人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习重点04概率统计的综合运用(原卷版+解析)

重点04概率统计的综合运用题型一用样本估计总体①频率分布直方图的数字特征②数字特征的性质③总体百分位数的估计题型二古典概型题型三概率的基本性质题型四相互独立事件①相互独立事件的判断②相互独立事件的概率题型一 用样本估计总体①频率分布直方图的数字特征例1．（多选）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（

）.

A．样本在区间内的频数为18B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C．样本的中位数小于350万元D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）例2．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)；(2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表).练习1．学校对高一年级生物学科水平测试模拟考试的成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率160.2501040.05合计80

(1)求表中，的值和频率分布直方图中的值；(2)若要使20%的学生达到优秀等次，请预测优秀等次的分数线．练习2．某区为了解全区名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了名学生进行体能测试，并将这名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这名学生平均成绩的估计值为________．

练习3．某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比练习划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．

(1)求图中a，b的值；(2)根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）；(3)用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？练习4．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中t的值：(2)根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值；(3)已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少．练习5．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比练习及赋分区间如下表：等级ABCDE人数比练习15%35%35%13%2%赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比练习转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

(1)求实数的值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；②数字特征的性质例3．坐位体前屈是中小学体质健康测试项日，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．(1)求抽取的总样本的平均数：(2)试估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差，参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，例4．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为______．练习6．（多选）2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（

）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差练习7．为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近年来，参加足球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为，已知这年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为（

）A． B． C． D．练习8．设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．练习9．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比练习分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：①；②．练习10．若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________.③总体百分位数的估计例5．为了研究某产品的质量，现随机抽取个进行测试，得到如右图所示的频率分布直方图，则该样本质量的分位数为_______.

例6．（多选）某市举行高中英语演讲比赛，已知12位评委对某位选手评分具体如下（满分10分）：7.0，7.5，7.8，7.8，8.2，8.3，8.5，8.7，9.1，9.2，9.9，10，则下列说法正确的是（

）A．中位数为8.3B．极差为3C．的分位数为9.15D．去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分练习11．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（）A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数练习12．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（

）A．50 B．60 C．70 D．80练习13．随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（MadeinChina）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如右频率分布直方图．则频率分布直方图中质量指标值的第30百分位数是______．

练习14．已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，16，20，22，则估计该组数据的总体的上四分位数为____．练习15．为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（

）

A．频率分布直方图中的B．估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400C．估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55D．估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为题型二 古典概型例7．如图，我国古代珠算算具——算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨3颗珠（每档至少拨一珠，同一档不可拨两颗上珠），表示两位数，记所得的两位数为X，则_____________．

例8．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．练习16．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204978171935263321947468579682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．练习17．城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁1号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线.已知1号地铁线的每辆列车有6节车厢，从5月1日起实行“夏季运行模式”，其中2节车厢开启强冷模式，2节车厢开启中冷模式，2节车厢开启弱冷模式.现在有甲、乙、丙3人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，丙没有限制，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙、丙3人中恰有2人在同一车厢的概率为________．练习18．把正整数集合排列成如图所示的三角阵，在第3列与第5列中各任取一个数，则取到的两个数之积是6的倍数的概率为（

）A． B． C． D．练习19．某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．

(1)请将频率分布直方图补充完整；(2)估计该校所有学生成绩的第60百分位数；(3)从成绩在，内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈会，求这2人来自不同分组的概率．练习20．已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为（

）A． B． C． D．题型三 概率的基本性质例9．某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（

）A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件例10．给出下列命题，其中说法正确的是（

）A．若A，B为两个随机事件，则B．若事件A，B，C两两互斥，则C．若A，B为互斥事件，则D．若，则练习21．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是A．事件与互斥 B．事件与互斥C．任何两个事件均互斥 D．任何两个事件均不互斥练习22．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．y分人数x/分5432151310141075132109321b60a100113(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？练习23．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（

）A． B．C． D．练习24．某游戏的得分为，小明玩该游戏得分为的概率为，若，则小明得5分的概率至少为______.练习25．下列说法正确的是（

）A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小C．若，则事件A与B是对立事件D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大题型四 相互独立事件①相互独立事件的判断例11．（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（

