2026年上海市中考数学试题（解析版）

2026年上海市初中学业水平考试

数学试卷

（考试时间100分钟，满分150分）

（试卷共5页，答题纸共2页）

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸

的相应位置上】

1.下列选项中，是无理数的是()

5

A.B.4C.2D.9

7

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理

数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称．

5

【详解】解：选项A，是分数，属于有理数，

7

选项B，4是整数，属于有理数，

选项C，2是无限不循环小数，是无理数，

选项D，93，3是整数，属于有理数．

2.下列选项中，与2a2bc是同类项的是（）

A.ab2cB.a2bcC.2abcD.2ab2c

【答案】B

【解析】

【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项

即可．

【详解】解：A、2a2bc与ab2c中字母a,b的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意；

B、符合同类项的定义，故选项符合题意；

C、2a2bc与2abc中字母a的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；

D、2a2bc与2ab2c中字母a,b的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意．

3.下列方程中，没有实数根的是（）

A.x22x0B.x220C.x22x0D.x220

【答案】D

【解析】

2

【分析】对于一元二次方程axbxc0a0，当判别式Δb24ac0时，方程没有实数根，计

算各选项的判别式即可判断．

2

【详解】解：对于一元二次方程axbxc0a0，判别式为Δb24ac．

选项A：方程为x22x0，a1,b2,c0，

Δ(2)241040，方程有两个不相等的实数根．

选项B：方程为x220，a1,b0,c2，

Δ0241280，方程有两个不相等的实数根．

选项C：方程为x22x0，a1,b2,c0，

Δ2241040，方程有两个不相等的实数根．

选项D：方程为x220，a1,b0,c2，

Δ0241280，方程没有实数根．

4.已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动

时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（）分钟．

A.50，50B.45，60C.50，60D.55，60

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数的定义，先求出7天需要的总运动时间，再减去前5天的总运动时间，得到周六周日

的总运动时间，对比选项得到结果．

【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟，

∴7天总运动时间为407280分钟，

∵周一到周五的总运动时间为3428403632170分钟，

∴周六和周日的总运动时间为280170110分钟，

对比各选项，只有C选项中5060110，符合题意．

5.已知A的半径为3，B的半径为7，且AB2，则A与B位置关系是（）

A.内含B.相交C.相切D.相离

【答案】A

【解析】

【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半

径分别为R，r（Rr），圆心距为d，当dRr时，两圆内含．

【详解】解：设A的半径r3，B的半径R7，两圆圆心距dAB2，

Rr734，

d24Rr，

A与B的位置关系是内含．

6.如图，已知边长为1的正方形ABCD，点E是边AB上的一点(不与点A、B重合)，过点E作EMBD，

交边AD与点M，作点E、M关于BD的对称点F、G，联结EF、MG交BD于点P、H，现有以

下两个命题：①四边形EFGM的周长是一个定值；②四边形EPHM的周长是一个定值；

下列说法中，正确的是()

