初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第7讲一元二次方程的解集及根与系数的关系（原卷版及解析）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第7讲一元二次方程的解集及根与系数的关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一元二次方程根与系数的关系韦达定理1.懂得恒等式的概念，并会求解恒等式中的未知系数。2.理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力。3.会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程,发展数学运算素养。学习重点：理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力。学习难点：会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程，发展数学运算素养。一元二次方程是高中数学中一个很常见的类型，考察知识内容相对比较灵活，但无外乎也就那么几种类型，在此基础上推陈出新，我们要能够从一元二次方程的解法基础上学会归纳和分析，学会分析问题，自主性学习。若一元二次方程的两根为、，则满足，在方程转化为不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01一元二次方程1、数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如与，对于任一组实数，都有，所以与是恒等的。2、一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根。(1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值；(2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；（3）当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。【经典例题】【例1】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准.【例2】（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程

）A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根【技巧归纳】根据已知条件及判别式即可求解.【对点练习】【练习1】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校联考数学试题）已知x∈R，记符号x表示不大于x的最大整数，集合A=B=−1，3，则【练习2】设a、b、c均为奇数，求证：方程ax【练习3】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校联考数学试题）设关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0−∞，2]∪[3，+∞与∅，则不等式知识点02根与系数的关系.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形变形一变形二变形三变形四【经典例题】【例3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为．【易错提醒】利用韦达定理可求得所求代数式的值..【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数.【易错提醒】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解.【例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式.【易错提醒】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值.【例6】（23-24高一上·上海青浦·月考）已知，是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(2)若的值为整数，求整数的值．【易错提醒】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可；（2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解.【对点练习】【练习4】（21-22高一上·上海嘉定·期中）设是方程的两个实数根，则【练习5】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．(1)均为正根，求实数m的取值范围；(2)若满足：，求实数m的值．1．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则.2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则．3．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则.4．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为5．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数．6.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为.7.（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（

）A．方程的两个实数根满足B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根C．已知方程的两个实数根，则D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则8.已知不等式的解集是．求不等式的解集．9．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校联考数学试题）已知x1，x（1）若x1，x2均为正根，求实数k的取值范围；（2）求使10.（24-25高一上·上海·月考）已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求实数的取值范围；(2)取，设一元二次方程两个根为，求，．11．已知，是一元二次方程的两个实数根.(1)求的值；（用表示）(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；(3)求使的值为整数的实数的整数值.12．（21-22高一上·上海徐汇·月考）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为．(1)若，求与的关系式；(2)若均为负整数，且，求的解析式；(3)若，求证：．13．（21-22高一上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个实根为，；(1)若，，求的值；(2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2；(3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围.14．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知、是关于的一元二次方程的两个实根.(1)若，求实数的值；(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；(3)若，求整数的值.

暑假预习专题第7讲一元二次方程的解集及根与系数的关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一元二次方程根与系数的关系韦达定理1.懂得恒等式的概念，并会求解恒等式中的未知系数。2.理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力。3.会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程,发展数学运算素养。学习重点：理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升推理论证能力。学习难点：会运用韦达定理，求解多项式的值，在已知根的情况下,会构造相应的一元二次方程，发展数学运算素养。一元二次方程是高中数学中一个很常见的类型，考察知识内容相对比较灵活，但无外乎也就那么几种类型，在此基础上推陈出新，我们要能够从一元二次方程的解法基础上学会归纳和分析，学会分析问题，自主性学习。若一元二次方程的两根为、，则满足，在方程转化为不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）。知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01一元二次方程1、数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如与，对于任一组实数，都有，所以与是恒等的。2、一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根。(1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值；(2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；（3）当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。【经典例题】【例1】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为【答案】【详解】由得：①当时，，此时方程有两相等的实数根，则，解得；②当时，，即，则，解得，此时,,方程无实数根，故不合题意，舍去，综上，k的值为；故答案为：.【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准.【例2】（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程

