2025-2026学年山东省泰安市肥城市2026年高考适应性训练（三）数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数是关于的方程的一个根，则（）A.7 B.3 C. D.2.已知直线，，平面，，下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.4.已知向量，，c=2xA.若，则 B.若，则C.在上的投影向量为 D.的最小值为5.某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（）A. B. C. D.6.某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（）A. B. C. D.7.已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（）A. B. C.−2+3 D.-28.已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11B.若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立C.以模型（）去拟合一组数据时，令，求得线性回归方程为，则，D.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.810.已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.S2n11.已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是（）A. B.是奇函数C.是上的增函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中常数项为___________．13.记为数列的前项积，已知，则___________．14.已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．16.已知内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，为中点，求的最大值．17.如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点．（1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度；（2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积．18.已知函数（）（1）求在区间上的最大值．（2）设，若恒成立，求的取值范围．19.如图所示，五面体中，平面，，，，，，分别在线段，，，，上，且满足，mink,1k=AQPQ，，．（1）若，，求二面角的余弦值．（2）若五面体体积为．（ⅰ）用关于和的式子表示五面体体积；（ⅱ）当最大时，，记，此时固定底面不变，在上运动，外接球体积的最小值为，求的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数是关于的方程的一个根，则（）A.7 B.3 C. D.答案：D解析：思路：将代入，求得，进而得到答案.解答过程：因为是关于的方程的一个根，所以，即，所以且，解得，，所以．故选：D．2.已知直线，，平面，，下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：考查空间中线面，面面的位置关系判定，重难点为线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理的应用，以及空间直线位置关系的分类讨论.解答过程：选项A：若，，则直线与平面内的直线可能平行，也可能异面.因此，选项A错误.选项B：若，，根据“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一性质定理，可知.因此，选项B正确.选项C：若，，则平面与可能平行，也可能相交.例如，若直线平行于两个相交平面的交线，则同时平行于这两个平面，但这两个平面是相交的.因此，选项C错误.选项D：若，，则直线可能平行于平面，也可能在平面内m⊂α，因此，选项D错误.综上所述，只有选项B是正确的.3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：对于函数，因为，所以是奇函数，排除A、B；又因为当时，，所以，即图象在轴上方，当时，，所以，即图象在轴下方，所以排除C；综上可得，D符合题意.4.已知向量，，，则（）A.若，则 B.若，则C.在上的投影向量为 D.的最小值为答案：C解析：解答过程：对于A，由，若，则a−b⋅对于B，若，则，解得，B错误；对于C，因为a⋅b=又在上的投影向量为a→⋅b对于D，因为，所以c−显然，当时，c→−5.某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件根据题目条件可知，，，，根据全概率公式，可得，解得.6.某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先作出轴截面后，利用条件求出圆台与圆柱的各个长度，即可求出两个几何体的体积.解答过程：作出该模型的轴截面，如图所示，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，其中，分别过两点作的垂线，垂足分别为，则，所以．因为上底的直径是下底直径的倍，所以，解得．又圆柱的高是圆台高的倍，所以．设圆台上底半径为，下底半径为，则，，所以圆台的体积为，圆柱的体积为πr所以该模型的容积为．7.已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（）A. B. C. D.-2答案：C解析：解答过程：因为双曲线的离心率为，可得双曲线为等轴双曲线，即有，，设双曲线的方程为，(m,n>0)，则又因为，则，，由，可得②，①②联立可得，则，所以．8.已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数k=x−2ex1−x；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围.解答过程：，的定义域为.，为奇函数，图象关于原点对称.，恰有4个零点，可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称.∵f当时，，得gx=fx时，g1=−当且时，令，得x−2ex−k−x时，恰有2个零点，等价于且时，k=x−2ex即y=x−2ex1−x令hx=x−2ex1−∴h∵x2−3当且时，，即在和上单调递减；当时，hx→−2；时，；，；时，；如图所示：由图可知，当时，y=x−2e恰有4个零点时，实数k的取值范围是．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11B.若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立C.以模型（）去拟合一组数据时，令，求得线性回归方程为，则，D.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8答案：BD解析：思路：根据上四分位数的定义求出该值后判断A，根据独立事件和互斥事件的性质判断B，根据指对数转化判断C，根据总体方差的计算公式求出总体方差后判断D.