河北保定部分校联考2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北保定部分校联考2025-2026学年高一下学期期末考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知，是复数，若，，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（

）A．8个 B．10个 C．12个 D．14个5．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（

）A． B． C． D．7．如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（

）参考数据：.A．米 B．米 C．300米 D．米8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（

）A．该组数据的极差为B．该组数据的70%分位数为C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差10．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，且，则，关于轴对称C．若，则D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则11．如图，是边长为2的正六边形的中心，是正六边形边上的动点，则（

）

A．B．C．的最大值为6D．的取值范围为三、填空题12．某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________．13．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．四、解答题15．已知向量与的夹角为，，．(1)若，求实数的值；(2)求向量与的夹角的余弦值．16．甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响．(1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率；(2)求此次比赛进行3局就结束的概率．17．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．18．在中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，的面积为．（ⅰ）求的周长；（ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长．19．如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号1234567891011答案ADBCDBACADBCACD1．A【分析】根据复数的减法运算求解.【详解】由题意.2．D【详解】因为向量，，且，则，解得.3．B【详解】若两个平面平行，平面内任意一条直线都与另一平面无交点，因为，所以必有,即：由能推出，必要性成立;已知，，,

若直线，两条平行线同时平行于平面，此时平面可以和平面相交,

故仅不能推出，充分性不成立.则“”是“”的必要不充分条件.4．C【详解】设袋中红球有个，利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6，由题意可得：，解得，所以袋中约有红球12个.5．D【分析】根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解.【详解】如图，连接，因为平面，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以直线与所成角为（或其补角），因为，所以.6．B【分析】根据已知质数有，结合确定对应的情况数，及8个质数中任选2个的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】不超过的质数有共8个，任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组，所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种，从8个质数中任选2个不同的质数有种，所以，所求概率为.7．A【详解】由题可知，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，两式相加，得，即，解得.8．C【分析】先证明平面，可得，其中是的外接圆半径.【详解】因为是等边三角形，取的中点为,则又平面，所以平面因为平面，所以，又点分别为棱的中点，且，故，，又平面，所以平面.设外接圆的圆心为，半径为，易得，由正弦定理所以球的半径，所以球的表面积为.故选C.9．AD【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可.【详解】该组数据的极差为，A正确；因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误；原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误；剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确．10．BC【详解】若，则，故A错误；因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确；若，则，则，故C正确；由题意得，，则，故D错误.11．ACD【分析】A根据正六边形的结构特征及向量加法的几何意义判断，B由向量加法有、，两式相加及A的结论得到与的数量关系判断，C问题化为求在方向上的投影与的乘积最大，进而化为求在上的投影最大，即可判断，D利用向量的性质，将原式化为求的范围.【详解】A：正六边形的中心为，各边长为，所以，在正六边形中，向量两两之间的夹角均为，根据向量加法的几何意义，三个长度相等且两两夹角为的向量之和为零向量，即，正确，B：根据向量加法的三角形法则，有，，两式相加得：，由A知，所以，代入上式得：，因为，所以，而不是，错误，C：要使的值最大，即求在方向上的投影与的乘积最大，因为的长度为，需要让在上的投影最大，当动点在边上运动时，随着点从移向，在方向上的投影逐渐增大，当点与点重合时，即，在正六边形中，是顶角为的等腰三角形，底边，底角，向量在上的投影长度为，所以的最大值为，正确，D：对于平面内任意一点和正六边形的中心，由，同理，所以，同A分析有，故原式，已知中心到各顶点的距离均为，则后一项为，故原式，当点在边上运动时，的最小值为边心距，此时，的最大值为半径，此时，因此，所以原式的取值范围为，正确.12．48【详解】由题意得，，得13．【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接，则线段就是绳的最短长度，此时，由，得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为.14．【分析】由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围.【详解】因为，所以，整理得，所以或，若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立，所以，则，，由得，，设，，因为，所以，，所以，所以.15．(1)(2)【分析】（1）由，可得，根据数量积的运算律及定义可得；（2）先求得向量与的数量积及模，根据夹角公式可得.【详解】（1）因为，所以，所以，即，解得．（2）由题意得，，设向量与的夹角为，则．即向量与的夹角的余弦值为.16．(1)，，(2)【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式可得；（2）分析比赛进行3局就结束的各种情况，根据互斥事件的概率加法公式可得.【详解】（1）设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件，则，，．（2）设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，，则，所以．17．(1)，74.5．(2)平均数为70.5，方差为35【详解】（1）根据题意，，解得．，估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5．（2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为，则样本中在内的评分的平均数为，样本中在内的评分的方差为18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【分析】（1）由已知三角等式结合正弦定理化角为边,整理变形凑出余弦定理形式,算出,由得.（2）（ⅰ）代入用三角形面积公式求出边长,再由余弦定理求边,三边相加得周长.（ⅱ）设上线段比例,由同高三角形面积比等于底边比,表示出,乘后用基本不等式求最值,确定的值,先由余弦定理求,再在中用余弦定理算出长.【详解】（1）因为由正弦定理，为外接圆半径.所以，即，所以，又，所以．（2）（ⅰ），解得．由余弦定理，得，所以，所以的周长为．（ⅱ）设，，，，，所以，则，所以，同理可得，所以:，当且仅当，即，时等号成立，所以．又在中，，在，，所以．19．(1)证明：如图，连接，交于点，连接．在三棱台中，，所以，

又是棱的中点，是线段的中点，所以，所以，所以，

又平面，平面，所以平面．(2)(3)【分析】（1）利用线面平行判定定理证明；（2）先找出二面角的平