A.①、②均正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①、②均错误

【答案】B

【解析】

【分析】设AMa，则MD1a，根据题意以及正方形的性质分别求得EFMG21a，

FGEM2a，进而求得四边形EFGM、EPHM的周长，即可求解．

【详解】解：依题意，AMAE,MDDG,BFBE,CFCG，设AMa，则MD1a，

AME是等腰直角三角形，则EM2a，MDG是等腰直角三角形，MG21a，MHD是等

2

腰直角三角形，则MH1a

2

同理可得EFMG21a，FGEM2a，

∴四边形EFGM的周长2EMEF22a2222a22

四边形EPHM的周长2EMMH22a22a2a2

故①正确，②错误

二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分）

【请将结果直接填入答题纸相应的空格内】

4

7.计算m2的结果为________．

【答案】m8

【解析】

【分析】根据幂的乘方运算法则计算即可．

4

【详解】解：m2m24m8．

8.在1，2，3，4，5这5个数中选一个数，选出的数是正数的概率为________．

3

【答案】

5

【解析】

【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出选出的数为正数的结果数，再根据概率公式计算即可．

【详解】解：根据题意，总共有5个数，所有等可能的结果总数n5，其中正数为1，4，5，满足条件

的结果数m3．

m3

根据概率公式P，可得选出的数是正数的概率为P．

n5

9.方程13x15的解为________．

【答案】x2

【解析】

【详解】解：13x15

∴13x125

解得：x2，经检验x2是原方程的解．

10.在ABC中，C90，AB10，AC6，则tanB的值为________．

3

【答案】

4

【解析】

【分析】先利用勾股定理求出直角边BC的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可．

【详解】解：在RtABC中，C90，AB10，AC6，

由勾股定理得BCAB2AC2102628，

AC63

根据正切的定义，tanB．

BC84

11.在等腰三角形ABC（AB）中，A80，则B的度数为________．

【答案】20或50

【解析】

【分析】本题分A是顶角，A是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件

AB，排除不符合条件的情况后求解．

【详解】已知等腰ABC中，A80，且AB．

1

若A是顶角，则BC，所以B1808050，符合AB；

2

若A是底角，当B是顶角时，CA80，所以B180808020，符合AB；

当C是顶角时，BA80，与AB矛盾，故舍去．

综上，B的度数为20或50．

k

12.已知点Am,n与点B3,4在同一条反比例函数y的图象上，若0m3，则n的取值范围是

x

________．

【答案】n4

【解析】

【分析】先根据点B的坐标求出反比例函数的k值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，

结合m的取值范围，得到n的取值范围．

k

【详解】解：点B3,4在反比例函数y的图象上，

x

k3412，

12

反比例函数解析式为y，

x

k120，

12

反比例函数y在第一象限内，y随x的增大而减小，

x

点Am,n在该反比例函数图象上，且0m3，

当x3时，y4，

n4．

13.如图，在正六边形ABCDEF中，AFa，ABb，用a、b表示AD的结果是________．

【答案】2a2b

【解析】

【分析】根据正六边形的性质得到AD2AO，再结合平行四边形法则得到AOABAF，进而求出用

a、b表示AD的结果．

【详解】解：如图，设正六边形的中点为O，连接FO，BO，

在正六边形中，ABFO、AFBO，且ABFO、AFBO，

四边形ABOF是平行四边形，

根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：AOAFABab，

AD2AO2ab2a2b．

14.某市2024年进出口集装箱5.15107个，2025年进出口集装箱5.5107个，则2025年较2024年集装

箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示）

【答案】3.5106

【解析】

【分析】用2025年进出口集装箱数量减去2024年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即

可解答．

【详解】解：根据题意列算式计算得：5.51075.151075.55.151070.351073.5106．

15.某区抽查300名学生每周做家务的次数，如图所示，据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大

于5次的有________人．

【答案】3000

【解析】

【详解】解：由题意知，300名学生每周做家务次数大于5次的有403030100（人），

1001

在300名学生中，每周做家务次数大于5次的学生占比为，

3003

1

据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于5次的有90003000（人），

3

16.如图，梯形ABCD中，ADBC，EF是梯形的中位线，点P是边BC上一点，联结AP、DP分别

交于点、，若，，则梯形的面积为．

EFMNBC2ADSPMN1ABCD________

【答案】12

【解析】

【分析】设梯形的高为h，用AD表示出MN的长度，利用三角形面积公式求出AD与h的乘积，最后代

入梯形面积公式计算即可求解．

【详解】解：设梯形ABCD的高为h

EF是梯形ABCD的中位线

1h

EFADBC，EF(ADBC)，EF与BC之间的距离为

22

BC2AD

13

EF(AD2AD)AD

22

在ABP中，E为AB中点，EMBP

11

EMBP同理可得FNPC

22

313131

MNEFEMFNAD(BPPC)ADBCADADAD

222222

1h

SMN1

PMN22

11

ADh1

42

ADh8

113

梯形ABCD的面积为(ADBC)h(3AD)h812．

222

17.如图，在等边ABC中，点D是边BC的中点，连接AD，将ABC绕点D旋转（090），

AP

得到ABC，边AB交AD于点P，当ABAC时，的值为________．

PD

【答案】31##13

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质得出ADBC，DAC30，结合ABAC求出BPD60，利