解答过程：选项A：上四分位数的位置为，故上四分位数为第8个数，A错误；选项B：若事件相互独立，则，若事件互斥，则，矛盾，故事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确，选项C：由回归方程，得，所以，所以，故C错误；选项D：，，D正确．10.已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：利用代入法求出前几项的关系即可判断出与的取值范围，再分别求出数列与的前2项和的表达式即可判断大小关系.解答过程：选项A：，，，由是递增数列，得；由，可得a1+a2选项B：，故B不正确；选项C：，，则，，由是递增数列，得，由可得2b1>b1选项D：由，可得，则，即数列和均为公比为的等比数列，所以，所以，又，所以，而，当时，；当时，可验证，所以对于任意的，都有，即，故D正确．11.已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是（）A. B.是奇函数C.是上的增函数 D.答案：ABD解析：思路：令可求，可判断A；令，可判断函数的奇偶性，可判断B；推出，取反例验证可判断C；令，可得数列的递推公式，再求的通项公式可判断D.解答过程：对A：令，则，故A正确；对B：令，则，由A可知：，所以函数为奇函数，故B正确；对C：由，设，则，则.由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.故C错误；对D：令，可得：由得：，又，所以是以为首项，以1为公差的等差数列.所以，故D正确.故选：ABD方法提示：方法点睛：对于函数方程问题，赋值法是解决问题的突破口.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中常数项为___________．答案：解析：解答过程：x−3展开式通项为：Tk+1=C不存在的值使得，∴x2x2当且仅当时，的展开式可取到常数项，∴−32x2综上所述：的展开式中常数项为.13.记为数列的前项积，已知，则___________．答案：##解析：思路：根据和等差数列定义，结合题设条件可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果.解答过程：当时，，；当且时，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，.14.已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________．答案：−4,−3解析：思路：建立平面直角坐标系，设，；根据得到点的轨迹方程，结合点始终在以为圆心1为半径的圆外，得到的轨迹方程与圆的位置关系，将位置关系转化为关于的不等式，从而得到的范围.解答过程：以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则；由线段的长为4，可设，.则CA→=4−∴CA→⋅，；点在以为圆心，为半径的圆上.又点始终在以为圆心，为半径的圆外，圆和圆外离或者内含.∴MB>μ或，解得或；，或，即的范围是−4,−3∪5,+四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．答案：（1）分布列见解析,（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，2，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.（2）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．解答过程：（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，年龄在的人数为人，年龄在内的人数为人．年龄在内的人数为人．所以的可能取值为0，1，2．所以，，，所以的分市列为012．（2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，所以．设，若，则，；若，则，．所以当时，最大，即当最大时，．方法提示：本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.16.已知内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，为中点，求的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边化成角，结合两角和与差的正弦公式求解即可.（2）解法一：利用余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，再利用向量的方法求解出的最大值即可.解法二：利用结合余弦定理求解最大值即可.解法三：在分别使用余弦定理求解即可.（1）∵2b，，，，∴2=sinA+3又∵A∈0,π，，（2），由余弦定理，，即.由基本不等式，，即，当且仅当时，等号成立解法一，两边取平方，可得：，，当且仅当时，等号成立，取得最大值为.解法二：,,整理得2AD2，当且仅当b=c故取得最大值为.解法三：，整理得2AD2，当且仅当b=c故取得最大值为.17.如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点．（1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度；（2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积．答案：（1）4（2）解析：思路：（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可.（2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的不同坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可.（1）设直线的方程为，联立方程组，得到，因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得，此时，代入抛物线中得，由抛物线定义得．（2）由题意得直线的方程为，如图，设，，连接，联立方程组，得，则．，且，，，解得，当时，，，直线，联立方程，得，则，由已知得点为的重心，所以，同理当时，，综上所述．18.已知函数（）（1）求在区间上的最大值．（2）设，若恒成立，求的取值范围．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求出函数的导数，就、、分类讨论导数的符号后结合单调性可求最大值；（2）利用虚设零点结合不等式恒成立可求导数零点的范围，从而可求参数的取值范围.（1），令，得①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增②当，即时，恒成立，此时在区间上单调递减，③当，即时，在区间上单调递减，在区间a+1,3a上单调递增，的最大值为与中的较大者.当时，，，当时，，，当时，，综上所述：当时，，当时，.（2）由题意：令，因为在a,7故在a,74a上单调递减，而，所以存在唯一的x0∈a,