2025-2026学年山东省潍坊市高二下册期中质量监测数学试题 含答案

/山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题一、单选题1．已知数列中，，则（

）A．16 B．12 C．8 D．42．已知，则（

）A． B． C． D．3．已知实数是3与9的等比中项，则（

）A． B． C． D．64．学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，则抽中的人中有女教师的概率为（

）A． B． C． D．5．已知等比数列的前项和为，若，，则（

）A．90 B．210 C．250 D．3106．已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（

）A． B．C． D．7．已知等差数列满足，则的公差的取值范围为（

）A． B． C． D．8．甲乙丙三家AI公司同时对目标网络系统发起攻防测试，三家公司成功突破系统的概率分别为，若系统仅被1家公司突破，其瘫痪的概率为，若系统被2家公司突破，其瘫痪的概率为，若3家公司同时突破，系统必定瘫痪，则该网络系统被瘫痪的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．学校在一次调查“体育迷”的活动中，随机调查了100名同学，获得了如下数据：

性别是否体育迷男女合计体育迷45非体育迷10合计75100计算得，则下列结论正确的是（

）0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．B．是与的等差中项C．任取1人为体育迷的概率为D．没有的把握认为是否为体育迷与性别有关10．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（

）A．事件与相互独立 B．事件与互斥C． D．11．已知数列的前项和为，且，则（

）A． B．为递减数列C． D．三、填空题12．已知等比数列中，，则__________.13．已知数列满足，，则__________.14．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机抽取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则__________.四、解答题15．某人工智能公司从某年起5年的利润情况如下表所示.第年12345利润亿元3.33.64.44.85.2(1)求出关于的回归直线方程；(2)根据回归直线方程，预测该人工智能公司第6年的利润.参考公式.参考数据.16．已知数列满足(1)记，证明：数列为等比数列，并求；(2)求的前项和.17．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.(1)求质点在第3次移动后位于1的概率；(2)记质点最终位置到原点的距离为随机变量，求的分布列和期望.18．已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，若.（i）求；（ii）设为数列的前项和，证明.19．设点集，从集合中任取两个不同的点，定义两点间的距离．(1)当时，若，求的值；(2)若，记．（i）求的分布列与期望；（ii）证明：．答案1．A【详解】依题意，.2．C【详解】因为，所以.3．A【详解】是3与9的等比中项，所以，解得．4．C【详解】因为总共有名教师，任选人的总选法为组合数：种，“抽中的人中有女教师”的对立事件是“抽中人均为男教师”，即全男的选法为：种所以全男的概率为​，因此抽中的人中有女教师的概率：.5．B【详解】由题意可知成等比数列，所以，解得.6．C【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误；根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误；由图可知，，所以C正确；由图可知，，所以D错误．7．B解：，解得．8．D【详解】设分别表示甲、乙、丙突破系统，，相互独立.系统瘫痪分三种情况：仅1家突破：，瘫痪概率.仅2家突破：,瘫痪概率.3家均突破：，瘫痪概率.网络系统被瘫痪的概率为.9．ABD【详解】由题知，，，，，对于A，由上述计算知，，故A正确；对于B，，因为，所以是与的等差中项，故B正确；对于C，由表可知，随机调查的100名同学中，45名同学为体育迷,所以任取1人为体育迷的概率为，故C错误；对于D，，则没有的把握认为是否为体育迷与性别有关,故D正确．10．ACD【详解】对于A：，则，所以事件与相互独立，故A正确.对于B：若事件与互斥，则，而，故B错误.对于C：，故C正确.对于D：，，所以，而，所以，故D正确.11．BCD【详解】因为，当时，，所以两式相减得：，即，因为，所以，由累乘法求通项得：，验证当，，符合公式，因此.A：​，A错误；B：因为，所以，所以为递减数列，B正确；C：因为，，又因为，所以，而函数在单调递增，所以，故C正确；D：当时，，当，因为，且，所以，所以，所以，故不等式成立，D正确.12．18【详解】设等比数列的公比为，因为，所以.故18.13．/【详解】由，得.所以，，，，所以该数列的周期为3，所以.14．【详解】记分别为次操作后盒中有个、个、个黑球的概率，则，又，所以，，两边同时除以得，所以，，，累加得，即，又，所以，，两边同时除以得，所以，，，累加得，即，又，所以，又因为，所以，所以当时，.15．(1)(2)5.76亿元【详解】（1）依题意，，，则，，所以关于的回归方程为.（2）由（1）知，当时，所以该人工智能公司第6年的利润约为5.76亿元.16．(1)证明见解析，(2)【详解】（1）证明：，且，所以是以为首项，3为公比的等比数列，于是；（2）解：．17．(1)(2)0246【详解】（1）设事件为质点第3次移动后位于1，所以3次移动中有两次向右，一次向左，则.（2）随机变量的所有可能取值为.，，，，所以的分布列为0246.18．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析.【详解】（1）当时，，当时，，验证当时，，所以（2）（i）由得，时，，相减得：，化简得：，所以，则，又已知，当时，，所以，即，所以，即，法一：利用原题中关系式求..法二：利用乘公比错位相减求.因为，所以，则，所以，两式相减得：即：，化简得.（ii）由（1）和（i）知.所以由（i）知，所以，又因为，所以.19．(1)10(2)（i）分布列：12（ii）证明见解析【详解】（1）由题意得，所以．（2）（i）