+m,y₂)在抛物线上，则y₁<y₂命题透视▶核心考点：抛物线顶点、对称轴、与坐标轴交点、最值命题分析：选项.|1-m-2|=m+1,|1+m-2|=知识总结点。④解题要点：结合图象判断各系数的符号和特殊点的函数值。(1)情境创设：以二次根式乘法为背景，考查二次根式的运算。(2)问题设计：给出二次根式乘法算式，要求学生计算结果，直接运用二次根式乘法法则。(3)考查目标：考查学生对二次根式乘法法则的掌握和运算能力。【答案】【答案】【详解】解：5ab+6ab=(5+6)ab=11ab.①二次根式乘法法则：√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)。②二次根式化简：将根号内能开得尽方的因数或因式开出来。③解题要点：先相乘再化简，或先化简再相乘；结果要化为最简二次根式。④拓展关联：二次根式运算常与实数混合运算、勾股定理综合考查。(1)情境创设：以圆形扇面中间的正多边形图案为背景，考查多边形内角和公式。(2)问题设计：给出正多边形图形(正六边形),要求计算其内角和，直接运用多边形内角和公(3)考查目标：考查学生对多边形内角和公式的掌握和运算能力。【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据多边形内角和公式(n-2)×180°代入计算即可.【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数n=6,根据多边形内角和公式，得(6-2)×180°=4×180°=720°.知识总结题要点：先确定多边形的边数，再代入公式计算；正六边形内角和为720°,④拓展关联：多边形内角和与(1)情境创设：以一元二次方程为背景，考查方程的解法。(2)问题设计：已知方程的一个根，要求学生求另一个根，可运用因式分解法先求出两个根。(3)考查目标：考查学生解一元二次方程的运算能力，要求学生能根据方程特点选择合适解法。2【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为10,即可求出另一知识总结14.如图，一组反比例函,其中x>0,k₁=1,k>kn-1,n为大于1【答案】36解得(负值舍去)知识总结①反比例函数与正比例函数交点：联立两个函数解析式求解，②两点间距离公式：d=√[(x₂-x)²+(y₂y)²]。③规律探究：先计算前几个具体值，再寻找规律并用含n的代数式表示。④解题要点：注意交点关于原点对称的特点，可简化距离计算。15.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=4cm,AD=5cm,点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF.将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG,CG.若AG=3cm,GEⅡAB,则△CFG的面积(1)情境创设：以平行四边形纸片折叠为背景，综合考查折叠性质、菱形判定、中位线、勾股定理和相似三角形。(2)问题设计：在平行四边形中，通过折叠使点落在纸片上的某点，已知部分线段长度和角度，求某个三角形的面积，需要综合运用多个几何知识。(3)考查目标：考查学生的综合推理能力、几何直观和模型观念，是填空题压轴题。∵AD=5,点E是边AD的中点，根据折叠可""【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似①折叠性质：折叠前后对应线段相等、对应角相等，折痕是对称轴。②菱形判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。③中位线性质；三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。④勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。⑤相似三角形：对应边成比例、对应角相等。⑥解题要点：通过折叠和平行关系判定菱形，利用中位线和相似求高，进而求面积。三、解答题16.按要求完成下列各题：(1)计算：2²-√16-(-3);(2)解不等式组：命题透视◆核心考点：实数混合运算及解一元一次不等式组(1)情境创设：以纯数学运算为情境，考查实数混合运算和解一元一次不等式组。(2)问题设计：第(1)问计算实数混合运算；第(2)问解一元一次不等式组，分别求出每个不等式解集再找公共部分，(3)考查目标：考查学生的运算能力和对不等式组解法的掌握。答案与解析【详解】(1)解：2²-√16-(-3)知识总结BB(2)问题设计：第(1)问证明线段相等；第(2)问判断四边形形状并说明理由，需要综合运用【详解】(1)略知识总结①直角三角形斜边中线：等于斜边的一半。②三角形中位线：平行于第三边且等于第三边的一半。③平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等。④解题要点：利用中点构造中位线或斜边中线，将未知关系转化为已知关系。18.在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者。两名志愿者的对话如下：内画瓶共需100元。购买3个超全玻璃膜与4个请根据他们的对话解答下列问题：(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少?最少费用为多少元?(1)情境创设：以购买山东非遗描金琉璃瓶和内画瓶为背景，考查二元一次方程组和一次函数最(2)问题设计；第(1)问根据购买方案列二元一次方程组求单价；第(2)问在数量约束条件下，建立总费用函数井求最小值。(3)考查目标：考查学生的模型观念、应用意识和一次函数性质，要求学生能从实际问题中抽象出数学模型并求解。【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元，【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元，(2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元.【分析】(1)设描金琉璃瓶单价为x元，内画瓶单价为y元.根据题干已知等量关系列方程组即可求解；(2)设购买描金琉璃瓶m个(m≤20),则内画瓶为(20-m)个，得出总费用W=10m+600,再利用一次函数的性质求解即可.【详解】(1)解：设描金琉璃瓶单价为x元，内画瓶单价为y元，根据题意列方程组：答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元.解得m≥14(m为整数).