）A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根【答案】C【详解】由，得，且，所以，所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等；故选：C.【技巧归纳】根据已知条件及判别式即可求解.【对点练习】【练习1】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校联考数学试题）已知x∈R，记符号x表示不大于x的最大整数，集合A=B=−1，3，则【答案】−1，0∪3【详解】由x2−2x又因为x表示不大于x的最大整数，所以由x=3得3≤x<4，由x=−1得所以A=−1，0∪3，【练习2】设a、b、c均为奇数，求证：方程ax【答案】证明见解析【分析】利用反证法，假设方程有整数根x=x0，则ax02+bx【详解】证明：假设方程有整数根x=x0，x0∈Z，则①若x0为偶数，则ax02与bx②若x0为奇数，则ax02与bx综上所述，方程ax【练习3】（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校联考数学试题）设关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0−∞，2]∪[3，+∞与∅，则不等式【答案】2，3【详解】由不等式ax可得2，3是ax2+bx+c=0的解，且可得dx2+ex+f>0恒成立，则不等式a解得2≤x≤3，所以不等式的解集为2，3；故答案为：知识点02根与系数的关系.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形变形一变形二变形三变形四【经典例题】【例3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为．【答案】【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，，因此，；故答案为：.【易错提醒】利用韦达定理可求得所求代数式的值..【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数.【答案】1【详解】由韦达定理，得，有，得，又，所以，即，所以，解得；故答案为：1.【易错提醒】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解.【例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式.【答案】或.【详解】解：当时，为方程的两个不等实根，可得，所以，当时，则；故答案为：或.【易错提醒】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值.【例6】（23-24高一上·上海青浦·月考）已知，是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(2)若的值为整数，求整数的值．【答案】(1)不存在，理由见解析；(2)或或.【详解】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根，所以且，解得，且，，若，则，即，解得（舍去），即不存在实数，使成立；（2）由题意，又当，即时，且，，故，由于为整数且为整数，故只能取、、，又，则或或，解得或或，故整数的值为或或.【易错提醒】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可；（2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解.【对点练习】【练习4】（21-22高一上·上海嘉定·期中）设是方程的两个实数根，则【答案】【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解.【详解】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得，所以，故，故答案为：.【练习5】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．(1)均为正根，求实数m的取值范围；(2)若满足：，求实数m的值．【答案】(1)；(2).【分析】结合韦达定理列出式子，即可求.【详解】（1）由均为正根，得，解得，即；（2）由（1）得，解得（舍去）或，则1．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则.【答案】【分析】根据韦达定理即可求解.【详解】由题意，，且，即，因为，则，解得，即，所以；故答案为：30.2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则．【答案】3【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解【详解】因为方程的两个根为，，所以，则；故答案为：33．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则.【答案】3【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，解出验证即可.【详解】因为是关于的方程的两实根，所以由根与系数的关系得，因为是关于的方程的两实根，所以，即，，所以，解得，经验证可得，所以，所以；故答案为：3.4．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为【答案】/【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果.【详解】因为的两根为，所以，所以，解得，符合条件，故答案为：.5．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数．【答案】【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可.【详解】由根与系数的关系知，，所以，解得，故答案为：6.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为.【答案】3【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可.【详解】因为方程的两个根为、，由韦达定理得，，，所以；故答案为：3.7.（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（

）A．方程的两个实数根满足B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根C．已知方程的两个实数根，则D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则【答案】D【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D.【详解】A：由中，即方程无实根，错；B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错；C：由，显然，错；D：由题设中，对；故选：D.8.已知不等式的解集是．求不等式的解集．【答案】【解析】由题可判断出，是方程的两根，∴，．又的解集是，说明．而，，∴．∴，即，即．又，∴，∴的解集为．9．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校联考数学试题）已知x1，x（1）若x1，x2均为正根，求实数k的取值范围；（2）求使【答案】（1）k<−1；（2）−2，【详解】（1）由题意，一元二次方程有两个正根x1,x2，故且x1+x（2）由题意，x1x2+x且x1+x2=1,故k+1只能取±1,±2,±4，又k<0，故整数k的值为−2，10.（24-25高一上·上海·月考）已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求实数的取值范围；(2)取，设一元二次方程两个根为，求，．【答案】(1)；(2)2，.【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可；（2）根据韦达定理，代值计算即可.【详解】（1）由题意可得：解得：且，所以实数的取值范围是（2）当，可得，所以，所以，.11．已知，是一元二次方程的两个实数根.(1)求的值；（用表示）(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；(3)求使的值为整数的实数的整数值.【答案】(1)；(2)不存在，理由见详解；(3).【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得；（2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断；（3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得.【详解】（1）因为一元二次方程，所以，解得，由韦达定理可得，当时，，无意义；当时，，综上，的值为；（2）由韦达定理可知：，令，整理得，，由（1）可知，所以不存在实数，使成立；（3），因为为整数，所以必为整数，所以，即，又，所以，因为为整数，所以，经检验时，为整数，所以使的值为整数的实数的整数值为.12．（21-22高一上·上海徐汇·月考）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为．(1)若，求与的关系式；(2)若均为负整数，且，求的解析式；(3)若，求证：．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解；（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；（3）由韦达定理可得，结合即可证明.【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，所以．由得，即，所以，即；（2）由（1）得，因为均为负整数，所以或或，显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，．故所求函数解析