）A． B．B，D为对立事件C．A，C为互斥事件 D．A，D相互独立例12．（多选）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥B．事件发生的概率为C．事件与事件相互独立D．事件发生的概率为1练习26．（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（

）A．与互斥 B．与互斥 C．与独立 D．与独立练习27．（多选）设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（

）A．若A，B是互斥事件，，则B．若A，B是对立事件，则C．若A，B是独立事件，，则D．若，且，则A，B是独立事件练习28．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是________．①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；

②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立；③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；

④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．练习29．已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要练习30．已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用表示第一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．(1)写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率；(2)判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由．②相互独立事件的概率例13．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件.小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购.假设该企业这批产品中，每包产品含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%，则小张决定采购该企业产品的概率为（

）A． B． C． D．例14．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求；(2)求事件“且乙获胜”的概率练习31．甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.练习32．（多选）设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．练习33．在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求丙连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.练习34．某同学买了7个官盒，每个盲盒中都有一个礼物，其中有4个盲盒装小兔，3个盲盒装小狗.(1)依次有放回地从中取出2个盲盒，求第1次､第2次取到的都是小兔盲盒的概率；(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率.练习35．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概㘶分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

重点04概率统计的综合运用题型一用样本估计总体①频率分布直方图的数字特征②数字特征的性质③总体百分位数的估计题型二古典概型题型三概率的基本性质题型四相互独立事件①相互独立事件的判断②相互独立事件的概率题型一 用样本估计总体①频率分布直方图的数字特征例1．（多选）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（

）.

A．样本在区间内的频数为18B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C．样本的中位数小于350万元D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【答案】AB【分析】选项A、B，根据频率分布直方图的性质，面积代表频率，可得答案；选项C，根据频率分布直方图的中位数估计值的计算公式，可得答案；选项D，根据频率分布直方图的平均数估计值的计算公式，可得答案.【详解】由图可得样本在区间内的频数为，故A正确；年收入在300万元以内的企业频率为，故B正确；则中位数在之间，设为则，故C不正确；年收入平均数超过，D不正确.故选：AB.例2．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)；(2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表).【答案】(1)，0.46万元(2)0.466【分析】（1）由频率和为1，列方程可求出的值，先判断出中位数在第三组，然后列方程求解即可，（2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解.【详解】（1）由题可知，即，所以.因为前两组的频率和为，前三组的频率和为，所以中位数在第三组，设中位数为，则，解得，所以样本中消费金额的中位数约为0.46万元；（2）由频率分布直方图可得因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元.练习1．学校对高一年级生物学科水平测试模拟考试的成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率160.2501040.05合计80

(1)求表中，的值和频率分布直方图中的值；(2)若要使20%的学生达到优秀等次，请预测优秀等次的分数线．【答案】(1)，，(2)79.6【分析】（1）根据所给数据直接求解；（2）利用频率分布直方图求解，即可预测.【详解】（1）,,,（2）设优秀等次的分数线为x，由知在内则，∴,∴优秀等次的分数线为79.6练习2．某区为了解全区名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了名学生进行体能测试，并将这名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这名学生平均成绩的估计值为________．

【答案】【分析】根据所有矩形面积之和为求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得这名学生平均成绩.【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可得，解得，由频率分布直方图可知，这名学生平均成绩的估计值为分.故答案为：.练习3．某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比练习划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．

(1)求图中a，b的值；(2)根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）；(3)用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据频率和等于列式可求出结果；（2）根据均值公式可求出结果；（3）设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为xg，判断出，再根据直方图列式可求出结果.【详解】（1）由题意，得，解得，．（2）企业生产的该批产品的质量的平均数约为g．（3）等级达到C及以上的占比为，设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为xg，易得，则，解得，所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为59g．练习4．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中t的值：(2)根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值；(3)已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据频率和为1计算得到答案.（2）根据前5组的频率之和与前4组的频率之和得到，根据比练习关系解得答案.（3）各区间分别超出元，计算平均值得到答案.【详解】（1），解得.（2）前5组的频率之和为：；前4组的频率之和为：；故，，解得.（3）区间在，，，内的个人所得税分别取作为代表.则分别超出元，则退税总数约为：.练习5．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比练习及赋分区间如下表：等级ABCDE人数比练习15%35%35%13%2%赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比练习转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

