湖南衡阳2025-2026学年高一下学期末考试数学模拟+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南衡阳2025-2026学年高一下学期末考试数学模拟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A．B．C． D．2．样本数据的中位数为（

）A．5 B．6 C．8 D．93．已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．4．已知和的夹角为60°，且，则（

）A．1 B． C．3 D．5．在中，已知，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（

）A．20 B．30 C．35 D．407．已知是不共线的向量，且，则（）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线8．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（多选）已知复数（i为虚数单位），则（

）A．的共轭复数为 B．的虚部为C． D．10．已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则11．一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（

）A．B．C．D．若原样本中位数为，则新样本中位数为三、填空题12．在中，若，，，则___________13．已知向量，满足，，．则______．14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.四、解答题15．在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．16．已知复数，其中i为虚数单位，．(1)若是纯虚数，求的值；(2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．17．如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．18．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．19．2025年吉林市马拉松赛将于5月18日正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是.(1)求图中的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数；(3)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数；(4)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号1234567891011答案CBBCABCBBDABACD1．C【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得.故选：C.2．B【分析】结合中位数定义可得.【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为.3．B【详解】由题意可知，可知的虚部为1.4．C【详解】因为和的夹角为60°，且，所以.5．A【分析】由正弦定理及两角差的正弦公式求解.【详解】由可得，所以，即，因为，所以，所以，即，所以的形状为等腰三角形.6．B【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人.7．C【详解】假设存在实数，使得，则三点共线，，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误；假设存在实数，使得，则三点共线；，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误；C：，假设存在实数，使得，则三点共线；，同理得，解得，所以假设成立，故C正确；D：，假设存在实数，使得，则三点共线；，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误．8．B【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解.【详解】取的中点F，连接，，在中，是的中点，F是的中点，．同理可得．为异面直线与所成的角（或其补角）．在中，，又，，，，即异面直线与所成的角为．9．BD【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误；对于B，的虚部为，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．10．AB【详解】A选项，由于，，由面面平行的性质，可得，故A正确；B选项，若，，由面面平行的判定定理可得，故B正确；C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误；D选项：若，，，则或异面，故D错误.11．ACD【详解】由，可知平均数满足，故A正确．方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确．因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确．12．【分析】利用正弦定理直接求解即可.【详解】由正弦定理得到：，即.13．【详解】因为，所以，所以.14．【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.16．(1)(2)【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得；（2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得.【详解】（1）由是纯虚数，可得，由①解得或，因时，，不合题意，故的值为；（2）由在复平面内对应的点在第二象限，可得，由③解得；由④解得或，故得，即的取值范围为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，三角形ABC的面积，三棱锥的体积.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.【详解】（1）设,连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．19．(1)0.005(2)(3)(4)【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数的值；（2）根据频率分布直方图求平均数，即每小组的中点值乘以频率加起来即可；（3）第80百分位数指的是频率累计到0.8的点，根据已知，即可求出；（4）求出样本中小于80分钟之频率，总数乘以频