因10>0,则W随m增大而增大，故当m=14时，W最小，答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元.①列二元一次方程组解应用题：找等量关系→设未知数→列方程组→解方程组→检验作答。②一次函数最值：根据函数的增减性，在自变量取值范围内确定最值点。③解题要点：注意“不少于”“不超过”等关键词转化为不等式；实际问题中自变量通常为正整数。19.如图，AB是◎0的直径，C,D是◎0上的两点，AC=BD,连接AC,AD,CD,过点A作AH⊥CD交DC的延长线于点H.(2)若AH=2,求◎0的半径，命题透视▶核心考点：切线判定、圆周角定理、勾股定理(1)情境创设：以圆的综合图形为背景，考查圆的切线判定和相关计算。(2)问题设计：第(1)问证明直线是圆的切线；第(2)问求圆的半径，需要构造直角三角形用(3)考查目标：考查学生的推理能力和运算能力，要求学生能综合运用圆的性质和勾股定理解决答案与解析又∵AB是◎0的直径，∴AH是◎0的切线.【分析】(1)根据同弧或等弧所对圆周角相等可得∠ADC=∠BAD,进而判断CDⅡAB,由AH⊥CD即可得出AHIAB,由此判定AH是◎0的切线.知识总结(单选)①绘制校园平面地图②读书长廊地面铺设设计③测量校园内旗杆高度问题2.假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决?(可多选)A.查阅文献B.上网查询C.同伴合作D.寻求指导E.专业咨问题3.你还想探究哪些领域的数学问题?【数据处理】信息1:将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.信息2:将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表.解决困难的ABCDE信息3:问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济.【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：(1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；(2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；【决策建议】(4)假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议.(1)情境创设：以九年级“数学探究”项目式学习活动调查为背景，综合考查统计与概率。(2)问题设计：给出不完整的条形统计图和扇形统计图、统计表，要求求样本容量、补全统计图、用样本估计总体、计算概率，并提出合理建议。(3)考查目标：考查学生的数据分析能力、数据观念和应用意识，要求学生能综合处理统计图表并作出决策解释。4人数5(3)两人恰好选择同一领域的概率为(4)优先开设学生选择人数较多的主题②“读书长廊地面铺设设计”和主题④“制定旅游最优路线”,活动中多分组鼓励学生同伴合作探究，(言之有理即可)【分析】(1)由图可知，主题①的人数为5人，对应占比为10%,据此即可求解参与调查的总人数，由主题⑤的占比为12%可得主题⑤的人数，再利用总数减去已知的人数可得主题③的人数，即可补全条形统计(2)根据采用“上网查询”的方式解决困难的占比即可求解：(3)通过列表可得一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，即可求解；(4)根据抽查结果可知，选择主题②和主题④的占比更多，据此可以给出建议，【详解】(1)解：参与调查的学生总数为5÷10%=50(人),选择项目⑤的学生人数为50×12%=6(人),选择项目③的学生人数为50-5-13-14-6=12(人),补(2)解：(人),ABCABC由表可得，一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，∴两人恰好选择同一领域的概率知识总结①条形统计图：用长方形高度表示数量。②扇形统计图：用扇形面积表示百分比。③样本容量：各组频数之和。④用样本估计总体：总体数量≈总体容量×样本频率。⑤概率计算：列表或树状图列举等可能结果。⑥决策建议：根据数据分析结果提出合理、可操作的建议。21.我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰(俯)角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动.【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘.【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数.(1)如图2,左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°(∠DAE=31°),矩尺盘读数为6(DE=6),可知仰角∠P=∠DAE=31°,如图3,右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29(∠DAE=29°),矩尺盘读数为5.5(DE=5.5),则仰角∠P=,tan∠P≈(结果精确【应用探究】(2)综合实践小组测量某景区城门楼(如图4)的顶端E到地面的距离(EB的长度).如图5,某同学站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5;沿直线AB前进，穿过城门BD到达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°.已知AC=20m,该同学眼睛到地面的高度是1.6m,求城门楼的顶端E到地面的距离(结果精确到0.1m).命题透视◆核心考点：解直角三角形的实际应用、古代测量工具、综合与实践命题分析：(1)情境创设：以清代学者戴震《算学初稿》中记载的矩盘测量工具为背景，设置“模型制作一操作发现一应用探究”三阶任务，考查解直角三角形。(2)问题设计：第(1)问根据矩盘读数求仰角和矩尺盘读数；第(2)问利用矩盘测量城门楼高度，需要建立解直角三角形模型。(3)考查目标：考查学生的应用意识、模型观念和推理能力，要求学生能将古代测量工具转化为现代解直角三角形问题。答案与解析【分析】(1)根据直角三角形两个锐角互余得出∠P=90°-∠DAE=61°,切定义，求出结果即可：,得出,求出x的值，即可得出答案。【详解】(1)解：根据题意可得：AG1PQ,∠AQP=90°,答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m.知识总结①解直角三角形：已知直