人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习2.3直线的交点坐标与距离公式(七种常考题型)(原卷版+解析)

2.3直线的交点坐标与距离公式（七种常考题型）知识点1两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．2．方程组解的组数与两条直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的位置关系相交重合平行知识点2两点间的距离公式如图，由点，由此得到两点间的距离公式，特别地，原点与任一点间的距离知识点3点到直线的距离公式点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立．注意：点到几种特殊直线的距离①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|；②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离.知识点4两条平行直线间的距离1．两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．2．两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线间的距离注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决：①两直线都与轴垂直时，则；②两直线都与轴垂直时则.题型一 直线的交点坐标1．两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（）A．(,) B．(,0)C．(0,) D．()2．分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．3．直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)4．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为______．5．若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．6．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.7．直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且8．直线与直线相交，则m的取值范围为__________．9．已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于（

）A．6 B．2 C． D．10．直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积．11．（多选）设直线：，：，下列说法正确的是（

）A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交C．当时，D．当时，题型二 直线的交点系方程及应用12．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（

）A． B． C． D．13．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（

）A． B． C． D．14．已知直线．(1)求证：直线过定点；(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．15．过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=016．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（

）A． B． C． D．17．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.18．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为；(2)过点；(3)平行于直线．19．已知两直线和的交点为P．求：(1)过点P与的直线方程；(2)过点P且与直线平行的直线方程．题型三 两点间距离公式的应用20．在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为________．21．已知点，且，则直线AB的方程为（

）A．和 B．和C．和 D．和22．已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为___________，直线的方程为___________.23．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．24．如图，已知的三个顶点分别为，，．(1)试判断的形状；(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．25．已知点，判断的类型.26．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为________，________．27．直线和直线分别过定点和，则|________．28．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（

）A． B．C． D．29．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标______.①该点的横、纵坐标均为正整数；②该点到点的距离比到点的距离大4.题型四 点到直线的距离公式的应用30．若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（

）A． B．8 C．8或 D．31．倾斜角为，并且与原点的距离是5的直线方程为_______________．32．求满足下列条件的直线的一般式方程：(1)经过直线,的交点P，且经过点；(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．33．直线，直线，下列说法正确的是（

）A．，使得 B．，使得C．，与都相交 D．，使得原点到的距离为334．到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（）.A．或 B．或C．或 D．或35．点(1,1)到直线的距离是（

）A．1 B．2 C．36．已知的三个顶点，，.(1)求直线的方程；(2)求的面积.37．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为，则它邻边所在的直线方程为___________．38．已知点，且，.(1)求直线CD的方程；(2)求点C的坐标，并求四边形ABCD的面积.39．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（）A．原点到直线l距离等于2B．若点在直线l上，则C．点到直线l距离的最大值等于D．点到直线l距离的最小值等于题型五 两条平行直线的距离40．（多选）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（

）A． B．C． D．41．已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（

）A． B．C． D．42．（多选）已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．－143．已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为__________.44．直线与直线的距离为，则实数a的值为______．45．若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．8或46．已知直线，相互平行，则、之间的距离为（

）A． B． C． D．47．已知直线，且∥．(1)求的值；(2)求两平行线与之间的距离．48．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或249．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型六 对称问题50．已知直线过点和，直线：．(1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．(2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.51．直线关于直线对称的直线方程是__.52．若点，关于直线l对称，则l的方程为（）A． B．C． D．53．已知光线从点射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为__________.54．关于原点对称的直线是（

）A． B． C． D．55．直线关于点的对称直线方程是______．56．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．57．已知点与点关于直线对称，则的值为__________．58．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．59．已知的顶点边上的高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为.(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程.60．已知的一条内角平分线所在的直线方程为，两个顶点坐标分别为，则边所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）题型七 距离的最值问题61．若直线l：x－2y＋8＝0上存在一点P到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P的坐标为________．62．如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．63．已知平面上两点和，在直线上求一点M．(1)使最大值；(2)使最小．64．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．65．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（