(1)求实数的值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；【答案】(1)0.005(2)(3)91分【分析】（1）利用频率分布直方图列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；（2）先利用频率分布直方图求得第百分位数对应的原始分，进而估计出此次考试化学成绩A等级的原始分区间；（3）利用题给转换公式即可求得其等级分.【详解】（1）由，可得（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90，100]的占比为5%，位于区间[80，90]的占比为20%，估计等级A的原始分区间的最低分为，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为[85，98]（3）由，解得，该学生的等级分为91分②数字特征的性质例3．坐位体前屈是中小学体质健康测试项日，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．(1)求抽取的总样本的平均数：(2)试估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差，参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，【答案】(1)(2)16【分析】（1）根据样本与总体可确定抽样比，根据抽样比可确定抽取男生60人，女生40人，即可计算出平均数为；（2）根据（1）的计算数据，代入（2）中总样本的方差公式可得.【详解】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则，解得．记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得所以抽取的总样本的平均数为．（2）男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为，样本方差为；由（1）知，总样本的平均数为．记总样本的样本方差为，则所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．例4．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为______．【答案】18【分析】利用方差的性质求解即可.【详解】因为一组数据，，…，的方差为2，所以数据，，…，的方差为，故答案为：18.练习6．（多选）2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（

）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差【答案】BCD【解析】由中位数、平均数、方差、极差的概念逐项判断即可得解.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差.故选：BCD.【点睛】本题考查了样本数字特征的辨析，牢记知识点是解题关键，属于基础题.练习7．为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近年来，参加足球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为，已知这年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平均数公式可求得结果.【详解】由已知可得，由平均数公式可得.故选：A.练习8．设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．【答案】【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．【详解】数据的平均数为，方差为，所以，，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．故答案为：．练习9．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比练习分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：①；②．【答案】（1）0.06

60人；（2）；（3）详见解析.【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数；（2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得；（3）利用样本平均数，方差公式化简即证.【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，身高在及以上的学生人数（人）．（2）的人数占比为％，的人数占比为％，所以该校100名生学身高的75％分位数落在，设该校100名生学身高的75％分位数为，则％，解得，故该校100名生学身高的75％分位数为．（3）由题得①；②又同理，∴.练习10．若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________.【答案】【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.【详解】由题意可知，数据的平均数为，所以，则，所以数据、、、的平均数为，方差为，所以，将两组数据合并后，得到新数据，则其平均数为，方差为.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解平均数与方差的计算公式，并进行计算.③总体百分位数的估计例5．为了研究某产品的质量，现随机抽取个进行测试，得到如右图所示的频率分布直方图，则该样本质量的分位数为_______.

【答案】【分析】设该样本质量的分位数为，可知，根据百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】第一个矩形的面积为，前两个矩形的面积之和为，设该样本质量的分位数为，因为，则，由百分位数的定义可得，解得.故该样本质量的分位数为.故答案为：.例6．（多选）某市举行高中英语演讲比赛，已知12位评委对某位选手评分具体如下（满分10分）：7.0，7.5，7.8，7.8，8.2，8.3，8.5，8.7，9.1，9.2，9.9，10，则下列说法正确的是（

）A．中位数为8.3B．极差为3C．的分位数为9.15D．去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分【答案】BCD【分析】计算出12位评委对某位选手评分的中位数、极差、以及的分位数，判断A，B，C；根据平均数的计算可判断D.【详解】由题意可知中位数为，A错误；极差为，B正确；由于，故的分位数为，C正确；这位同学的平均分为，去掉最高分和最低分后的平均分为，即去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分，D正确；故选：BCD练习11．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（）A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数【答案】C【分析】根据百分位数的定义得到BD错误，C正确；A选项可举出反练习.【详解】因为为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确，BD错误；A选项不一定正确，比如第75和第76个数均为9.3，那么这100个数据中有76个数小于或等于9.3．故选：C练习12．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（

