湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（原卷版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，满足，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则4．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．5．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．当前我国青少年因脊柱健康患病的人数已经超过了500万，并且还在以每年30万的速度增长．已知某地小学、初中、高中三个学段的学生人数如图所示，为了解该地区学生的脊柱健康状况，现采用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生人数分别为（

）A．200，40 B．100，40 C．200，20 D．100，207．已知点在点的正西方向，为了测量A, B两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（

）A．米 B．米C．米 D．米8．在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（

）A．9 B．6 C．7 D．8二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为10．如图，两个边长均为的正方形与正方形所在的平面相交，其二面角的平面角为．点分别是对角线上的动点，记，点是线段上的一动点．下列结论一定正确的是（

）A．平面B．三棱锥的体积存在最大值C．的最小值是D．若点在同一球的球面上，则该球的体积是11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．存在点，使得平面B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形C．异面直线与所成的角的大小为D．若平面，则点的轨迹的长度为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．13．已知复数，则______.14．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知直线．(1)求直线所过定点；(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．16．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；(2)用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．17．如图，在四棱锥中，平面，，，，M是的中点，N是上的一点．(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离；(3)若异面直线和所成角的余弦值为，求二面角的正弦值．18．已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心．(1)当时，求；(2)对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）；(3)若，求的最大值．19．如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一