）A． B． C． D．66．已知直线过点且与轴､轴分别交于两点，则当最小时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．67．函数的最小值是_____________.68．已知，，，点D是直线上的动点，若恒成立，则正整数t的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．669．已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______．【答

2.3直线的交点坐标与距离公式（七种常考题型）知识点1两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．2．方程组解的组数与两条直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的位置关系相交重合平行知识点2两点间的距离公式如图，由点，由此得到两点间的距离公式，特别地，原点与任一点间的距离知识点3点到直线的距离公式点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立．注意：点到几种特殊直线的距离①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|；②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离.知识点4两条平行直线间的距离1．两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．2．两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线间的距离注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决：①两直线都与轴垂直时，则；②两直线都与轴垂直时则.题型一 直线的交点坐标1．两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（）A．(,) B．(,0)C．(0,) D．()【答案】C【分析】联立直线方程找到交点，根据第二象限的点解出.【详解】由解得即两条直线的交点为，由交点在第二象限，得,解得.故选：C.2．分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交点坐标为(2)不相交(3)不相交【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断.【详解】（1）解方程组，得，所以与相交，交点坐标为．（2）解方程组，方程组无解，所以与无公共点，即与不相交．（3）解方程组，因为方程可化为，所以方程组有无数组解，所以与有无数个公共点，即与不相交．3．直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【分析】解方程组即可得解.【详解】解方程组得，即直线与直线的交点坐标是(0,2)．故选：C.4．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为______．【答案】【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解.【详解】三条直线不能围成三角形，则有以下情况：(1)直线与直线平行，则有；(2)直线与直线平行，则有；(3)三条直线，，相交于同一点，联立解得，代入可得，综上，实数m的取值集合为，故答案为:.5．若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解.【详解】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.6．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.【答案】/【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件【详解】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：7．直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.【详解】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D8．直线与直线相交，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】根据两直线相交的条件即可求解.【详解】因为直线与直线，即相交，所以，解得.所以m的取值范围为.故答案为：9．已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于（

）A．6 B．2 C． D．【答案】A【分析】由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，解得，所以原直线为，又因为垂足在两直线上，所以代入得，解得，所以.故选：A10．直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）联立和的直线方程，求出交点P的坐标，再根据点斜式或者两点式即可求出直线l的方程；（2）分别求出直线l与x轴和y轴的交点，坐标的绝对值即是三角形的底边和高.【详解】（1）∵直线l经过两条直线和的交点，∴解得，，即，由题意可知直线的斜率存在，设为k且，则过，代入可得．∴直线l的方程．（2）在直线中，令可得，令可得，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积．11．（多选）设直线：，：，下列说法正确的是（

