2026年四川省内江市中考数学试题（解析版）

内江市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷

数学

本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷1至4页，满分100分；B卷5至6页，满分60分．全

卷满分160分．考试时间120分钟

注意事项：

1．答题前请仔细阅读答．题．卡．上的注意事项．

2．所有试题的答案必须按题号填写在答．题．卡．相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效．

3．考试结束后，监考人员将答题卡、试卷、草稿纸一并收回．

A卷（共100分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．）

1.2的相反数是（）

11

A.2B.2C.D.

22

【答案】A

【解析】

【详解】解：2的相反数是2．

2.大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定

在200000000吨以上，将200000000用科学记数法表示为（）

A.2109B.2108C.0.2108D.2107

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a10n，其中1a10，n为整数，确定a和n的值即可求解．

【详解】解：2000000002108．

3.下列图形中，是轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【详解】解：A、不是轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、是轴对称图形；

D、不是轴对称图形.

4.某校开展主题为“防溺水，保安全”的演讲比赛活动，六名参赛者的得分情况如下：9.0、9.2、9.4、9.2、

9.2、8.9，这组数据中的众数是（）

A.8.9B.9.0C.9.2D.9.4

【答案】C

【解析】

【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案．

【详解】解：∵8.9出现1次，9.0出现1次，9.2出现3次，9.4出现1次，

∴9.2是这组数据中出现次数最多的数，

∴这组数据的众数是9.2．

5.下列实数中，能使函数y3x有意义的x的值是（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再判断选项即可．

【详解】解：由题意得，3x0，

x3，

∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意．

6.如图，若ABCD，A80，E36，则C的度数为（）

A.36B.44C.D.54

【答案】B50°

【解析】

【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可.

【详解】解：∵ABCD，A80，

∴EFDA80，

∵EFDCE,E36，

∴C44.

7.下列计算正确的是（）

A.2a3a31B.a6a2a4

32

C.a2b3a5b6D.aba2b2

【答案】B

【解析】

【详解】解：A、2a3a3a3，原式计算错误，不符合题意；

B、a6a2a62a4，原式计算正确，符合题意；

3

C、a2b3a6b9，原式计算错误，不符合题意；

2

D、aba22abb2，原式计算错误，不符合题意．

8.内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，

小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方

程是（）

6666

A.15B.15

x1.2xx1.2x

661661

C.D.

x1.2x4x1.2x4

【答案】C

【解析】

66

【分析】由题意得，小明走完全程的时间为小时，小林走完全程的时间为小时，而小林比小明早15

x1.2x

分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多小时，即可建立方程．

1

4

【详解】解：设小明的速度为x千米/时，则小林的速度为1.2x千米/时，

661

由题意得，．

x1.2x4

9.如图，在中，DEBC，若AD∶AB1∶3，则ADE与的面积之比为（）

△𝐴�△𝐴�

A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶9

【答案】D

【解析】

2

SAD

【分析】证明ADE∽ABC，可得ADE，据此可得答案．

SABCAB

【详解】解：∵DEBC，

∴ADE∽ABC，

22

SAD11

∴ADE．

SABCAB39

10.对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆bab2ab，例如：3☆2322326，则方程

2☆x3的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】根据题目给出的新定义，将方程2☆x3转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判

