广东省深圳市宝安区航城学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

广东省深圳市宝安区航城学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米，则0.0000033用科学记数法表示为（）A．0.33×10﹣6 B．3.3×10﹣5 C．0.33×10﹣5 D．3.3×10﹣62．下列事件中，必然事件是（）A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．若a是实数，则|a|≥0D．六边形的一个内角为120°3．下列运算正确的是（）A．x4•x3＝x7 B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．x2+x2＝2x4 D．（x2）3＝x54．用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（）A． B．C． D．5．金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上（）A．点G B．点D C．点E D．点F7．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF，BG交于点A，FG∥DE∥BC，∠FAG＝40°，AC平分∠BAD，若设∠ADE＝x°，∠G＝y°，则x和y之间的关系是（）A．x+2y＝180 B．x﹣2y＝60 C．x﹣y＝80 D．x+y＝1508．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(a+b)根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是．10．若3m=5,9n11．如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若∠2=48°，则∠1＝度．12．有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为．13．如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近C的三等分点，E是AD的中点，已知三角形ABC的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是．三、解答题（共7小题，共61分）14．计算：（1）(−1)2026（2）3a3b2÷a2+b（a2b﹣3ab）．15．先化简，再求值：[（2a+3b）（2a﹣3b）﹣（2a﹣b）2﹣2ab]÷（﹣2b），其中a＝2，b＝﹣1．16．如图，AB∥CD．（1）利用尺规作图：过E作∠FEB，使∠FEB交直线CD于F(要求：不写作法保留作图痕迹）；（2）试说明：∠A＝∠CFE．17．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m701281713024815991806摸到白球的频率m0.70.640.570.6040.6010.5990.602（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）．（2）估算盒子里有白球个．（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？18．已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，ACIIDF，AC=DF，CE=BF.求证：ABIIDE·证明：∵▲（已知），∴∠C＝∠▲（两直线平行内错角相等）．∵CE＝BF（已知），∴CE+▲＝BF+▲（等式的性质）．即BC＝EF．在△ABC与△DEF中，∵()(已知)∠C=∠F(已证)BC=EF(已证)∴△ABC≌△DEF（）．∴▲（全等三角形对应角相等）．∴AB∥DE（）．19．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释。【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）。图（1）阴影部分面积可表示为a2-b2，图（2）中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：a2-b2=(a+b)(a-b)。（1）【类比探究】

用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积a2+b2、（a+b）2、ab的等量关系式是．（2）【应用】

根据(1)所得的关系式，a+b=10，ab=5，则a2+b2＝．（3）【拓展】

若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．（4）【知识迁移】如图，某校有一块梯形空地ABCD，AC⊥于点E，AE=DE，BE=CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，经测量种花区域的面积和为25220．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5.4，AD=3.若AC边的长度为奇数，求AC的长，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E使AD=DE，连接BE，由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC=BE.（1）【思考发现】如图①，△EDB≌△ADC的理由是____；A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA（2）请根据小明的方法思考，直接写出AC的长可能为（写一个值即可）；（3）【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形(求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中.如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于G，AC=BF.探究∠AFG与∠GAF的关系，并说明理由；（4）【深入探究】如图③，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，F为AD的中点，连接FC并延长交BE于H，CF=4，CH=2，求△BCE的面积.

答案解析部分1．【答案】B【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数【解析】【解答】解：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为a×10−n，其中对于0.0000033，左侧第一个不为0的数字是3，其前方共有6个0，因此n=6，对应a=3.即0.故答案为：D【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，核心是确定参数a与指数n的取值。科学记数法的标准形式要求a的整数位仅有一位，据此可直接排除a=0.2．【答案】C【知识点】事件的分类；正多边形的性质；实数的绝对值【解析】【解答】解：A、打开电视体育频道时，播放的节目具有随机性，属于随机事件；B、一副扑克牌包含多种牌面，任意抽取一张恰好是大王具有随机性，属于随机事件；C、根据绝对值的性质，任意实数的绝对值都具备非负性，|aD、普通六边形的内角度数不固定，一个内角为120故答案为：C【分析】本题考查事件的分类，涉及必然事件、随机事件的概念辨析。解题时需结合数学性质与常识逐一判断：必然事件是对应条件下一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。结合绝对值的非负性可直接判断C选项符合必然事件的定义，其余选项的结果均存在不确定性。3．【答案】A【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算【解析】【解答】解：根据整式运算法则逐项验证：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴x4∵积的乘方需将每一项分别乘方后再相乘，∴(−2x∵合并同类项时，字母与字母的指数保持不变，仅系数相加，∴x2∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴(x故答案为：A【分析】本题考查整式的基础运算，涵盖同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方四类运算法则。解题时需逐一对应法则排查选项：同底数幂乘法是指数相加而非相乘，积的乘方要注意系数也需参与乘方，合并同类项不会改变字母的指数，幂的乘方是指数相乘，通过逐项验证即可得到正确选项。4．【答案】C【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：A、B、D都不是高线，故错误；

