初高中数学暑假衔接材料：第二章 等式与不等式（暑假单元自测）（原卷版及解析）

11/11第二章等式与不等式单元自测卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题是假命题的为（

）A．若，，则B．若且，则C．若，则D．若，则2．已知，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．与有关3．不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．55．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（

）A．2km B．3km C．4km D．5km7．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C．或 D．或8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．10．下列结论正确的是（）.A．当时，B．当时，的最大值是C．当时，的最小值是D．当时，的最大值是11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（

）A．不等式的解集为B．若恒成立，则实数C．不等式的解集为D．若不等式的解集为，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．不等式的解集为________.13．甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________．14．已知，则的最小值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知，(1)求的取值范围；(2)比较两个代数式的大小：与．16．（15分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？(3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值．17．（15分）解答下列各题.(1)若，求的最小值；(2)若正数满足，求的最小值；(3)解关于的不等式:．18．（17分）已知关于x不等式．(1)若时，求不等式的解集；(2)若，解这个关于的不等式；(3)，恒成立，求实数a的取值范围19．（17分）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：(1)若，，求的最小值；(2)若，求的最大值；(3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明.

第二章等式与不等式单元自测卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题是假命题的为（

）A．若，，则B．若且，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】对于A：由，所以，故A正确；对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确；对于C：当时，，故C错误；对于D：由，所以，所以，故D正确.2．已知，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．与有关【答案】A【解析】，故3．不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意：，则，化简得：等价于，解得：所以不等式的解集为.4．的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】因为，所以.所以，当且仅当，即时，等号成立.5．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，原不等式化为，显然恒成立；当时，不等式对一切恒成立，则有且，即，解得，综上可得，.6．某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（

）A．2km B．3km C．4km D．5km【答案】C【解析】由题意设，仓库到车站的距离x＞0，当x＝2，，由于，即，所以两项费用之和为，当且仅当，即x＝4时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km.7．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由的解集为，得和是方程的两个实数根，所以，所以等价于，即，其充要条件为或.所以和均是的既不充分也不必要条件；或是的必要不充分条件；或是的一个充分不必要条件.8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】∵当，即，不等式解集为或，存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；当，即，不等式解集为，存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；当，即，当时，，不等式解集为，∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去；当时，，即，不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去；当时，，不等式解集为，∴原不等式的个整数解为：，∴，则；综上所述：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根，即解得.ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足.10．下列结论正确的是（）.A．当时，B．当时，的最大值是C．当时，的最小值是D．当时，的最大值是【答案】ABD【解析】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故A正确；当时，，当，即时，等号成立，故B正确；当时，，当，即时，等号成立，故C错误；当时，，当，即时，等号成立，故D正确.11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（

）A．不等式的解集为B．若恒成立，则实数C．不等式的解集为D．若不等式的解集为，则【答案】ACD【解析】满足不等式的整数为，对应，对应，对应，满足不等式的区间为，故A正确；当时，的取值为，令，不等式对恒成立，时：；时：；时：；时：；综上可得，，故B错误；，解得，是整数，故无满足条件的整数解，解集为，故C正确；不等式的解集为，则，令，不等式化为，当时，，，则，，当时，需满足，解得，综上可得，故D正确故选：ACD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．不等式的解集为________.【答案】【解析】原不等式即为即，故解集为.13．甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________．【答案】【解析】，甲写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，乙写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，解得，因此关于的一元二次不等式为，即，解得，所以原不等式的解集为.14．已知，则的最小值为_____．【答案】【解析】，则，当且仅当时，即时取等号，即的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知，(1)求的取值范围；(2)比较两个代数式的大小：与．【解析】（1），，，；（2），．16．（15分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？(3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值．【解析】（1）由题意得，，所用篱笆总长为．因为，当且仅当时，即，时等号成立．所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小．（2）由题意得，，菜园面积为．因为，当且仅当时，即，时等号成立．所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大．（3）由题意得，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．17．（15分）解答下列各题.(1)若，求的最小值；(2)若正数满足，求的最小值；(3)解关于的不等式:．【解析】（1）因为，由题.当且仅当，即时取等号；所以的最小值为7.（2）由结合基本不等式可得：，又为正数，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.（3）由，可得，令，解得或，当时，有，的解集为两根之间，即；当时，原不等式变为，无解；当时，有，的解集为两根之间：.综上：当时，解集为；当时，无解；当时，解集为18．（17分）已知关于x不等式．(1)若时，求不等式的解集；(2)若，解这个关于的不等式；(3)，恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）当时，则，即，因式分解可得：，所以，则不等式的解集为.（2）当时，则为，即，当时，则，因式分解可得：，当时，有，则此时不等式解集为，当时，等价于，若，即时，不等式解集为，若，即时，不等式解集为，若，即时，不等式解集为空集，综上所述，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（3）因为，所以，因为，则，则题目等价于，，令，因为，所以，则，由基本不等式，当且仅当时取等号，因