）A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交C．当时，D．当时，【答案】BD【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D.【详解】对于A，时，若,,且时，两直线：，：重合，A错误；对于B，联立，可得,当时，，此时方程组有唯一一组解，故直线与相交，B正确；对于C，时，若，则无解，此时；若，则有无数多组解，此时重合，故C错误；对于D，若，则由可得，即两直线斜率之积等于，故；若,则可得，此时满足，直线：，：，此时，故当时，，D正确，故选：题型二 直线的交点系方程及应用12．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.【详解】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为，故选：B13．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．故选：D．14．已知直线．(1)求证：直线过定点；(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．【答案】(1)直线过定点，证明见详解；(2)【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明.（2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程.【详解】（1）证明：方程化为：，由直线系方程的性质有：，解得，故直线恒过点（2）设直线，则由题意得：，解得，所以直线，即，所以所求直线方程为：.15．过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.【详解】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.16．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.【详解】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.17．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.【答案】或【分析】设直线方程为，解方程或，即得解.【详解】解：设直线方程为，化简得,直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线的斜率为,或，解得或.代入并化简得直线的方程为或.所以所求的直线方程为或.18．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为；(2)过点；(3)平行于直线．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）法一：联立直线方程，求出交点坐标，由点斜式方程得到直线方程.法二：由直线系方程可设所求直线为，由斜率为求出的值，回代入方程即可得出答案.（2）法一：由点斜式方程得到直线方程；法二：因为直线过点，代入直线系方程求出的值，即可得出答案.（3）法一：两直线平行，斜率相等，由点斜式方程得到直线方程.法二：两直线平行，斜率相等，可得出直线系方程的斜率求出的值，即可得出答案.（1）法一:直线与的交点为，当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．直线方程为．法二:由题意，直线不符合题意，所以由直线系方程可设所求直线为，当直线的斜率为时，，解得，故所求直线方程为；（2）法一：过点时，由两点式得：即为．直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，过点时，代入（1）中直线系方程得，故所求直线方程为．（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得,故所求直线方程为．19．已知两直线和的交点为P．求：(1)过点P与的直线方程；(2)过点P且与直线平行的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线.（2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线.（1）设过直线和交点的直线方程为，即．①把点代入方程①，化简得，解得，所以过点P与Q的直线方程为，即．（2）由两直线平行，得，得，所以所求直线的方程为，即．题型三 两点间距离公式的应用20．在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为________．【答案】或/或【分析】根据两点之间距离公式求解.【详解】设，则有，解得或.即或.故答案为：或.21．已知点，且，则直线AB的方程为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】通过的距离，求出，与，然后求出的斜率，利用点斜式求出直线的方程．【详解】解：因为点，，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以直线的方程：．即或．故选：．22．已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为___________，直线的方程为___________.【答案】或或.【分析】利用两点距离公式，结合斜率公式进行求解即可.【详解】根据题意，点在直线上，设的坐标为，又由，则，解可得：或5，时，的坐标为，直线的方程为，时，的坐标为，此时直线的斜率，直线的方程为，变形可得，则的坐标为或，直线的方程为或，故答案为：或；或.23．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】运用两点间距离公式，结合直线两点式方程进行求解即可.【详解】由于点B在l上，可设点B的坐标为．由，化简得，解得或．当时，直线的方程为；当时，点B的坐标为，直线的方程为：．综上，直线的方程为或．故选：AB24．如图，已知的三个顶点分别为，，．(1)试判断的形状；(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．【答案】(1)直角三角形；(2).【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答.(2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答.(1)根据两点间的距离公式，得，，，，即，所以是直角三角形.(2)依题意，线段BC的中点，，所以BC边上中线的长为.25．已知点，判断的类型.【答案】等腰三角形【分析】根据两点间距离公式求出，再求出可得答案.【详解】∵，，，∴，且三边不满足勾股定理，∵，∴，∴三点不共线，∴是等腰三角形．26．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为________，________．【答案】，【分析】设，，利用中点坐标公式得到，进而得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可.【详解】设，，因为AB中点，所以，即，，所以，，所以，故答案为：，；.27．直线和直线分别过定点和，则|________．【答案】【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值.【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点，将直线的方程变形为，由，可得，即点，所以，.故答案为：.28．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】设点，由A，B两点间的距离列出方程，解出点B，得直线的方程.【详解】因为点B在直线：上，设点，因为，则，解得或，则B点坐标为或，当B点坐标为时，直线的方程为；当B点坐标为时，直线的方程为，即.故选：AC.29．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标______.①该点的横、纵坐标均为正整数；②该点到点的距离比到点的距离大4.【答案】（答案不唯一，或任写一个即可）【分析】设该点为，由已知条件根据两点距离公式列式并化简计算得，再由，，从而得答案.【详解】设该点为，则，即，即，即且，化简计算得.又，，所以该点为或.故答案为：（答案不唯一，或任写一个即可）题型四 点到直线的距离公式的应用30．若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（