断根的情况即可．

【详解】解：∵a☆bab2ab，

∴2x22x3，

∴2x22x30，

2

∴Δ2423424280，

∴原方程有两个不相等的实数根．

11.如图，正五边形ABCDE内接于，P为BC上的一点（点P不与点重合），则CPD的度数为

（）⊙��

A.36B.45C.D.72

【答案】A60°

【解析】

【分析】先求得中心角COD72，进而根据圆周角定理，即可求解．

【详解】解：∵正五边形ABCDE内接于，

1

∴COD36072，⊙�

5

∵CPD与COD分别是CD所对的圆周角和圆心角，

1

∴CPDCOD36．

2

12.如图，二次函数yax2bxc的图象经过点A(1,0)、B(5,0)，下列说法正确的是（）

A.c0B.4a2bc0

C.b24ac0D.图象的对称轴是直线

【答案】B�=2

【解析】

【详解】解：由函数图象知抛物线与y轴交点在原点下方，则c0，故选项A不符合题意；

当时，yax2bxc0，即4a2bc0，故选项B符合题意；

�=−2

由图象知抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δb24ac0，故选项C不符合题意；

15

图象的对称轴是直线x3，故选项D不符合题意．

2

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

13.因式分解：x23x_________．

【答案】xx3

【解析】

【详解】解：x23xxx3．

14.如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为12，则该圆锥母线的长为_________．

𝐴

【答案】13

【解析】

【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出OB的长，再利

用勾股定理可求出的长．

【详解】解：设OB𝐴x，

∵圆锥的侧面展开图的弧长为10π，

∴该圆锥的底面圆的周长为10π，

∴2πx10π，

∴x5，

∴OB5，

在RtABO中，由勾股定理得ABOA2OB21225213．

15.如图，在平行四边形ABCD(BCAB)中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，

1�

交于点M，交AD于点；②分别以点M、为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在BAD

2

的内𝐴部相交于点；③连接AE�并延长交线段于�点，若CD6，CF2，则平行四边形ABCD的

周长为_________�．���

【答案】28

【解析】

【分析】先根据平行四边形的性质以及作图证明ABBF，再由平行四边形的对边相等即可求解周长．

【详解】解：由作图可得，平分BAD，

∴BAFDAF��

∵四边形是平行四边形，

∴ABC�D���6，BCAD，ADBC

∴BFADAF

∴BAFBFA

∴BFAB6，

∵CF2

∴BCBFCF8AD，

∴平行四边形ABCD的周长为26828．

16.南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”．图

中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a11，第二个数记为a23，

1111

第三个数记为a36，…，第n个数记为an，则_________．

a1a2a3an

【答案】

2n

n1

【解析】

n(n1)

【分析】根据杨辉三角中数的排列规律，归纳出第n个数a的通项公式为，进而得

n2

1211

到2，最后利用裂项相消法计算求和即可．

ann(n1)nn1

1(11)

【详解】由题意可知：a1

12

2(21)

a3

22

3(31)

a6

32

4(41)

a10

42

n(n1)

a

n2

1211

2

annn1nn1

1111

a1a2a3an

1111111

21222

22334nn1

1111111

21

22334nn1

1

21

n1

n

2

n1

2n

．

n1

三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）

17.按要求解答下列各题：

02

（1）计算：2312tan45；

ba

（2）化简：．

abba

【答案】（1）

（2）14

【解析】

【小问1详解】

02

解：2312tan45

2141

4；

【小问2详解】

ba

解：

abba

ba

abab

ba

ab

1．

18.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点是DC的中点，连接AF并延长交的延长线于点．

����

（1）求证：ADF≌ECF；

（2）若CEBC，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明：∵点是DC的中点，

∴DFCF�

∵

∴��E∥��DAF

∵AFDEFC

∴AFD≌EFCAAS；

（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

由（1）知AFD≌EFC

∴ADCE

∵CEBC

∴ADBC，

∵

∴�四�边∥形��是平行四边形．

𝐴𝐵

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质，得到EDAF，再结合已知条件，利用AAS即可证明；

（2）根据全等三角形的对应边相等结合已知条件，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明

即可．

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

19.为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内

江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评．学校从参与测评的学生中，随机

抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．一般；D．不合格．根

据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次随机抽样调查一共抽取了_________名学生，请把条形统计图补充完整；

（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为C的扇形圆心角为_________度；

（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取2名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲

员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率．

【答案】（1）50；（2）72

（3）

1

【解析6】

【分析】（1）用B等级的学生人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数，再求出C等级的人数，进

而补全条形统计图即可；

（2）用360度乘以C等级的人数占比即可得到答案；

（3）画树状图得到所有等可能性的结果，再确定恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果数，最后根据概率公

