小学数学四年级奥数盈亏问题精讲（教案）

小学数学四年级奥数盈亏问题精讲（教案）

一、教学背景分析

（一）教材分析

本课选自人教版小学数学四年级下册奥数专题第十八讲，属于“数与代数”领域内“解决问题”模块的拓展与深化内容。盈亏问题作为古代数学经典模型之一，最早记载于《九章算术》的“盈不足章”，其核心是通过两次分配的数量差异反求总量与份数。教材编排在此阶段，是基于学生已经掌握了整数四则混合运算、等量关系初步以及简单的方程思想，旨在将实际分配情境转化为数学模型，培养学生的代数思维雏形与逻辑推理能力。本讲内容既是对三年级“搭配问题”的承接，又为五年级“列方程解决问题”打下基础，在整个小学应用题体系中处于承上启下的关键节点。

（二）学情分析

四年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的黄金期。他们能够理解“平均分”的实际意义，具备列综合算式的能力，但对“盈”与“亏”的同时存在容易混淆，尤其是当两次分配结果均为盈或均为亏时，公式中的符号处理往往成为认知障碍。此外，学生在面对复杂数量关系时，习惯使用算术方法进行尝试调整，尚未自觉建立“设未知量”的方程意识。因此，教学应当以直观模型为支架，以对比辨析为手段，以建模思想为主线，帮助学生从“算对答案”走向“理清结构”。

（三）课标要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段“数量关系”主题中明确提出：能解决生活中的简单实际问题，感悟常见数量关系的意义，并能用算式或方程表达；初步体会模型意识，能对同一个问题运用不同策略进行分析。本讲设计严格对标上述要求，将盈亏问题作为培育模型意识和应用意识的重要载体，强调在真实情境中发现问题、提炼关系、建立公式、迁移应用的全过程。

（四）教学理念

基于“学为中心”与“大单元教学”的课程改革理念，本设计打破传统奥数专题“套公式、刷题海”的单一模式，采用“问题驱动—建模悟理—变式进阶—跨域融通”的四阶递进路径。整节课以“我是学校农场规划师”为项目式学习主线，将盈亏问题嵌入作物分配、物资调度等真实任务中，引导学生经历数学化的完整历程，实现知识习得、思维发展与价值体认的三维统一。

二、教学目标与核心素养

（一）知识与技能

1.理解“盈”“亏”“尽”的含义，能准确判断分配结果中的数量差异；【重要】【基础】

2.掌握盈亏问题的基本数量关系：份数=（盈＋亏）÷两次分配每份数量差，并能推导出两盈、两亏、一盈一尽等变式公式；【非常重要】【高频考点】

3.能借助线段图、假设法或简易方程解决三个以内条件的盈亏应用题，正确率为90%以上。

（二）过程与方法

4.通过画图、列表、模拟分配等方式，经历从具体情境抽象出数学模型的过程，感悟数形结合与化归思想；【热点】

5.在小组合作中辨析不同题型之间的异同，发展比较、概括与系统化思维能力；

6.体验从算术解法到代数解法的自然过渡，初步建立“设每份数为未知数”的方程意识。

（三）情感态度与价值观

7.感受中国古代数学文化的源远流长，增强民族自豪感；

8.在解决分配不均衡问题的过程中树立公平意识与合作精神；

9.通过项目式活动体会数学在资源规划中的实用价值，激发持续探究的内驱力。

（四）核心素养聚焦

本课重点发展的数学核心素养包括：模型意识（将分配问题抽象为数学关系）、运算能力（合理选择算法并准确计算）、推理意识（基于条件进行逻辑推导）、应用意识（用盈亏模型解释生活现象）。

三、教学重难点

（一）教学重点

掌握基本盈亏问题的结构特征与解题公式，能正确区分“盈”和“亏”在算式中的符号属性。【非常重要】【高频考点】

（二）教学难点

1.理解两次分配总数变化与份数不变之间的内在逻辑；【难点】

2.对两盈、两亏及条件复杂化（如不足与剩余同时存在、分配对象隐含等）的变式问题进行正确建模；【难点】【热点】

3.从算术思维向方程思维的跨越。

四、教学方法与准备

（一）教法

采用“支架式问题链”驱动教学，以核心问题串联环节；运用几何画板动态演示分配过程，突破抽象理解瓶颈；引入“无领导小组讨论”组织题型归类活动，将隐性思维显性化。

（二）学法

倡导“手脑并用”——学生需准备小棒、圆片等学具进行模拟分物；同时使用“双色批注法”在练习纸上标记已知条件和所求量，养成审题留痕的习惯。

（三）教学准备

教师：PPT课件（含古题引入、动态线段图、分层题库）；几何画板源文件；实物投影仪；评价量规表。

学生：20根小棒（或计数器）；红蓝双色笔；学习任务单（含预学单、共学单、延学单）。

五、教学实施过程

（一）导入环节：古题新读，唤醒经验（约7分钟）

1.情境创设

教师通过多媒体呈现《九章算术》原文：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”并辅以白话解说。引导学生用已有的平均分经验尝试解决。学生初次接触可能会用尝试法，如假设人数是5、6等，教师不必立即纠偏，而是将多种猜想记录于黑板一侧。【重要】