）A． B．8 C．8或 D．【答案】B【分析】由题意先判断抛物线与直线的关系，进而求出的取值范围，再利用点到直线距离公式分析求解.【详解】由得：，由题意知直线与抛物线无交点，所以，设抛物线上任一点为，则点到直线的距离为：，因为，所以，所以，所以当时，，解得：，故选：B.31．倾斜角为，并且与原点的距离是5的直线方程为_______________．【答案】或【分析】求出倾斜角是的直线的斜率，设出直线方程，进而利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．【详解】因为直线斜率为，可设直线方程为，即．由直线与原点距离为5，得，解得，所以所求直线方程为或．故答案为：或.32．求满足下列条件的直线的一般式方程：(1)经过直线,的交点P，且经过点；(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）解方程组得交点坐标，再根据两点式可求出结果；（2）根据垂直得斜率，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【详解】（1）联立，得，即，由两点式得，即.（2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为，设直线，即，依题意得，解得或，所以直线的方程为或.33．直线，直线，下列说法正确的是（

）A．，使得 B．，使得C．，与都相交 D．，使得原点到的距离为3【答案】B【分析】对A，要使，则，所以，解之再验证即可判断；对B，要使，，，解之再验证即可判断；对C，当时，与重合，即可判断；对D，根据点到直线距离列方程即可判断.【详解】对A，要使，则，所以，解之得，此时与重合，选项A错误；对B，要使，，，解之得，所以B正确；对C，过定点，该定点在上，但是当时，与重合，所以C错误；对D，，化简得，此方程，无实数解，所以D错误.故选：B.34．到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（）.A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可求解.【详解】由题意可得，即，化简得或，故选：C35．点(1,1)到直线的距离是（