用旋转的性质得到B60，DBDB，判定BPD为等边三角形，从而得出PDDB，最后在

RtABD中求出AD与BD的数量关系即可求解．

【详解】解：ABC是等边三角形，D是BC的中点，

1

ADBC，BBAC60，DACBAC30，

2

ABAC，

在RtAPE（设AB交AC于点E）中，

APE90DAC60

由旋转的性质可知ABC≌ABC，

BB60，DBDB，

在BPD中，BPD60，PBD60，

，

BPD是等边三角形

PDDB，

PDDB，

在RtABD中，ADB90，B60，

ADBDtan603BD

APADPD3BDBD31BD，

AP31BD

31．

PDBD

三、解答题（本大题共7小题，满分82分）

【请在答题纸相应位置写下相应步骤】

0

14

18.计算：3148．

431

【答案】23

【解析】

【分析】本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识．先分别化简每一项，

再合并同类二次根式即可得到结果．

【详解】解：原式13143232

11234323

23．

y22x7

19.解方程组：．

xy4

x9x1

【答案】，

y5y3

【解析】

【分析】本题使用代入消元法求解，先将一次方程变形，用含y的代数式表示x，再代入二次方程得到一元

二次方程，求解后再回代求x的值．

y22x7①

【详解】解：

xy4②

由②得xy4③

把③代入①得y22y47

整理得y22y150

因式分解得y5y30

解得y15，y23

把y5代入③得x549

把y3代入③得x341

x9x1

∴原方程组的解是，．

y5y3

20.如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆AB与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建

h1

筑物高度h与栏杆到建筑物的距离d满足即为安全．

d8

（1）当d100米时，h至少需要小于多少米？

h

（2）若在观测场测得AB的长是a，BC的长为b，在B处观测C的仰角为，求．（用含a、b、的

d

代数式表示）

【答案】（1）h至少需要小于12.5米

habsin

（2）

dbcos

【解析】

h1

【分析】（1）将d100代入中，解得h12.5，即可求解；

d8

CDha

（2）过点B作建筑物的垂线，垂足为点D，则BDd，CDha，在RtBCD中，sin，

BCb

BDd

cos，得到habsin，dbcos，即可求解．

BCb

【小问1详解】

h1

解：由题可知，当d100米时，，解得h12.5，

1008

∴h至少需要小于12.5米；

【小问2详解】

解：如图所示，过点B作建筑物的垂线，垂足为点D，则BDd，CDha，

CDhaBDd

在RtBCD中，sin，cos，

BCbBCb

∴habsin，dbcos，

habsin

∴．

dbcos

21.某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，8:10:00时第一位游客站上扶梯，8:10:51时第一位游客到

达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为0.8秒．

（1）设登上观景台的游客数为x，时间为y（从8:10:00开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出y关

于x的函数解析式；（不用写定义域）

x16

y

表1

（2）①请你求出从8点10分0秒整到8点12分0秒整，一共有几位游客到达观景台；

②请你求出从8点12分0秒整到8点14分0秒整，一共有几位游客到达观景台．

【答案】（1）表格依次填入51，55；y关于x的函数解析式为y0.8x50.2

（2）①87位；②150位

【解析】

【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游

客到达间隔推出表格数据，再推导得到y关于x的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时y的范围，