）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】C【分析】先求出，再结合百分位数的定义，即可求解．【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比大的概率为，则，为数据2，3，4，5，6，7，8，9的第6个数，为上述数据中的第百分位数，，则的取值可能为70．故选：C．练习13．随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（MadeinChina）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如右频率分布直方图．则频率分布直方图中质量指标值的第30百分位数是______．

【答案】66【分析】设这组数据的第30百分位数为，分析出在第二组段，列出方程，解出即可.【详解】设这组数据的第30百分位数为,则左侧矩形的面积和为0.3,由直方图可知第一组段频率为：，第二组段频率为，前两个组段频率和为，在第二组段,则之间矩形面积应为，即,解得这组数据的第30百分位数为66.故答案为：66.练习14．已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，16，20，22，则估计该组数据的总体的上四分位数为____．【答案】18【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】由题意，数据的总体的上四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个，所以，第六位数和第七位数为16，20，所以第上四分位数为.故答案为：18.练习15．为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（

）

A．频率分布直方图中的B．估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400C．估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55D．估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为【答案】D【分析】由频率之和为1可判断A；求出学生每天体育活动不少于一个小时的概率即可估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数可判断B；由众数的定义可判断C；有百分位数的定义可判断D.【详解】由频率之和为1得：，解得，故A正确；学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：，则估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为，故B正确；由频率分布直方图可估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55，故C正确；由，，故第25百分位数位于内，则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故D不正确.故选：D.题型二 古典概型例7．如图，我国古代珠算算具——算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨3颗珠（每档至少拨一珠，同一档不可拨两颗上珠），表示两位数，记所得的两位数为X，则_____________．

【答案】/【分析】列出随机试验的样本空间，利用古典概型概率公式求.【详解】由已知随机试验从个位档与十位档靠梁拨3颗珠，表示两位数，可得下列结果：，共8个结果，其中随机事件包含下列结果，，所以.故答案为：.例8．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数，事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（2）利用无放回的抽取求出基本事件总数，事件B包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（3）求出一次抽取2个球的基本事件总数，事件C包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】（1）记三个红球编号为1，2，3，两个白球分别为4，5，则在有放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果.如表1所示．表1第二次第一次1234512345第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行．

记“第一次摸到白球”，则．（2）在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示．表2第二次第一次123451×2×3×4×5×第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.

记“第二次摸到白球”，则．（3）“同时摸出两个球”的基本事件有，共10件，其中至少摸到一个白球的基本事件有，共7件，记“至少摸到一个白球”，则.练习16．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204978171935263321947468579682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．【答案】/0.3【分析】由所提供的模拟数据确定在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的结果数，根据古典概型概率公式求概率．【详解】由已知三次投篮恰有两次命中情形有：三组故可以估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率故答案为：练习17．城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁1号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线.已知1号地铁线的每辆列车有6节车厢，从5月1日起实行“夏季运行模式”，其中2节车厢开启强冷模式，2节车厢开启中冷模式，2节车厢开启弱冷模式.现在有甲、乙、丙3人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，丙没有限制，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙、丙3人中恰有2人在同一车厢的概率为________．【答案】【分析】分别求出甲乙丙、甲乙、甲丙、乙丙在同一车厢的概率，即可得解.【详解】因为甲乙丙在同一车厢的概率为，甲乙在同一车厢的概率为，甲丙在同一车厢的概率为，乙丙在同一车厢的概率为，则甲乙丙恰有人在同一车厢的概率为.故答案为：·练习18．把正整数集合排列成如图所示的三角阵，在第3列与第5列中各任取一个数，则取到的两个数之积是6的倍数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意利用列表法处理古典概型.【详解】由题意可得：第3列的数依次为，共5个；第5列的数依次为，共9个；若第3列与第5列中各任取一个数，如下表，共有种，若两个数之积是6的倍数，共有种，所以取到的两个数之积是6的倍数的概率.故选：C.1718192021222324255╳√╳╳╳╳╳√╳6√√√√√√√√√7╳√╳╳╳╳╳√╳8╳√╳╳√╳╳√╳9╳√╳√╳√╳√╳练习19．某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．