C是高线，故正确.

故答案为：C.

【分析】从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高.5．【答案】B【知识点】两点之间线段最短【解析】【解答】解：银杏叶折断后，原本连接折断处两端的曲线边缘被直线段替代。根据两点之间线段最短的性质，这条直线段的长度小于原本曲线的长度，因此剩下叶片的周长更小。

故答案为：B

【分析】本题考查线段的基本性质在实际场景中的应用。折断后叶片周长减小，本质是连接折断处两端的路径由曲线变为直线段，而“两点之间，线段最短”说明连接两点的所有路径中线段长度最短，恰好对应周长变小的现象，其余选项的结论均无法解释该周长变化的原理。6．【答案】C【知识点】三角形的重心及应用【解析】【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点。结合网格观察可得，直线CD经过AB边的中点，直线AD经过BC边的中点，说明点D是△ABC两条中线的交点，即△ABC的重心。故答案为：A【分析】本题考查三角形重心的定义，解题关键是明确重心是三角形三条中线的交点。结合网格的结构特点，可先找到三角形两条边的中点，再判断过顶点与对边中点的中线经过哪个格点，两条中线的交点即为三角形的重心。7．【答案】C【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：过点A作AM∥DE，∵FG∥DE，∴AM∥FG∥DE。∵AM∥DE，∴∠MAD+∠ADE=180又∵∠ADE=x∴∠MAD=180∵AM∥FG，∠G=y∴∠GAM=∠G=y∵∠BAC与∠FAG是对顶角，∠FAG=40∴∠BAC=40∵AC平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAC=80∴∠GAD=180又∵∠GAD=∠GAM+∠MAD，代入得：y+(整理得：x−y=80。故答案为：C【分析】本题考查平行线的性质、角平分线定义与对顶角性质的综合应用，通过作辅助平行线建立分散角之间的联系是解题核心。过点A作DE的平行线后，利用平行线的同旁内角互补、内错角相等，分别表示出∠MAD与∠GAM；再结合对顶角相等与角平分线的定义求出∠BAD的度数，进而得到∠GAD的度数；最后根据角的和差关系建立等式，化简即可得到x与y的关系式。8．【答案】D【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律【解析】【解答】解：观察低次展开式的第三项系数规律：(a+b)3(a+b)4(a+b)5由此归纳可得：(a+b)n当n=20时，第三项系数为1+2+3+…+19=故答案为：D【分析】本题考查数字规律探究，结合杨辉三角的特征归纳二项展开式的系数规律。解题时先从低次展开式入手，观察第三项系数的变化特点，发现其为从1开始的连续正整数的和，且末项数值比指数小1；总结出通用规律后，将n=20代入，利用等差数列求和公式计算即可得到结果。9．【答案】1【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解：由题意可知，所有等可能的抽取结果共4种，即总结果数为4；其中数字为负数的卡片是−1和−2，共2张，即符合条件的结果数为2。根据概率公式可得：P=2故答案为：1【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，核心是掌握概率的基本计算公式。解题时先确定所有等可能的总结果数，再统计符合“抽到负数”条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到对应事件的概率。10．【答案】20【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算【解析】【解答】解：∵3m∴3m+2n故答案为：20．【分析】逆用同底数幂乘法法则以及幂的乘方法则，再代入相应的值进行运算即可．11．【答案】138【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题【解析】【解答】解：过三角板的直角顶点A作AM∥a，∵a∥b，∴AM∥a∥b∵AM∥b，∴∠3=∠2=4∵三角板为直角三角板，直角为90∴∠3+∠4=90∴∠4=9∵AM∥a，∴∠5=∠4=4∵∠1与∠5互为邻补角，∴∠1=18故答案为：138【分析】本题考查平行线的性质与直角三角板的角度特征，过直角顶点作辅助平行线拆分直角是解题的关键。