式求解即可．

【小问1详解】

解：2040%50名，

∴本次随机抽样调查一共抽取了50名学生；

∴C等级的学生人数为501520510名，

补全条形统计图见答案；

【小问2详解】

10

解：由（1）得，36072；

50

【小问3详解】

解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有2种，

21

∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为．

126

20.某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔

子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的处，测得雕像顶端的仰角为45，沿水平方向向雕像行

走12米到达观测点处，测得雕像顶端的仰�角为60．雕像底端�与观测点、在同一条水平直线

上，且ABBC，�求孔子雕像的高度�．（结果保留根号）���

𝐴

【答案】1863m

【解析】

3

【分析】设ABxm，解直角三角形得到BDxm，BCxm，根据CDBCBD12m建立方程

3

求出x的值即可得到答案．

【详解】解：设ABxm，

∵ABBC，

∴B90；

在中，ABD90，ADB60，

Rt△𝐴�

ABx3

∴BDxm；

tanADBtan603

在RtABC中，ABC90，ACB45，

ABx

∴BCxm；

tanACBtan45

∵CDBCBD12m，

3

∴xx12，

3

解得x1863，

∴AB1863m，

答：孔子雕像的高度为1863m．

𝐴k

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图象与反比例函数y2的图象相交于点A2,6

1x

和点B4,m．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

k

（2）根据图象，直接写出关于x的不等式kxb2的解集；

1x

（3）已知点是x轴上一点，连接、，若的面积为15，求点的坐标．

�����△𝐴��

123

【答案】（1）反比例函数的表达式为y；一次函数的表达式为yx3

x2

（2）4x0或x2

164

（3）,0或,0

33

【解析】

【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，

再根据点A和点B的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可；

（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答

案；

（）设直线交轴于点，求出点的坐标，根据求出的长即可得到

3xDDSABCSACDSBCD15

答案．𝐴𝐵

【小问1详解】

k

解：把点A2,6代入反比例函数的表达式得62，

2

∴k212，

12

∴反比例函数的表达式为y；

x

1212

把点B4,m代入y得m，

x4

∴m3，

∴点B的坐标为4,3，

2k1b6

把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得，

4k1b3

3

k

∴12，

b3

3

∴一次函数的表达式为yx3；

2

【小问2详解】

k

解：由函数图象可得关于x的不等式kxb2的解集为4x0或x2；

1x

【小问3详解】

解：如图所示，设直线交x轴于点D，

𝐴

33

在yx3中，当y0时，x30，解得，

22

�=−2

∴点D的坐标为2,0，

∵，

SABCSACDSBCD15

11

∴CDyCDy15，

2A2B

11

∴CD6CD315，

22

10

∴CD，

3

1016104

∴点C的横坐标为2或点C的横坐标为2，

3333

164

∴点C的坐标为,0或,0．

33

B卷（共60分）

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）

22.若实数m、n满足m2n20，则代数式2m4n6的值为_________．

【答案】

【解析】10

【分析】由已知等式得出m2n的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可．

【详解】解：m2n20，

m2n2，

∴2m4n62m2n622610．

23.若关于x的方程2xm3x1的解是负数，且一次函数ym2x4中，函数值y随x的

增大而减小，则所有满足条件的整数m的值之和是______．

【答案】2

【解析】

【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到m的取值范围，再根据一次函数的

性质得到m的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数m的值，最后相加即可求解．

【详解】解：解方程2xm3x1，得xm3，

∵方程的解是负数，

∴m30，

解得m3，

∵一次函数ym2x4中，函数值y随x的增大而减小，