）A．1 B．2 C．【答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】，故选：A36．已知的三个顶点，，.(1)求直线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)7【分析】（1）首先求出的斜率，再由点斜式求出直线方程；（2）求出点到直线的距离，再求出的长度，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，，所以，所以，化简可得.（2）点到直线的距离，，则.37．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为，则它邻边所在的直线方程为___________．【答案】【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进而结合点到这两条直线距离相等且为即可求解.【详解】解：，解得，∴中心坐标为，点M到直线的距离设与垂直两线分别为，则点到这两条直线距离相等且为，设方程为∴，解得或，∴它邻边所在的直线方程为．故答案为：38．已知点，且，.(1)求直线CD的方程；(2)求点C的坐标，并求四边形ABCD的面积.【答案】(1)(2)，四边形ABCD的面积为【分析】（1）根据求得直线的方程.（2）设出点坐标，根据已知条件求得点坐标，结合点到直线的距离公式求得四边形的面积.【详解】（1）直线的斜率为，由于，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.（2）设，则①，由于，所以直线的斜率为②，由①②解得，所以.，直线的方程为，到直线的距离为，所以三角形的面积为.，到直线的距离为，所以三角形的面积为，所以四边形的面积为.39．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（）A．原点到直线l距离等于2B．若点在直线l上，则C．点到直线l距离的最大值等于D．点到直线l距离的最小值等于【答案】ABCD【分析】由点到直线的距离公式判断A；由辅助角公式判断B；由距离公式结合正弦函数的性质判断CD.【详解】对于A：由点到直线的距离公式知，，故A正确；对于B：由题意得，当时，则，其中，因为，所以，即.当时，，则，即，综上，点在直线l上，则，故B正确；对于CD：因为，所以的最大值等于，最小值等于，故CD正确；故选：ABCD题型五 两条平行直线的距离40．（多选）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.【详解】设所求直线方程为，由题意得，解得：或，故所求直线方程为：或.故选：AB.41．已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线的方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.【详解】设直线的方程为，由两条平行线间的距离公式可得：，解得：，所以直线的方程为，故选：.42．（多选）已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．－1【答案】AC【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案.【详解】直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求.故选:AC．43．已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为__________.【答案】或【分析】设直线的方程为，则，求出，即可求直线的方程．【详解】设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得，或，直线的方程为或.故答案为：或44．直线与直线的距离为，则实数a的值为______．【答案】3，-4【分析】由平行线间距离公式求解.【详解】直线方程化为和，∴，解得或．故答案为：3或．45．若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C46．已知直线，相互平行，则、之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之间的距离.故选：A.47．已知直线，且∥．(1)求的值；(2)求两平行线与之间的距离．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由两直线平行，可得，从而可求出的值；（2）先将直线变形后，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.【详解】（1）因为直线，且∥，所以，解得（2）由（1）知的方程为，即，所以与之间的距离为．48．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【分析】根据直线平行，求得的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.【详解】因为两直线：，：平行，可得且，解得或，当时，，，即，可两平行线间的距离为，符合题意；当时，，，即，可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去.故选：A.49．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案.【详解】，由，解得，故过定点．，由，解得，故过定点，故，距离的最大值为．此时，，则，，解得，故．故选：C．题型六 对称问题50．已知直线过点和，直线：．(1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．(2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或．【分析】（1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程.【详解】（1）直线的方程为，即，取直线上的一点，设关于直线的对称点为，则，解得.由解得，所以直线过点和点，所以直线的方程为，即.（2）直线斜率不存在时，可得，点与直线的距离为，符合题意.当直线斜率存在时，设直线斜率为，故可得直线的方程为，即，因为点到直线的距离为，即，解得，故可得直线的方程为，即，综上所述，直线的方程为：或．51．直线关于直线对称的直线方程是__.【答案】【分析】在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程.【详解】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为，则,得对称点的坐标为，又点在直线上，所以，即.所以所求直线方程为.故答案为：.52．若点，关于直线l对称，则l的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程.【详解】由题意可知AB中点坐标是，，因为A，B关于直线l对称，所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选：A.【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为求解，属于简单题.53．已知光线从点射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为__________.【答案】【分析】由题意可知直线BC一定过关于轴的对称点，且一定过关于轴的对称点，从而可求出直线所在直线的方程.【详解】由反射光线和入射光线的性质可得，过A点经轴反射到轴，A点关于轴的对称点，则反射光线过点，再经过轴反射，则反射光线过点，由题意可得关于轴的对称点，则经过点关于轴反射的光线过，所以直线所在的直线的方程为：，所以直线所在的直线方程为整理可得：，故答案为：.54．关于原点对称的直线是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程.【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即，所以直线关于原点对称的直线是.故选：C55．直线关于点的对称直线方程是______．【答案】【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.【详解】设对称直线为，则有，即解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中.故答案为：.56．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．【答案】【解析】由已知得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，建立方程组，求得k，b,从而可求得直线在x轴上的截距.【详解】由题意得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，故解得k＝－，b＝，所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为.故答案为：.57．已知点与点关于直线对称，则的值为__________．【答案】【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案.【详解】因为、，所以的中点为，因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上，所以，即，故答案为：58．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】根据点关于线的对称，可求，进而根据两点斜率公式即可求解.【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，故，反射线经过点,所以，即反射光线所在直线的斜率为4，故选：C59．已知的顶点边上的高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为.(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据垂直关系和点在直线上得到方程组，解得答案.（2）计算点C关于的对称点，计算斜率得到直线方程.【详解】（1）设，则有，，即，解得，即；（2）点C关于的对称点，则，，解得，即，，直线的方程：，整理：.60．已知的一条内角平分线所在的直线方程为，两个顶点坐标分别为，则边所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】【分析】根据题意可知，是角A的平分线，所以点B关于角平分线的对称点在直线上，即可求得边所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线为三角形内角A的平分线，所以，点B关于角平分线的对称点在直线上，设，即，解得，所以此时直线所在直线方程即为边所在的直线方程，即，整理得.故答案为：题型七 距离的最值问题61．若直线l：x－2y＋8＝0上存在一点P到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P的坐标为________．【答案】【分析】先求得点A关于l：x－2y＋8＝0的对称点A1，再联立直线A1B与直线x－2y＋8＝0求解.时【详解】解：设点A关于l：x－2y＋8＝0的对称点为A1（m，n），则，解得，故A1（－2，8）．则直线A1B的方程为x＝－2．如图所示：当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为．故答案为：62．如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由