13.1勾股定理及其逆定理 教学课件 2026-2027学年数学华东师大版八年级上册

13.1勾股定理及其逆定理第十三章

勾股定理13.1.1第1课时

直角三角形三边的关系学习目标1.了解勾股定理的简单证明.2.在探索的基础上掌握勾股定理.

3.能运用勾股定理求直角三角形的边长.4.掌握渗透事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想.

我们知道直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：一个角为直角，另外两个锐角互余.那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢复习旧知（图中每一格代表1平方厘米）（2）正方形Q的面积是

平方厘米；（3）正方形R的面积是

平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2上面三个正方形的面积之间有什么关系？探究新知（1）正方形P的面积是

平方厘米；

这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方.

那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?探究新知想一想

91625如图,每一小方格表示1平方厘米，则SP+SQ=SRpQRACB探究新知在一般的直角三角形中，是否也存在相同的结论呢?pQRACB这就是“补”的方法探究新知pQRACB这就是“割”的方法在一般的直角三角形中，是否也存在相同的结论呢?直角三角形三边的关系：

_____________

探究新知

在方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5、12的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”对这个直角三角形是否成立．12513探究新知1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的

两条直角边分别为a，b，斜边为c）.2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形

吗？拼一拼试试看.3、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？cab拼一拼探究新知做一做

温馨提示：上述这种证明的方法是用面积法

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.并且这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会标.abcS大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2，S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，拼图一:赵爽弦图证明：b-a探究新知aaaabbbbcccc大正方形的面积可以表示为；也可以表示为

.(a+b)2c2+4•ab/2∵(a+b)2=

c2+4•ab/2，a2+2ab+b2=

c2+2ab，∴a2+b2=c2.

拼图二:

用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的

图形，你能否根据这一图形，证明如下.探究新知我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上进行验证．归

纳

勾股定理:即

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言表示为：在Rt△ABC中，∠C=90°则cba探究新知归

纳

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么例1.在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6,BC=8,求AC.解：∵∠B=90°∴AB²+BC²=AC²∴┐CAB68?又∵AB=6,BC=8探究新知在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝,4，求c；(2)已知c＝13，a＝12，求b；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.分清待求的是斜边还是直角边，以便合理选择是直接用勾股定理还是勾股定理的变形公式.若求斜边，则直接用勾股定理；若求直角边，则用勾股定理的变形公式.导引：

练习

探究新知(1)∵∠C＝90°，a＝3，b＝4，∴由勾股定理，得c＝

(2)∵∠C＝90°，c＝13，a＝12，∴由勾股定理，得b＝

(3)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b.∵∠C＝90°，c＝5，∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝(负值已舍去).解：

探究新知13.1勾股定理及其逆定理第十三章

勾股定理13.1.1第2课时

直角三角形的三边关系的简单应用学习目标1.掌握勾股定理及能进行简单应用，体会数形结合的数

学思想.2.练习中进行归纳，概括勾股定理简单应用的类型，开

发学生的逻辑推理能力，提高学生知识的活用能力.复习旧知勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形三边之间有什么关系?即

a2+b2=c2几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.例2:Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm,另一直角边BC的长为6cm,

求AC的长.解：由题意得：AB=AC-2,BC=6cm,∴AB²+BC²=AC²∴(AC-2)²+6²=AC²∴AC=10cm答：AC为10cm┐CAB?6∵∠B=90°探究新知∴例3：如图，为了求出位于湖两岸的点A,B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形。通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米，问从点A穿过湖到点B有多远？AB

C160m128mAC=160米，BC=128米解：由题意得：在Rt△ABC中，∴AB²+BC²=AC²答：从点A穿过湖到点B有96米∵∠ABC=90°探究新知13.1勾股定理及其逆定理第十三章

勾股定理13.1.2直角三角形的判定学习目标1.掌握直角三角形的判定条件，并能推理出勾股定理的逆定理.2.经历探索直角三角形的判别条件的过程，体会数形结合思

想和从特殊到一般的思想，体验数学探究的方法.3.知道勾股定理的逆定理，能够运用勾股定理的逆定理判定

直角三角形，并能够运用该定理解决问题.复习旧知如何判定一个三角形是直角三角形？我们已经知道，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.即有如下的直角三角形的判定方法：

两个角互余的三角形是直角三角形.

根据三角形三边之间的某种特殊关系，我们同样

可以找到判定直角三角形的方法.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道这是什么道理吗?一把没有刻度的直尺能画出直角吗？古埃及人做到了，你们知道他们用的什么方法吗？古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.探究新知

探究新知

试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它

们是一些什么样的三角形：(1)a=3，b=4，c=5；(2)a=4，b=6，c=8；(3)a=6，b=8，c=10.可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形.试一试

在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2.探究新知对于直角三角形的判定，有一般的结论：勾股定理的逆定理

：

如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.归

纳

互逆定理勾股定理:

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的

平方.证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′²=a²+b²=c²，即A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.∴∠C=∠C′=90°.B′C′ABCA′

已知：如图，在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°.探究新知探究新知例4：已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC².∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.为什么选择AB2+BC2

？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？探究新知

能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.

例如3，4，5；6，8，10；n²-1，2n，n²+1(n为大于1的

正整数)等都是勾股数.勾股数

第十三章

勾股定理13.1.3反证法学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.2.理解并体会反证法的思想内涵.3.在证明的过程中，培养演绎推理能力.如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）,当a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？cabACB解析：由a2+b2＝c2

，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.复习旧知

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b(a≤b≤c)，a2+b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.cabACB1.假设它是一个直角三角形;2.由勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；3.因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.探究新知探究新知这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过演绎推理，得出与基本事实、已证的定理、

定义或已知条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.像这样的证明方法叫“反证法”.归

纳

反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．

例5

求证：两条直线相交只有一个交点.已知：两条相交直线l1与l2.求证：l1与l2只有一个交点.分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出