∴m20，

解得m2，

∴m的取值范围是3m2，

∴符合条件的整数m为2,1,0,1，

∴所有满足条件的整数m的值之和为21012．

k

24.如图，将反比例函数y（k0，x0）的图象绕点O顺时针旋转45，旋转后的图象与x轴

x

交于点A6,0，则k_________．

【答案】18

【解析】

【分析】作出点旋转前的对应点，根据旋转的性质可得OBOA6，过点作BCx轴于点，

����

根据勾股定理求出BCOC32，即可得出点的坐标，再用待定系数法求解即可．

【详解】解：如图，作出点旋转前的对应点，�BOA45，

��

∵A6,0，

∴OBOA6，

过点作BCx轴于点，

��

2

∴BCOCOB32，

2

∴B32,32，

k

把B32,32代入y，得k323218．

x

25.在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线、边CD上的动点，且DQ2AP，则

��

PQ的最小值为_________．

【答案】32

【解析】

【分析】过点P作EFAB于点，交于点，证明EAP是等腰直角三角形，四边形AEFD是矩

�𝐵�

222

形，设APx，求得PF6x，QFx，在RtPQF中，由勾股定理得PQ2x3218，

22

最后利用二次函数的性质求解即可．

【详解】解：过点P作EFAB于点，交于点，

�𝐵�

∵四边形ABCD是正方形，边长为6，

∴BADADC90，EAP45，ADCD6，

∵EFAB，

∴EAP是等腰直角三角形，四边形AEFD是矩形，

∴EFAD6，AEEPDF，EFCD，

设APx，则DQ2x，

∵DQ2x6，

∴0x32，

∵AE2EP2AP22AE22EP2，

2

∴AEPEx，

2

222

∴PFEFPE6x，QFDQDF2xxx，

222

在RtPQF中，

22

由勾股定理得22222

PQFQPFx6x

22

x2x2

3662x

22

2

x262x36x3218，

2

∵x320，0x32，

∴当x32时，PQ2有最小值18，

∴PQ的最小值为32．

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演

步骤．）

26.某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价100元，售价160元；乙种衬衣每件进价

80元，售价120元．现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬衣不少于60件．设购进甲种衬衣x件，两

种衬衣全部售完，商场可获利y元．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案？

（3）在2的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a元（0a30）

出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为4650元，求a的值．

【答案】（1）y20x4000（60x100，x为整数）；

（2）共有种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60件，乙种衬衣40件；②购进甲种衬衣61件，乙种

6

衬衣39件；③购进甲种衬衣62件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37件；⑤购进甲

种衬衣64件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣件；

（3）a1035

【解析】

【分析】1设购进甲种衬衣x件，则购进乙种衬衣100x件，然后根据“总利润甲的利润乙的利

润”，列出函数关系式即可；

2根据题意，总费用不超过9300元，可得100x80100x9300，结合自变量的取值范围得到所有

整数解，即所有进货方案；

3根据题意调价后甲每件利润为60a元，乙每件利润仍为40元，则利润y20ax4000，分

情况根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解a，舍去不符合范围的解．

【小问1详解】

解：设购进甲种衬衣x件，则购进乙种衬衣100x件，

甲每件利润为16010060元，乙每件利润为1208040元，

根据题意得y60x40100x20x4000

由题意得x60，100x0，

因此60x100，且x为整数；

【小问2详解】

解：根据题意，总费用不超过9300元，可得100x80100x9300，

整理得20x1300，

解得x65，

∵x60，且x为正整数，

∴60x65，x的取值为60,61,62,63,64,65，对应乙的数量为40,39,38,37,36,35，

因此共有种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60件，乙种衬衣40件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬

6

衣39件；③购进甲种衬衣62件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37件；⑤购进甲种

衬衣64件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣件；

【小问3详解】35

解：根据题意，调价后甲每件利润为60a元，乙每件利润仍为40元，

∴利润y60ax40100x20ax4000，

①当0a20时，20a0，

∴y随x的增大而增大，

∵60x65，

∴当x65时，利润有最大，此时20a6540004650，

解得a10；

②当a20时，y40004650，不符合题意；

③当20a30时，20a0，

∴y随x的增大而减小，

∵60x65，

∴当x60时，利润有最大，此时20a6040004650，

55

解得a，不符合题意；

6

综上可得：最大利润为4650元时a的值为．

27.如图，在中，ABAC，以边10为直径作O，交于点，交的延长线于点，

连接交△于𝐴点�．𝐴������

��𝐴�

（1）如图1，过点作DMAC于点M．

①求证：DM是�O的切线；

②若CED30，AB6，求阴影部分的面积；

EF1

（2）如图2，连接BE，若，BE215，求的值．

FD2

【答案】（1）①证明：如图1所示，连接，��

𝐵,𝐵

∵为的直径，

∴𝐴⊙�，即ADBC，

∵∠A�C��=AB90，°

∴CDBD，即点D为的中点，

又∵点O为的中点，��

∴是𝐴的中位线，

∴𝐵△�，��

∵�D�M∥��AC，

∴DMOD，

∵是的半径，

∴�D�M是⊙�O的切线；

93

②3π

4

（2）2

【解析】

【分析】（1）①连接，可证明ADBC，得到点D为的中点，则是的中位线，进

𝐵,𝐵��𝐵△𝐴�

而可证明，进一步可证明DMOD，则可证明DM是O的切线；②由圆周角定理可得

AOD�6�0∥，��则可证明AOD是等边三角形，得到AD3，OAD60，解直角三角形得到

193

BD33，可求出SS，根据S阴影S扇形BODSBOD列式求解即可；

BOD2ADB4

（2）取的中点T，连接DT，可证明DT为的中位线，则DTAB，由平行线分线段成比例定

A��EEF1△𝐴�22

理得到；设AEx，则ABAC4x，由勾股定理得4xx2215，解方程即

ATFD2

可得到答案．

【小问1详解】

①略；

②解：如图1所示，连接，

𝐵,𝐵

∵为的直径，

∴𝐴⊙�；

∠𝐵�=90°

∵ADAD，

∴AOD2AED60，

∵，

∴��AO=D𝐵是等边三角形，

1

∴ADOAOBAB3，OAD60，

2

∴BDABsinDAB6sin6033，

1193

∴SADBD333，

ADB222

∵点O为的中点，

𝐴

193

∴SS，

BOD2ADB4

∵，

SBOD180AOD120

2

∴120π39393；

S阴影S扇形S3π

BODBOD36044

【小问2详解】

解：如图2所示，取的中点T，连接DT，

��

由（1）可得点D为的中点，

∴DT为的中��位线，

∴DTA△B�，��

AEEF1

∴；

ATFD2

设AEx，ATCT2x，则ACATCT4x，

∴ABAC4x；

∵是的直径，

∴��AEB⊙�90；

在RtABE中，由勾股定理得AB2AE2BE2，

22

∴4xx2215，

解得或（舍去），

∴AE�=2．�=−2

28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与x轴交于A(3,0)、B(1,0)两点，与y轴

交于点C(0,3)．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点是直线下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点的坐标；

（3）如图2，点�为抛物�线�的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M，直线ykxk1（�为常数）

交抛物线于、�两点（点、分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF交x轴于点P，直线�交x

轴于点Q．�试探�究MPMQ�是否�为定值？若为定值，求出MPMQ的值；若不是定值，请说明理�由�．

【答案】（1）yx22x3

75315

（2）四边形ABCD面积的最大值为；点的坐标为,

824

�

16

（3）是定值，定值为

3

【解析】

【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可；

（2）过点作DTy轴，交于点T，可求直线AC:yx3，根据S四边形ABCDSABCSACD，

���2

可得当ACD面积最大时，四边形面积最大，设Dd,d2d3（3d0），则Td,d3，

𝐴𝐵39

那么DTd23d，再由SSS，得到Sd2d，再利用二次函数的性质求

ACDDTCTDAACD22

解即可；

（3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点N1,4，则M1,0，设

2��22

Ex1,x12x13，Fx2,x22x23，联立直线ykxk1与抛物线yx2x3，整理得，

2

x2kxk20，则x1x2k2,x1x2k2，可求直线NE:yx11xx13，求出

3x3x3x43x4

Q1,0，同理可得P2,0，则MQ11，MP12，

x11x21x11x11x21x21

即可求解MPMQ