作平行线后，利用平行线的内错角相等，先求出与∠2相等的角，再结合直角求出另一个角的度数；接着再次利用平行线的内错角相等，得到∠1的邻补角的度数，最终通过邻补角的和为180°计算出12．【答案】6【知识点】完全平方公式的几何背景【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b。图甲中阴影部分为长方形，长为b，宽为a−b，因此面积为b(a−b)=10图乙中，大正方形边长为a+b，阴影部分面积为大正方形面积减去两个正方形的面积，即(a+b展开整理得2ab=32，即ab=16②。将②代入①得：16−b解得b2故答案为：6【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题核心是用边长的代数式表示出两个图中阴影部分的面积。先设两个正方形的边长，分别根据图形的面积和差关系列出两个等式，再通过代入消元的方式消去ab项，直接得到正方形B的面积（边长的平方）。13．【答案】6【知识点】三角形的面积；三角形的中线【解析】【解答】解：连接DF，∵E是AD的中点，∴SΔABE=S∴SΔABE即SΔABF∵D是BC边上靠近C的三等分点，即BD:∴同高的ΔBDF与ΔDCF的面积比等于底边长之比，即SΔBDF:S设SΔDCF=k，则SΔBDFSΔABC已知SΔABC=3，则5k=3，解得阴影部分面积和为SΔBED故答案为：6【分析】本题考查三角形面积的比例关系，利用中线平分三角形面积、同高三角形面积比等于底边长之比是解题的关键。通过连接DF构造辅助线，先利用中点的性质，将两个阴影三角形的面积和转化为ΔBDF的面积；再根据三等分点得到底边的比例关系，推出三个小三角形的面积比例，结合总面积求出单份面积，最终计算出阴影部分的总面积。14．【答案】（1）解：原式=1+4-9=-4（2）解：原式=3ab2+a2b2-3ab2=a2b2【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涵盖有理数乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂四类基础运算。解题时先分别计算每一项：根据负数的偶次幂为正，可得(−1)2026的值；根据正数的绝对值是它本身，可得|−6|（2）本题考查整式的混合运算，涉及单项式除以单项式、单项式乘多项式与合并同类项。解题时先分别计算除法和乘法部分：根据单项式除以单项式的法则，系数相除、同底数幂相除，计算单项式除法项；根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，计算乘法项；再合并同类项，将同类项的系数相加、字母部分保持不变，得到最终结果。15．【答案】解：原式=[(4a2-9b2)-(4a2-4ab+b2)-2ab]÷(-2b)=(4a2-9b2-4a2+4ab-b2-2ab)÷(-2b)=(2ab-10b2)÷(-2b)=-a+5b把a=2，b=-1代入式子原式=-2+5×(-1)=-7【知识点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，综合运用平方差公式、完全平方公式与多项式除以单项式法则。解题时先处理括号内的运算：利用平方差公式计算(2a+3b)(2a−3b)，利用完全平方公式展开(2a−b16．【答案】（1）解：作图：以点E为顶点作角FEB等于角A，射线EF交CD于点F，保留作图痕迹。

（2）解：证明：∵∠FEB=∠A∴EF平行AB又∵AB平行CD∴EF平行CD∴∠A=∠CFE【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角【解析】【分析】（1）本题考查尺规作图——作一个角等于已知角。解题时以点E为顶点，以射线EB为其中一边，按照作一个角等于已知角的标准尺规步骤，构造出与∠A度数相等的∠FEB，使角的另一边与直线CD交于点F，保留作图痕迹即可。（2）本题考查平行线的性质与等量代换的应用。解题时先根据AB∥CD，利用两直线平行、同位角相等的性质，得到∠CFE与∠FEB相等；再结合作图得到的∠FEB=∠A的条件，通过等量代换即可推导出∠A与∠CFE相等的结论。17．【答案】（1）0.6（2）24（3）解：根据题意列方程24+140+25=20+0.5x0.5x=5解得x=10答：x的值为10。【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率；概率公式【解析】【解答】解：（1）根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6；