2.聚焦矛盾

提问：“为什么同样一批人，出钱多反而多出钱，出钱少反而不够？多出来的3元和缺少的4元之间有什么联系？”学生通过小组交流初步感知到“盈+亏”就是两次分配总额的差。此时教师揭示课题——这就是我国古代数学家早已研究过的“盈亏问题”。

3.揭示目标

出示本节课的核心任务：成为“学校农场物资调配师”，利用盈亏智慧解决种植小组的工具分配、肥料发放等问题。将抽象的数学名词与真实的角色身份绑定，激发学习动机。

（二）新授环节：模型建构，策略进阶（约25分钟）

1.概念建模——从动作到符号【非常重要】【基础】

（1）具身活动：每小组领取20根小棒，模拟“把一批树苗分给植树小组”。教师口述第一情境：“如果每组发5棵，则多出3棵；如果每组发6棵，则缺少2棵。有几个小组？共有多少棵树苗？”

学生动手分小棒：先按5根一份分，余3根；收齐小棒，再按6根一份分，发现缺2根。

（2）关键追问：“第二次为什么缺了？缺的2根从哪里来？”引导学生发现：第二次每组多分1根，为了达到这个目标，不仅要把第一次多出来的3根分掉，还需要再补2根。因此，两次分配所需总树苗的差是3+2=5（根），而每组多分1根，从而小组数=5÷1=5（组）。

（3）符号抽象：板书结构化关系

两次全部分配总数差=盈+亏

每份数量差=第二次每份数－第一次每份数

份数=（盈+亏）÷每份数量差

总量=份数×每份数±盈（亏）

教师强调：这里的盈和亏都是具体数量，不带正负号，公式中用加法统一处理。【高频考点】

2.策略建构——一题多解与优化

（1）列表法：引导学生将假设的组数填入表格，计算对应的树苗总数，寻找两次计算结果一致的行。通过枚举感受函数对应思想，但体会到数据较大时繁琐。【一般】

（2）线段图法：教师用几何画板演示两条线段分别代表第一次和第二次的分配总量，通过重叠比较，清晰显示“盈段”与“亏段”合并即为总差额。学生尝试在任务单上画出简易线段图。

（3）公式法：在学生充分理解意义后，抽象出上述公式，并命名为“盈亏基本模型”。

（4）方程法（渗透）：设小组数为x，根据树苗总数不变列方程：5x+3=6x-2，解得x=5。此处不要求全体掌握，但让学优生先行体验，为后续学习做铺垫。【热点】

3.算法提炼——公式变式群构建【非常重要】【难点】

（1）一盈一尽型：教师改变条件“如果每组发5棵，多3棵；如果每组发6棵，正好分完。”学生独立尝试后交流，发现此时亏为0，公式简化为：份数=盈÷每份数量差。

（2）一亏一尽型：条件变为“每组发6棵，缺2棵；每组发5棵，正好。”得份数=亏÷每份数量差。

（3）两盈型：“每组发5棵，多7棵；每组发6棵，多2棵。”引导学生思考：第二次分配后剩余变少了，说明总需求增加了，增加的幅度就是两次盈的差。因此：份数=（大盈－小盈）÷每份数量差。

（4）两亏型：“每组发6棵，缺5棵；每组发8棵，缺11棵。”同理，份数=（大亏－小亏）÷每份数量差。

（5）教师组织学生以四格漫画的形式整理四种基本类型，并用红笔圈定每个公式中的关键运算符号（加或减）。【重要】

4.模型拓展——条件隐蔽与转化

（1）总量不变，分配对象隐含：如“同学们去划船，如果每条船坐4人，则多5人；如果每条船坐5人，则有4个空位。”学生指出“4个空位”即缺4人，转化为一盈一亏模型。

（2）两次分配每份数相同，份数变化：如“用一根绳子测量井深，对折后垂到井底，井外余4米；三折后垂到井底，井外余1米。”先引导学生理解“对折”是每份变为1/2，“三折”是每份变为1/3，这里的份数实际上是绳子折数，需先统一单位“井深的倍数”。此题为经典变式，需要较强的空间想象能力，教师借助教具演示，并列为选学内容。【难点】【热点】