(1)请将频率分布直方图补充完整；(2)估计该校所有学生成绩的第60百分位数；(3)从成绩在，内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈会，求这2人来自不同分组的概率．【答案】(1)频率分布直方图见解析(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出成绩在的频率，进而补全频率分布直方图即可；（2）根据频率分布直方图先求出第60百分位数一定在内，然后再计算即可求解；（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在内的有3人，分别记为，，；成绩在内的有4人，分别记为，，，，用列举法写出从这7人中随机抽取2人开座谈会的所有基本事件，并得出这2人来自不同分组的基本事件，代入古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）成绩在的频率为．补充完整的频率分布直方图如下图所示：

（2）由频率分布直方图可知成绩小于80分的学生所占比练习为，成绩小于90分的学生所占比练习为，所以第60百分位数一定在内，因为，所以估计该校所有学生成绩的第60百分位数约为83.75分．（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在内的有3人，分别记为，，；成绩在内的有4人，分别记为，，，．则从这7人中随机抽取2人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种；记这2人来自不同分组为事件A，其基本事件有，，，，，，，，，，，，共12种，故这2人来自不同分组的概率为．练习20．已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得取值的样本空间，求出“方程有实数根且”对应的事件的概率，利用对立事件间的概率关系求解.【详解】由题意得，则取值的样本空间为，共25个样本点．关于的方程有实数根时，，得，“方程有实数根且”对应的事件为，含有3个样本点，所以所求的概率为．故选：C.题型三 概率的基本性质例9．某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（

）A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件【答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件的概念逐项分析可得答案.【详解】当击中环数大于0且小于6时，与同时发生了，不是互斥事件，更不是对立事件，故选项AB错误；与显然为互斥事件，当击中环数为时，与都不发生，故与不是对立事件，故选项C错误；选项D正确.故选：D例10．给出下列命题，其中说法正确的是（

）A．若A，B为两个随机事件，则B．若事件A，B，C两两互斥，则C．若A，B为互斥事件，则D．若，则【答案】C【分析】根据事件的关系和运算结合随机事件的概率性质，分别判断各个选项即可.【详解】对于A选项：当A，B为两个互斥事件时，才有，所以A选项错误；对于B选项：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B选项错误；对于C选项：当A，B为互斥事件时，，所以C选项正确；对于D选项：由概率的性质可知，若，则，所以D选项错误；故选：C.练习21．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是A．事件与互斥 B．事件与互斥C．任何两个事件均互斥 D．任何两个事件均不互斥【答案】B【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：与是互斥事件；与不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．练习22．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．y分人数x/分5432151310141075132109321b60a100113(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？【答案】(1)，，；(2)，3.【分析】（1）求出事件“x=4”、“x=4且y=3”的人数，再用古典概率求解，求出“x=3”、“x=5”的概率，利用互斥事件概率公式计算作答.（2）利用对立事件的概率公式求出事件“x=2”的概率，进而求出a+b的值.【详解】（1）由数表知，x=4的事件有14人，其概率为：，x=4且y=3的事件有7人，其概率为：且，x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它们互斥，而，，因此，.（2）x=1的事件概率为，x=2的事件的对立事件是x=1的事件与x≥3的事件的和，它们互斥事件，则有，而，即有，解得，所以x=2的概率是，a＋b的值是3.练习23．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答.【详解】依题意，，，而，A不正确；，，B不正确；事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和，事件是必然事件，因此，C正确；因，，则，即D不正确.故选：C练习24．某游戏的得分为，小明玩该游戏得分为的概率为，若，则小明得5分的概率至少为______.【答案】/【分析】根据所有的概率之和等于1可得：，与题干条件中的式子结合得到，利用不等式的性质即可求解.【详解】因为，所以，又因为，两式相减可得：，所以（当且仅当，时取等），所以小明得5分的概率至少为，故答案为：.练习25．下列说法正确的是（

