《半导体存储器与可编程器件》-第2章 逻辑代数基础

2.1逻辑代数基本概念

2.1.1基本逻辑运算一、逻辑变量参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，与普通变量一样，用字母A、B、C…表示。每个变量只有两种取值，非0即1。0、1不是代表数的大小，而是代表两种完全对立的逻辑状态，称逻辑1和逻辑0。一、逻辑变量逻辑代数对正负逻辑也有规定：正逻辑：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0；负逻辑：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。二、基本逻辑运算三种基本的逻辑运算：

与（·）或（+）非（-）二、基本逻辑运算1.与运算逻辑表达式表示为：与运算逻辑符号

二、基本逻辑运算2.或运算逻辑表达式表示为：或运算逻辑符号

二、基本逻辑运算3.非运算逻辑表达式表示为：非运算逻辑符号

三种基本运算的真值表1.与运算真值表3.非运算真值表2.或运算真值表2.1.2逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数●输出变量与输入变量之间存在着一种函数关系，我们将这些函数关系统称为逻辑函数，即：2.1.2逻辑函数及其表示方法二、逻辑函数的表示方法●逻辑函数常用的表示方法有逻辑函数式（也称逻辑表达式）、真值表、逻辑图、波形图和卡诺图等。二、逻辑函数的表示方法1.逻辑函数式（逻辑表达式）●把逻辑变量之间的逻辑函数关系用与、或、非等逻辑运算的代数式来表示，我们称该代数式为逻辑函数式或逻辑表达式。二、逻辑函数的表示方法2.真值表●在逻辑学中真值表即为数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效，其中用1表示“真”，0表示“假”。三种基本运算的真值表1)与运算真值表3)非运算真值表2)或运算真值表二、逻辑函数的表示方法3.逻辑图●在逻辑学中真值表即为数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效，其中用1表示“真”，0表示“假”。2.1.2逻辑函数及其表示方法二、逻辑函数的表示方法●逻辑函数常用的表示方法有逻辑函数式（也称逻辑表达式）、真值表、逻辑图、波形图和卡诺图等。三、各种表示方法的相互转换1.由真值表写出逻辑函数式●由真值表写出逻辑函数式，我们一般采用如下方法：（1）找出真值表中使逻辑函数的输入变量取值的各种组合。（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。（3）将所有使的输入变量组合的乘积项相加，即得输出函数的逻辑表达式。三、各种表示方法的相互转换【例2-1】

某比赛中的裁判组有3人，其中1名主裁判和2名副裁判，裁判组约定裁判有效的条件是：裁判组中必须有2人以上判定同意过关，其中主裁判必须同意过关，副裁判至少有1人同意过关。试用一个逻辑函数描述该比赛的逻辑功能。三、各种表示方法的相互转换解

设输入的逻辑变量为A、B、C，其中：A表示主裁判的裁判结果，B、C分别表示2个副裁判的裁判结果；F用表示输出变量，即最终裁判组的裁判结果。

三、各种表示方法的相互转换●表中“0”表示裁判不同意过关，“1”表示裁判同意过关。逻辑函数F的逻辑表达式：三、各种表示方法的相互转换2.由逻辑函数式列出真值表【例2-2】

已知逻辑函数，请列出该函数的真值表。三、各种表示方法的相互转换●当输入逻辑变量取值相同时，逻辑函数的值为0；反之，取值为相异时，逻辑函数的值为1。这个函数就是人们所熟知的异或函数。

三、各种表示方法的相互转换3.由逻辑函数式画出逻辑图【例2-3】已知逻辑函数，请列出该函数的真值表。三、各种表示方法的相互转换2.2逻辑代数的基本定律和规则2.2.1逻辑代数的基本定律一、基本定律1.常量之间的基本运算公式如果A=0则A=1；如果A=1则A=02.2.1逻辑代数的基本定律2.逻辑代数的基本定律

在逻辑代数的基本定律有：0-1律、互补律、重叠律、交换律、结合律、分配律、对合律、反演律等。逻辑代数的基本定律

2.2.1逻辑代数的基本定律3.常用定律

（1）吸收律2.2.1逻辑代数的基本定律3.常用定律

（2）其他定律2.2.1逻辑代数的基本定律3.常用定律

（3）逻辑代数常用公式2.2.2逻辑代数的重要运算规则逻辑代数有三个重要运算规则：●代入规则●反演规则●对偶规则2.2.2逻辑代数的重要运算规则1.代入规则●在任何一个含有逻辑变量的等式中，可以将等式两边出现的同一变量都用一个相同的逻辑函数来代入，代入后等式仍然成立。这就是所谓的代入规则。2.2.2逻辑代数的重要运算规则【例2-4】