（三）巩固练习：分层推进，即时反馈（约15分钟）

1.基础性练习（全体必做）【重要】

（1）幼儿园老师给小朋友分饼干，每人分5块，多8块；每人分6块，少3块。有多少个小朋友？多少块饼干？

（2）学校合唱队排练，每排站8人，多出10人；每排站9人，多出2人。合唱队共排成几排？多少人？

要求：先判断题型，再列式解答。同桌互批，重点检查符号使用是否正确。

2.综合性练习（80%学生完成）【重要】

（1）货运公司运一批货物，每辆车装4吨，则剩下12吨；每辆车装5吨，则有一辆车只装了3吨。问有几辆车？货物共多少吨？（提示：只装3吨相当于少装2吨）

（2）小刚从家去学校，如果每分钟走60米，就要迟到2分钟；如果每分钟走80米，就可以早到3分钟。小刚出发时距离上课还有多少分钟？家到学校多少米？

本题将盈亏问题迁移至行程情境，迟到的2分钟折算为路程差60×2=120米（亏），早到3分钟折算为路程差80×3=240米（盈），从而转化为盈亏模型。此环节教师需带领学生进行关键信息的转译训练。【热点】

3.挑战性练习（学有余力）【一般】

用一根绳子测量井深，将绳子三折来量，井外余2米；将绳子四折来量，井外余1米。求绳长和井深。

学生独立画图后，小组内展开“分析师辩论”，用不同方法验证答案。

（四）综合应用：项目实践，跨域融通（约12分钟）

1.角色任务：“校园农场规划师”第二幕——配置有机肥。

条件：学校购买了一批有机肥，要分给各个种植箱。如果每箱施3千克，则多出15千克；如果每箱施5千克，则还缺25千克。

（1）请求出种植箱的数量和有机肥总质量。

（2）若农场还有一批番茄苗，每箱栽8株，则缺4株；每箱栽7株，则多6株。这批番茄苗共有多少株？种植箱数量是否与上一问一致？你发现了什么？

【设计意图】前后两问使用同一批种植箱，隐含“份数相同”的条件，引导学生对比两个独立的盈亏问题，感知总量与份数的函数关系，初步渗透方程组思想。

2.跨学科链接：数学+道德与法治

讨论：当资源不足时（例如化肥短缺），应当如何分配才能既保证公平又不造成浪费？学生结合盈亏问题的“刚刚好”状态提出建议：可以通过调整每份的数量使剩余为零，这是最优调配方案。教师顺势渗透优化思想和节约意识。

3.数学文化拓展

播放微视频《盈不足术西传》，介绍阿拉伯数学家阿尔·花拉子米如何吸收并发展了中国盈不足术，并将其传入欧洲。学生在惊叹古算成就的同时，建立文化自信与人类文明交流互鉴的大历史观。【一般】

（五）课堂总结：思维导图，系统建构（约5分钟）

1.师生共建“盈亏问题知识树”

主干：一个核心模型（总差÷每份差=份数）。

分支四类：一盈一亏、两盈、两亏、一盈一尽（一亏一尽）。

枝叶：解题步骤（审题→找盈与亏→定差→计算→检验）。

根部：三种思想（数形结合、假设法、方程思想）。

学生闭目回忆树状图，教师用板书记录关键词。

2.学习反思

学生用一句话写在便利贴上：“今天我学会了……”“我觉得……地方最容易出错。”“我还想知道……”。贴于黑板“反思角”，作为后续教学调整的依据。【重要】

（六）作业设计：弹性选择，个性发展

1.基础作业（必做）

完成练习单中“达标检测”4题，包含四种基本题型各1题。要求画出线段草图并写出公式。

2.实践作业（选做）

调查生活中一次分配不均衡的事例（如食堂打菜、运动会器材发放），编一道盈亏问题并考考家长。将题目与解答过程录制成1分钟短视频上传班级空间。

3.拓展作业（选做）

阅读《九章算术·盈不足》中的“蒲莞并生”“两鼠穿墙”等古题，尝试用今天所学方法解决，并撰写200字左右的数学日记。

六、板书设计

（左侧）核心模型：

总差额÷每份差=份数

一盈一亏→（盈+亏）÷差

两盈→（大盈－小盈）÷差

两亏→（大亏－小亏）÷差

一盈一尽→盈÷差

一亏一尽→亏÷差

（右侧）解题路径：

1.判题型

2.标盈、亏、差

3.选公式

4.算检验

（下方）思想之光：

数形结合·假设法·方程

七、教学评价与检测

（一）过程性评价

采用“思维可视化评价”：观察学生在任务单上的线段图画法、批注痕迹，评估其模型抽象水平；通过小组合作中的发言频次与深度，评价合作交往素养；课堂即时反馈器中，针对公式变式的选择题正确率需达到85%。

（二）终结性评价

课后20分钟限时检测：编制5道题，涵盖基础模型（2题）、变式识别（2题）、情境转译（1题）。得分率90%以上为A等，80%～89%为B等，60%～79%为C等。重点关注C等学生的错误类型，于次日进行微型补偿教学。

（三）量规使用

向学生提前公开“解题规范量规”，包括：单位标注、答句完整、有无验算三项，每项1星。累积星星可兑换数学绘本阅读权，以此强化良好解题习惯。

八、教学资源与技术应用

（一）交互式课件

PPT内嵌拖拽功能，可将“盈”“亏”“尽”标签拖放至对应的数量关系式中，实现即时