）A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小C．若，则事件A与B是对立事件D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大【答案】A【分析】根据概率加法公式判断A，根据概率的性质判断B，对立事件的概率性质判断C，【详解】根据概率的性质可知，当A，B不互斥时，，故A中说法正确.对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故B中说法错误.在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故C错误；故C中说法错误.当事件与事件互斥时，则事件，中至少有一个发生的概率与，中恰有一个发生的概率相等，故D错误；故选：A.题型四 相互独立事件①相互独立事件的判断例11．（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（

）A． B．B，D为对立事件C．A，C为互斥事件 D．A，D相互独立【答案】ABC【分析】根据题意，写出各事件包含的基本事件，再根据对立事件，互斥事件，相互独立事件的概念讨论求解即可.【详解】根据题意，用数对表示抛掷两枚质地均匀的骰子的结果，共包含36个基本事件.事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，由于事件中的元素均在事件中，则，故A正确；事件与事件互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，故B正确；事件与事件是不可能同时发生，故A，C为互斥事件，故C正确；由题知，，事件包含的基本事件有，，显然，故D错误.故选：ABC.例12．（多选）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥B．事件发生的概率为C．事件与事件相互独立D．事件发生的概率为1【答案】BC【分析】根据古典概型的概率公式判断B，利用特例说明A，计算、、，即可判断C，根据判断D.【详解】由题意可得，故B正确；当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故A错误；事件与事件同时发生的情况有共4种，所以，又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确；，故D错误.故选：BC.练习26．（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（

）A．与互斥 B．与互斥 C．与独立 D．与独立【答案】BC【分析】对于A，结合互斥事件的概念举反练习排除即可；对于B，列举出事件所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；对于CD，利用古典概型求出事件的概率，结合独立事件的概率公式判断即可.【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误；对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确；对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，由选项B知，而事件包含的基本事件有共2件，故，所以，故与独立，故C正确；对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知，而事件包含的基本事件有共3件，故，所以，故与不独立，故D错误.故选：BC.练习27．（多选）设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（

）A．若A，B是互斥事件，，则B．若A，B是对立事件，则C．若A，B是独立事件，，则D．若，且，则A，B是独立事件【答案】BC【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误；对于B：若，是对立事件，则，故B正确；对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；对于D：若，则且，则，不是独立事件，故，也不是独立事件，故D错误；故选：BC练习28．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是________．①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；

②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立；③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；

④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．【答案】②③④【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②；若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间判断③④作答.【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)，(男,女),(女,男)(男,男),(男,女),(女,男)，(男,女),(女,男)，则M与N不互斥，①错误；，，，则，所以M与N不相互独立，②正确；若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)，(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)，(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，则M与N不互斥，③正确；，，，于是，所以M与N相互独立，④正确．所以说法正确的是②③④.故答案为：②③④练习29．已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】举特练习验证即可.【详解】解析：一方面，考虑含有等可能的样本点，.则，故两两独立，但，故此时，不成立.另一方面，考虑含有等可能的样本点，.则，故不独立，也即两两独立不成立.综上，“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.练习30．已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用表示第一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．(1)写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率；(2)判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由．【答案】(1)样本空间见解析；(2)相互独立；理由见解析【分析】（1）根据题意，求得不放回地摸出2个球的总数，再利用列举法求得恰有一次摸到红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意，利用列举法，结合古典摡型的概率公式，分别求得事件和事件的概率，由，得到事件与事件相互独立.【详解】（1）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，其中恰有一次摸到红球所包含的基本事件的空间为，共有16种情况，所以事件的概率为.（2）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，其中至少有一次摸到红球，有，共有28种情况，所以，第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号，有，共有15种情况，所以,又由事件中所包含的基本事件空间为，共有14种情况，可得，所以，所以事件与事件相互独立.②相互独立事件的概率例13．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件.小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购.假设该企业这批产品中，每包产品含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%，则小张决定采购该企业产品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分别求得在含1个二等品零件的产品中和含2个二等品零件的产品中，随机抽取4个零件的概率，结合互斥事件的概率计算公式，即可求解.【详解】根据题意，该切于这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，在含1个二等品零件的产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率为，在含2个二等品零件的产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率为，则小张决定采购该企业产品的概率为.故选：B.例14．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求；(2)求事件