第一节绝对值不等式

第一节绝对值不等式演示文稿第一页，共47页。（优选）第一节绝对值不等式第二页，共47页。知识点考纲下载考情上线不等式证明通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.考查简单不等式的证明，多用比较法、综合法、分析法.第三页，共47页。第四页，共47页。第五页，共47页。一、绝对值三角不等式1.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

，当且仅

当

时，等号成立.|a|＋|b|ab≥0第六页，共47页。(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？(2)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：(1)当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.第七页，共47页。

2.定理2：如果a，b，c是实数，则

|a－c|≤

，当且仅当

时，

等号成立.(a－b)(b－c)≥0第八页，共47页。二、绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a∅∅|x|>ax>a或x<－ax≠0R第九页，共47页。2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔

.(2)|ax＋b|≥c⇔

.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c第十页，共47页。3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式

的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形

结合的思想.

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函

数与方程的思想.第十一页，共47页。1．解不等式|x＋log2x|<|x|＋|log2x|.解：原不等式成立只需x·log2x<0，即∴解集为{x|0<x<1}．第十二页，共47页。2．解不等式2x＋2|x|≥2解：当x≥0时，有2x＋2x≥∴x≥当x<0时，有2x＋2－x≥2，即(2x)2－2·2x＋1≥0.解得2x≤－1，或2x≥＋1(∵x<0，故舍)，∴x≤log2(－1)．∴原不等式解为第十三页，共47页。3．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范围；(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围．第十四页，共47页。解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈∅.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.第十五页，共47页。3．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范围；

(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围．

解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈∅.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.第十六页，共47页。4．已知a∈R，解关于x的不等式|x|>第十七页，共47页。解：原不等式等价于x>或x<即∵x2－ax＋6a2>0恒成立，∴原不等式等价于x－a>0或(x－a)(x＋2a)(x－3a)<0当a≥0时，原不等式的解集为：{x|x>a，或x<－2a}当a<0时，原不等式的解集为：{x|x>a，或x<3a}．第十八页，共47页。第十九页，共47页。1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常

用于证明含绝对值的不等式．3．对于y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值求

法利用该不等式更简洁、方便．第二十页，共47页。“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的____________________(填充分不必要条件，或必要不充分条件，或充要条件)．第二十一页，共47页。利用绝对值三角不等式，推证与|x-y|<2m的关系即得答案.第二十二页，共47页。解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋m＝2m，∴|x－a|<m，且|y－a|<m是|x－y|<2m的充分条件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|<m＝2.5，故|x－a|<m且|y－a|<m不是|x－y|<2m的必要条件．答案：充分不必要条件第二十三页，共47页。1．设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<1，求证：

|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

第二十四页，共47页。证明：∵f(x)＝x2－x＋1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|，∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．第二十五页，共47页。绝对值不等式的常见类型及其解法1形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即(1)当a>0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.(2)当a＝0时，|f(x)|<a无解．

|f(x)|>a⇔f(x)≠0.(3)当a<0时，|f(x)|<a无解．

|f(x)|>a⇔f(x)有意义．第二十六页，共47页。2含有两个绝对值的不等式的解法(1)零点分段法零点分段法解绝对值不等式的步骤：a.求零点；b.划分区

间、去绝对值号；c.分别解去掉绝对值的不等式；d.取每

个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做

到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了

与前提条件求交集．第二十七页，共47页。(2)利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点x到两个定点a1、a2的距离之和(差)．第二十八页，共47页。解下列不等式(1)|2x＋5|>7＋x；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.

第二十九页，共47页。

(1)利用公式法转化(2)采用零点分段讨论法，也可用绝对值的几何意义去解．

第三十页，共47页。解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得解得x>2或x<－4.∴原不等式的解集是{x|x<－4或x>2}．第三十一页，共47页。（2）法一：分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.当x<－2时，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x<5，因为3<5恒成立，则－2≤x≤1；当x>1时，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．第三十二页，共47页。法二：不等式|x－1|＋|x＋2|<5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x|－3<x<2}．第三十三页，共47页。2．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，求实数

a的取值范围．第三十四页，共47页。解：法一：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.y1、y2的图象如图所示：由图可知，当a＜3时，|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅.第三十五页，共47页。法二：|x+2|+|x-1|表示数轴上的点A(x)到B(-2)和C(1)两点的距离之和，而|BC|=3，所以A到B、C两点的距离之和的最小值为3.若|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅，只需a＜3即可．所以a的取值范围是a＜3.第三十六页，共47页。绝对值不等式的证明主要有两类：一是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值转化证明，有时需要适当的添、拆项．二是综合性较强的函数型绝对值不等式问题，多用放缩法，涉及二次型的也可考虑最值或根的分布问题．第三十七页，共47页。设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：利用绝对值不等式放缩证明.第三十八页，共47页。证明：∵|x|>m≥|a|，故原不等式成立．第三十九页，共47页。3．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－

1,1]，且|f(x)|的最大值为M.(1)试证明|1＋b|≤M；

(2)试证明第四十页，共47页。第四