山东省青岛2025-2026学年高二第二学期期末检测数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省青岛2025-2026学年高二第二学期期末检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列数列中是等差数列也是等比数列的是（

）A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，72．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种3．已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（

）2.83.35.06.77.22.64.05.15.4A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.14．若，则（

）A．40 B．41 C． D．5．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.46．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．207．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（

）（若随机变量Z服从正态分布，）A． B．C． D．10．设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心11．现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（

）A．B．C．D．且三、填空题12．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.14．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．

四、解答题15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．17．甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．(1)当时，求甲最终获胜的概率；(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．18．已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．19．若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”.(1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由；(2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”；(3)证明：存在满足的数列“非零可表”.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号1234567891011答案CDCBABCABCADBCD1．C【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断.【详解】设该数列为，则该数列满足，其中.则，因为常数，该式对任意正整数成立，则，从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意.故选：C2．D【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.3．C【分析】先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可.【详解】由题意，可得，，所以样本点的中心坐标为，代入回归直线方程，可得，解方程得.4．B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.5．A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以.故选:.6．B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B.7．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C8．A【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当时，则，当且仅当时等号成立，，由累乘法可得，且，则，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．9．BC【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，，所以，故，C正确，D错误；因为，所以，因为，所以，而，B正确，A错误，故选：BC．10．AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心11．BCD【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得.【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况：第一次选数时，从1到10中选到9，概率为，第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为，所以，选项A错误；对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为；发生后，下一次从1到8中选到8，概率为，发生后，下一次从1到9中选到8，概率为，这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确；对于C，根据条件概率公式，，若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率为，即，若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8，即，所以，选项C正确；对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数，则，当时，有，，，结合知，，所以最大数选取是任意的，始终有，对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数，选中的概率，则有，可得，选项D正确.故选：BCD12．-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-2813．【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：14．【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.故答案为：.15．(1)(2)有关【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断.【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.16．(1)(2)证明：∴【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）略17．(1)(2)时，两种方案都可以选，当时，，应该选第二种方案，当时，，应该选第一种方案．【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率；（2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可.【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件，于是，与为互斥事件，由于，，则，即甲最终获胜的概率为．（2）由（1）可知，，若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取，，则的分布列为：3则，若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0，，则的分布列为：10则，所以，由于，则，于是时，两种方案都可以选，当时，，应该选第二种方案，当时，，应该选第一种方案．18．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）求出后根据可求的最小值；（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.【详解】（1）时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立