结合x为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解．

【小问1详解】

解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51秒．

所以当x1时，y51．

每位游客到达间隔为0.8秒，

当x6时，y510.8(61)55．

∵x位游客，第一位用时51秒，剩余x1位每位间隔0.8秒，

∴y510.8(x1)0.8x50.2

【小问2详解】

解：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时y120秒．

令0.8x50.2120

解得x87.25x为正整数，因此最大x87．

答：一共有87位游客到达观景台．

②从8点10分0秒整到8点14分0秒整，总计时y240秒．

令0.8x50.2240

解得x237.25x为正整数，

因此到8点14分0秒整最多有237位游客到达．

该时间段游客数为23787150．

答：一共有150位游客到达观景台．

22.如图，菱形ABCD中，E是线段CD上的点，连接BE交对角线AC于点F，且FBCCAB．

（1）如果AF2BF，求证：CEDE；

（2）如果ABE的角平分线交AC、AD于点G、H，求证：CDBGBHBF．

【答案】（1）证明：四边形ABCD为菱形，

DACDCACABBCA，ABDC，

FBCCAB，

FBCBCA，

FBFC，

AF2BF，

AF2CF，

ABDC，

CEFABF，

EFCAFB，

AFB∽CFE，

AFABAB

，即2，

CFCECE

ABDC，

DC

2，即DC2CE

CE

故CEDE．

（2）证明：据（1）可知FBCBCA，

BFAFBCBCA2FBC，

FBCCAB，

BFA2CAB，

DACDCACABBCA，BAHDACCAB，

BAH2CAB，

BFABAH，

BH平分ABE，

ABHGBF，

BFG∽BAH，

BFBG

，

BABH

BACD，

BFBG

，

CDBH

CDBGBHBF．

【解析】

【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得FBFC，由AF2BF得到AF2CF，

再由ABCD证AFB∽CFE，推出AB2CE，结合菱形边长相等证出CEDE；

（2）先通过BFA2FBC与FBCCAB推导BFABAH，结合角平分线得

ABHGBF，证得BFG∽BAH，写出相似比例式，用BACD代换，变形得到乘积等式．

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

2

23.对于函数yaxbxca0，对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移一个单位得到点B，使点

C与点B的横坐标相等，且点C的纵坐标为2a，则称点C为抛物线的“派生点”，并且将直线AC称为抛

物线的“派生直线”．

（1）已知函数y2x23，求该函数的“派生直线”解析式；

（2）已知点C为某抛物线的“派生点”，点P1,m和Q7,n在其“派生直线”y2x6上，且点P是

PC

该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点Q是否在抛物线上．

CQ

【答案】（1）y4x

PC

（2）1，点Q在抛物线上

CQ

【解析】

【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式；

（2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否

在抛物线上．

【小问1详解】

b

解：已知函数y2x23，可得a2，b0，二次函数对称轴为x0，对称轴与x轴交点A坐

2a

标为0,0，

将A向右平移1个单位得到B，

B的横坐标为011，

根据定义，C横坐标为1，纵坐标为2a4.即C1,4，

设派生直线AC解析式为ykx，

代入C1,4得k4．

因此该函数的派生直线解析式为y4x．

【小问2详解】

解：由题意，A是派生直线y2x6与x轴的交点，A纵坐标为0，

将y0代入y2x6得02x6，

解得x3，因此A3,0，

根据定义，B横坐标为314，因此C横坐标为4，

将x4代入y2x6得y2.

因此C4,2，

将P1,m代入y2x6得

m4，即P1,4，

将Q7,n代入y2x6得n8，即Q7,8，

∴PC(41)2(24)235，CQ(74)2(82)235，

PC35

1，

CQ35

由定义，抛物线对称轴为x3，

C纵坐标为2a2，得

a1，

设抛物线解析式为y(x3)2k，

∵P1,4在抛物线上，代入得4(13)2k，

解得k8，

∵抛物线解析式为y(x3)28x26x1，

∴将x7代入抛物线解析式得y726718，与Q的纵坐标相等，

因此点Q在抛物线上．

24.在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上两点，D是AB上一点，连接AB、

CD交于点P，且ABCD．

（1）如图1，连接OP；

①求证：APOCPO；

②如图2，连接OB交弦CD于点H，若AQ4，PB1，POHO，求PH的长；

（2）如图3，连接PQ、AC交于点E，线段AP上有一点F使得PF4AF，若PEQE，

PE

PEAPFQ，求的值．

EA

【答案】（1）①证明：如图，作OGAB于G，OZCD于Z，连接OC，

11

∴AGAB，CZCD，

22

∵ABCD，

∴AGCZ，

∵OAOC，AGOCZO90，

∴RtOAG≌RtOCZHL，

∴OGOZ，

∵PGOPZO90，OPOP，

∴RtOPG≌RtOPZHL，

∴APOCPO；

3

②PH；

4

PQ2

（2）

AQ3

【解析】

【分析】（1）①作OGAB于G，OZCD于Z，连接OC