故答案为：0.6；（2）估算盒子里约有白球40×0.故答案为：24；【分析】（1）本题考查利用频率估计概率，核心是频率稳定性定理。解题时观察表格中随着试验次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，根据大量重复试验中频率的稳定值即为概率估计值的原理，将稳定值精确到0.1即可。（2）本题考查概率公式的实际应用。解题时用盒子中球的总数量乘第(1)问得到的摸到白球的概率，即可估算出白球的数量。（3）本题考查利用频率稳定值列方程求解。解题时先表示出加入x个球后，球的总数量与白球的总数量；根据频率稳定在0.5可知此时摸到白球的概率约为0.5，依据概率公式列出方程，解方程即可求出x的值。18．【答案】证明：∵AC平行DF（已知）∴∠C=∠F（两直线平行，内错角相等）∵CE=BF（已知）∴CE+EB=BF+EB（等式的性质）即BC=EF在三角形ABC与三角形DEF中AC=DF∠C=∠FBC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）∴AB平行DE（内错角相等，两直线平行）【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-AAS【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质的综合应用，需逐步推导补全证明过程。解题第一步根据平行线的性质，由AC∥DF推出内错角相等，对应填写第一个条件空与第二个角的空；第二步根据等式的性质，在CE=BF的两边同时加上公共线段BE，推导出BC=EF，对应填写两个线段空；第三步结合已知的边相等、已证的角相等与边相等，依据SAS判定定理证明两个三角形全等，对应填写边的条件与判定定理；第四步根据全等三角形对应角相等的性质，得到一组内错角相等，对应填写角的等式；最后根据内错角相等两直线平行的判定定理，推出AB∥DE，对应填写判定依据。19．【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab（2）90（3）解：设m=11-x，n=x-8则mn=2，m+n=3原式=m2+n2=(m+n)2-2mn=32-2×2=5（4）解：设AE=DE=a，BE=CE=b，∵AC=AE+CE，∴a+b=7，种花区域的面积和为：12由题意得：12(a种草区域的面积和为：12∵(a+b)∴72=25+2ab，解得答：种草区域的面积和为12．【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景【解析】【解答】解：（1）图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即a2由于大正方形的边长为(a+b)，因此面积为(a+b)2，两个空白矩形的面积和为2ab∴阴影部分的面积为(a+b)2∴a2（2）a2+b2=(a+b)2−2ab=10（2）本题考查完全平方公式变形的代数应用。解题时直接将a+b=10与ab=5代入第(1)问得到的关系式中，先计算(a+b)2的值，再减去2ab（3）本题考查完全平方公式的换元应用，需通过整体代换简化计算。解题时设A=11−x，B=x−8，先计算出A+B的值，结合已知的AB的值；再利用完全平方公式的变形A2（4）本题考查完全平方公式在几何面积中的综合应用，需结合等腰直角三角形的面积公式推导。解题时先设AE=DE=a，BE=CE=b，根据AC=7得到a+b=7；再根据种花区域是两个等腰直角三角形，用含a、b的式子表示出种花区域的面积和，结合已知面积求出a2+b2的值；接着表示出种草区域的面积和为ab，利用完全平方公式建立(a+b20．【答案】（1）B（2）3（或5，答案不唯一）（3）解：∠AFG=∠GAF，理由如下：延长AD至点E使AD=DE，连接BE，如图，同理可证△EDB≌△ADC(SAS)，∴∠GAF=∠E，BE=AC，∵AC=BF．∴BE=BF，∴∠BFD=∠E，∵∠BFD=∠AFG，∴∠AFG=∠E，∴∠AFG=∠GAF；（4）解：延长CF至点G使GF=CF，连接GD，如图，同理可知△GFD≌△CFASAS∴GD=AC=BC，∠GDF=∠CAF，∠ACF=∠G，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE+∠ACD=180°，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°，∵∠GDF=∠CAF，∴∠ACD+∠GDF+∠ADC=180°，即∠ACD+∠GDC=180°，∴∠BCE=∠GDC，在△BCE与△GDC中，BC=GD∠BCE=∠GDC∴△BCE≌△GDCSAS∴BE=CG=2CF=8，∠CBE=∠G，∵∠ACB=90°，∴∠BC