湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DADBCADCACABD题号11答案ABD1．D【分析】根据求导公式逐个判断各个选项即可．【详解】解：A．，故正确，不符合题意；B．，故正确，不符合题意；C．，故正确，不符合题意；D．，故选项错误，符合题意；．故选：D．2．A【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，所以y与x负相关，所以A正确，D错误；当时，，所以约为，所以B，C错误.3．D【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立，对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立，可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.4．B【分析】根据题意利用作差法判断A；利用作差法、基本不等式及指数函数的性质判断B；利用作差法、及二次函数的性质判断C；利用作差法、基本不等式及对数函数的性质判断D..【详解】对于A，对，且，则，所以，不满足题意，故A错误；对于B，对，且，则，所以，满足题意，故B正确；对于C，对，且，则，所以，不满足题意，故C错误；对于D，对，且，，由基本不等式可得，所以，即，所以，不满足题意，故D错误.5．C【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意，不妨设双曲线，，，，，，则对于，其半焦距为，实半轴为，则；对于，其半焦距为，实半轴为，则，所以，又，所以，所以，所以.6．A【分析】建立平面直角坐标系，设出，，，得到，结合，即可求得其最小值.【详解】不妨以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，则，因，故当时，取得最小值为，由于，故当时，取得最小值为，此时，符合题意，故的最小值为.7．D【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解.【详解】设2名男医生分别为甲、乙，若乙去，则甲可能去或，有2种结果；若乙去，则甲可能去或，有2种结果；若乙去，则甲可能去或，有2种结果，共有6种结果；将4名女医生分配到，，三个地方，分为211三组，可能的结果有种，所以满足题意的有种结果.故选：D8．C【分析】根据已知条件和的性质，结合换底公式以及指数、对数函数的性质，找到相应参照基准，比较大小，最终得出.【详解】，，又，.根据换底公式：，已知，，由于底数，且真数，底数越大，对数值越小,因此，所以.综上，，即.故选：C.9．AC【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D．【详解】对于A：值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误；对于B，决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确；对于C，若，则，，，所以，，故C错误；对于D，随机变量，若，则，故D正确；故选：AC．10．ABD【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.【详解】对于A：∵，，.∴，.当且仅当，即，，取“”，∴A正确；对于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正确；对于C：.∴，∴C错误；对于D：，当且仅当，即，取“”，∴D正确.故选：ABD.11．ABD【分析】对A，对求导，利用极值点的求法，直接求出极值点，即可求解；对B，令，根据条件可得，构造函数，，将问题转化成求两函数图象交点，对求导，求出其单调区间和极值，进而得其图象，数形结合，即可求解；对C，根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，即可求解；对D，根据条件得恒成立，从而得到关于的方程组，即可求解.【详解】对于A，当时，，则，令，得到或，当或时，，当，，所以是的极大值点，是的极小值点，故A正确，对于B，令，得到，显然不满足方程，所以，令，，则，令，得到，由，得以，且，由，得或，即的增区间为，减区间为，又，当时，，当（从左侧）时，，当（从右侧）时，，当时，，图象如图，由图知，当或时，与有三个交点，即有三个零点，所以B正确，对于C，因为，由题知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，易知在区间上单调递减，所以，即，故C错误，对于D，因为，所以，整理得到，所以，解得，故D正确，故选：ABD.12．2或7【分析】根据组合数的性质来求解的值.【详解】由组合数的性质，则有或，解得或.故答案为：2或7.13．【分析】由线面角的定义得出，从而得出，再由导数求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线与底面所成的角为，易知.圆锥的体积为令，则，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，即，此时.故答案为：；14．【分析】利用导数判断函数在为增函数，计算求得，从而得到，由基本不等式即可求得答案.【详解】因为的定义域为，，所以在为增函数，，所以，又，在为增函数，所以，即，因为，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：15．(1)(2)；残差为【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值；（2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差.【详解】（1）由表可得：，，因为，可得，又因为，可得，所以.（2）由表可知：，由（1）可知回归直线方程为，且，则，解得，此时，，可得，符合题意，所以，对于回归直线方程，令，可得，所以5月销售量的残差.16．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）根据给定条件，列式求出，再结合通项公式及前n项和公式验证判断.（2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）数列中，，由，得，则，解得或，当时，，，，而，显然不恒成立，因此，当时，，，，符合题意，所以.（2）（ⅰ）由，得，两式相减得，则，当时，，而，，则，即，，所以数列为等比数列.（ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则，，两式相减得，当时，，于是，，则；当时，，于是，，则，则，所以.17．(1)证明见解析；(2)直线与平面所成角的正弦值为；(3)平面与平面夹角的余弦值为.【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明平面；(2)求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，与交于点，的中点为，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，即，又，平面，所以平面；（2）由(1)，，所以，，，设平面的法向量为，则，，所以，，取，可得，所以向量为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；（3）由(1)，，，设平面的法向量为，则，，所以，，取，则，所以为平面的一个法向量，又向量为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)；(2)①；②分布列见解析【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列即可.【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：，所以，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人，获二等奖的有人，获三等奖的有人，共有30人获奖，70人没有获奖，从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为.（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，，则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，①因为，，所以，故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为．②由，得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，所以，，，，所以随机变量的分布列为：012319．(1)(2)存在；(3)【分析】（1）由导数小于零恒成立结合二次函数的性质可得；（2）由偶函数的性质比较系数可得；（3）换元令，求导后转化为在有且仅有一