将摩根定律的等式中的逻辑变量B用逻辑函数来代替，试证明等式依然成立。2.2.2逻辑代数的重要运算规则2.2.2逻辑代数的重要运算规则2.反演规则

----根据原函数求反函数的过程。反演规则是指对于任一逻辑函数，若将原函数中所有的“0”改成“1”，“1”改成“0”；“·”改成“+”，“+”改成“·”；原变量改成反变量，反变量改成原变量。所得到的新逻辑函数就是原函数的反函数2.2.2逻辑代数的重要运算规则【例2-5】

利用反演规则，求下列逻辑函数的反函数

解根据反演规则，求得：2.2.2逻辑代数的重要运算规则【例2-5】

利用反演规则，求下列逻辑函数的反函数

解根据反演规则，求得：2.2.2逻辑代数的重要运算规则在使用反演规则求解逻辑函数的反函数时注意以下两点：（1）非单个变量上的非号“-”应保留，不需要变化。（2）保证原函数中原来的运算顺序不变，即“先括号，然后与，最后或”的运算顺序。注意：1.不能改变原运算的优先顺序。

2.跨越两个以上的非号保持不变。

2.2.2逻辑代数的重要运算规则3.对偶规则

对偶规则是指对于任一逻辑函数，若将原函数中所有的“0”改成“1”；“1”改成“0”；“·”改成“+”，“+”改成“·”；而所有的变量保持不变，所得到的新逻辑函数就是原函数F的对偶式。2.2.2逻辑代数的重要运算规则逻辑函数的对偶式有着以下性质：（1）逻辑函数的对偶式，就是原函数本身。（2）如果两个逻辑函数的对偶式相等，那么它们各自对应的对偶式也必然相等。2.2.2逻辑代数的重要运算规则

【例2-6】利用对偶规则，求下列逻辑函数的对偶式。

解根据对偶规则，求得：2.2.2逻辑代数的重要运算规则●在使用对偶规则求解逻辑函数的对偶式时，同样需要注意以下两点：（1）非单个变量上的非号应保留，不需要变化。（2）保证原函数中原来的运算顺序不变。2.3逻辑函数的化简

2.3.1逻辑函数的最简表达式一、逻辑函数的标准表达式常用的主要有五种表达形式：与-或式、或-与式、与非-与非式、或非-或非式、与-或-非式等。●形式最简洁的是与-或式表达式，因此也是最常用的。2.3.1逻辑函数的最简表达式

一、逻辑函数的标准表达式补充:最小项的编号

●将一个最小项的原变量用“1”表示，反变量用“0”表示，则最小项变为一个二进制数，该二进制数即为该最小项的编号，用mi

表示，其中i是编号的十进制。【例】对三个逻辑变量A、B、C，最小项及编号为2.3.1逻辑函数的最简表达式一、逻辑函数的标准表达式在逻辑函数表达式中，如果一个乘积项包含了所有的输入变量，每一个变量以原变量或反变量的形式作为一个因子，并且只能出现一次，那么，这个乘积项就叫做最小项，也称之为标准与项。

我们一般用n表示变量个数，即因子个数，用m表示最小项。2.3.1逻辑函数的最简表达式一、逻辑函数的标准表达式最小项是组成逻辑函数的最基本的单元。任何一个逻辑函数可以用若干个最小项构成，可以用最小项之和的形式来表示，即用标准与-或表达式（简称标准表达式）表示，且这种表达式是唯一的，也就是说一个逻辑变量只有一种最小项表达式。一、逻辑函数的标准表达式●一个含有2个变量、的逻辑函数，根据最小项的定义，二变量最小项的编号如下：一、逻辑函数的标准表达式●二变量最小项的真值表

一、逻辑函数的标准表达式●三变量最小项的编号

一、逻辑函数的标准表达式●最小项具有以下主要性质：（1）在输入变量任意取值的情况下，有且仅有一个最小项的值为1。也就是说，对于任意一个最小项，只对应一组变量取值能使其最小项的值为1。（2）任意两个最小项的积（逻辑与）为0；（3）所有最小项的和（逻辑或）为1；（4）两个相邻的最小项相或，可以合并，留下公共因子。所谓相邻，即仅有一个变量不同的最小项。一、逻辑函数的标准表达式●逻辑函数的标准与-或表达式有以下特点：

（1）表达式应该为乘积项的形式；（2）表达式不一定要包含所有的最小项，但是每一项必须是最小项。一、逻辑函数的标准表达式【例2-7】一个三变量的逻辑函数的真值表，请根据真值表内容写出函数的标准与-或表达式。

一、逻辑函数的标准表达式

解：根据逻辑函数的最小项的性质，当三个变量的取值分别为001、100、101、111时，逻辑函数的值为1。故，的最小项之和的表达式，即函数的标准表达式为亦可以简化为：一、逻辑函数的标准表达式【例2-8】

已知一个三变量逻辑函数

试画出该函数的真值表，并写出其标准与-或表达式。一、逻辑函数的标准表达式解：根据题意，当三个变量的取值组合分别为010、101、110、111时，输出变量为1。所以，函数的标准与-或表达式为：二、逻辑函数的最简表达式●电路设计时，逻辑函数往往需要化简到最简表达式，这样电路中使用的逻辑门是最少，而且每个逻辑门的输入端数量最少，线路连接也最少。所谓最简，是指在保证电路正常工作的前提下，表达式应满足以下标准：（1）与项（乘积项）的个数应是最少；（2）在满足（1）的情况下，每个乘积项的变量数应是最少。2.3.2逻辑函数的公式化简法●逻辑函数常用的公式化简方法

1）并项法

2）消去法

3）吸收法

4）配项消项法2.3.2逻辑函数的公式化简法1．并项法定义：利用互补律公式将两项合并成一项，并消去一个变量的化简方法。例2.3.2逻辑函数的公式化简法1．并项法2.3.2逻辑函数的公式化简法2.消去法定义：利用吸收律公式，消去多余的变量的化简方法。例：2.3.2逻辑函数的公式化简法2.消去法2.3.2逻辑函数的公式化简法3．吸收法定义：利用吸收律公式，消去多余项的一种化简法。例2.3.2逻辑函数的公式化简法3．吸收法2.3.2逻辑函数的公式化简法4.配项消项法

定义：利用公式等在逻辑函数表达式中为某一项配上所缺的变量，或加入冗余项（多余的项），然后展开、合并以消去更多的乘积项，从而获得最简标准表达式的化简方法称为配项法。2.3.2逻辑函数的公式化简法4.配项消项法2.3.3逻辑函数的卡诺图化简法●对于逻辑函数的化简，本教材更倾向于运用卡诺图法化简法。●卡诺图可以比较直观、简便地化简逻辑函数，得到函数最简表达式，它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定的缺点。●一般，当逻辑函数的变量个数不超过5个时，卡诺图化简法是获取最简表达式的有效工具。2.3.3逻辑函数的卡诺图化简法一、卡诺图的引出●卡诺图是由美国贝尔实验室工程师卡诺首先提出来的。它是把逻辑函数的最小项按照一定规则画出来的一种方格图。●卡诺图一般根据变量个数画成正方形或矩形，因n个变量有2n个最小项，所以，若逻辑函数有n个变量，图中等分出小方格数应该为2n个，每个小方格都对应一个最小项。●在卡诺图中，变量均集中标在边框的左上角，所对应的最小项用mi来表示，或用最小项的编号i来表示。卡诺图左上角变量的位置顺序应是按先行后列的顺序从高位到低位排列。一、卡诺图的引出★注意：卡诺图边框的变量取值顺序必须是按循环码方式排列的，确保卡诺图中任意两个相邻小方格对应的最小项只有一个变量不同。二、卡诺图的特点

★特点：最小项的逻辑相邻，即上下、左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性。★这里“相邻”包括相邻、相对和相重三种情况。相邻是指紧挨着的最小项，相对是指任一行（或列）两头的最小项，相重是指对折起来后位置相重叠的最小项。

三、用卡诺图表示逻辑函数根据真值表画卡诺图●根据逻辑函数的变量个数先画出对应的变量卡诺图形，然后按照真值表在每个小方格填写相应的值（0或1）。三、用卡诺图表示逻辑函数【例2-9】已知逻辑函数的真值表如，试画出的卡诺图。三、用卡诺图表示逻辑函数2.根据最小项表达式画卡诺图●根据逻辑函数的变量个数先画出对应的变量卡诺图形，然后把表达式中所有的最小项在对应的小方格中填写1，剩余的小方格填0。三、用卡诺图表示逻辑函数【例2-10】

试画出的卡诺图。三、用卡诺图表示逻辑函数3.根据与-或表达式画卡诺图●根据逻辑函数的与-或表达式，找出每个乘积项所包含的最小项，然后把这些最小项所对应的小方格都填上1，剩下的小方格填0，这样就可以得到逻辑函数的卡诺图了。三、用卡诺图表示逻辑函数【例2-11】

试画出的卡诺图。解：观察逻辑函数的表达式，找出每个乘积项所包含的最小项，即：三、用卡诺图表示逻辑函数

将最小项所对应的小方格中填入1，最后将剩下的小方格填0。三、用卡诺图表示逻辑函数4.根据一般表达式画卡诺图●若逻辑函数为一般的表达式，既不是最小项之和的形式，也不是与-或表达式的，那么，在填写卡诺图前，必须先将逻辑函数的表达式转换成与-或表达式，然后再通过观察在卡诺图的小方格中相应的位置填1，剩下的小方格填0。四、用卡诺图化简逻辑函数●卡诺图化简逻辑函数过程中，关于最小项的合并有着一定的规律，合并的最小项个数必须是2n（其中，n为正整数）个。四、用卡诺图化简逻辑函数●用卡诺图化简逻辑函数的基本步骤，具体如下：

1.将逻辑函数写成最小项表达式；

2.画卡诺图