2025-2026年高一数学人教A版必修二期末复习卷含答案详解

-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习(01)（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版必修二全册。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（

）A． B． C． D．3．已知，，若，则（）A． B． C． D．4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（

）A．4 B．6 C． D．5．如图，一个质点从原点出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动次，该质点共两次到达的位置的概率为（

）

A． B． C． D．6．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（

）A． B． C． D．7．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（多选）已知复数（i为虚数单位），则（

）A．的共轭复数为 B．的虚部为C． D．10．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（

）A．至少有一枪命中目标的概率为B．恰好有一枪命中目标的概率为C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪11．正方体的棱长为，点，分别是线段，上的动点（不含端点），且平面，则（）A．存在某个位置，使得平面B．C．线段的长度的最小值为D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为_______

13．某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____．14．三棱锥中，，，为正三角形，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，正方体中，．(1)若点为棱的中点，求证：平面平面；(2)若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．16．2026年浙江省城市足球联赛“吴越杯”于4月6日正式开赛，揭幕战在嘉兴市体育中心举行．作为浙江人自己的“世界杯”，赛事吸引了大量球迷．主办方在现场随机抽取了100位球迷，了解他们每周参加体育锻炼的时长，并根据获得的数据绘制了频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计这100位球迷每周锻炼时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数；(2)若将（1）中估计所得的平均数作为这100位球迷每周锻炼时长的总体平均数．已知这100位球迷中男性球迷每周锻炼时长的平均数是6，方差是；女性球迷每周锻炼时长的平均数是5，方差是．求这100位球迷中男性球迷和女性球迷的人数，并计算这100位球迷锻炼时长的总体方差．17．在中，角的对边分别为．已知．(1)求；(2)设边的垂直平分线交边于点D．若，，求的值．18．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．(1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；(2)若比赛采用五局三胜制，求甲获胜的概率；(3)比较（1）（2）中甲获胜的概率大小，并说明：对实力占优的一方，比赛局数越多对其越有利．19．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．

(1)求证：平面SCD；(2)求二面角的余弦值；(3)求点B到平面SCD的距离．参考答案：1．【答案】B【详解】由，得复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.2．【答案】A【详解】该组数据的平均数为，该组数据共8个数，则中位数为第4个和第5个数的平均数，是，该组数据的众数，所以.3．【答案】C【详解】因为，，且，所以，解得；于是得，，所以，则.4．【答案】A【详解】由，解得，由余弦定理得，即，则得，所以，故.5．【答案】A【详解】记质点两次到达1的位置为事件，想要质点到达1的位置两次，则有，，共两种情况，所以．6．【答案】B【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积.【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为.

正四棱台的侧面积为，一个侧面积.，解得.在正四棱台中，，即，7．【答案】C【分析】在中，利用正，余弦定理计算即可.【详解】由题意知，，在中，由余弦定理可知，所以.又由正弦定理可知，即，所以.8．已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过面面平行得到线面平行，从而找到点的轨迹，再计算长度.【详解】过作交延长线于，连接交于，因为，平面，平面，所以平面，连接，取使得，则，所以，因为平面，平面，所以平面，,所以平面平面，为底面正方形内的动点，平面，所以在上，过作交于，因为，所以，，,，所以，，所以，所以.9．【答案】BD【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误；对于B，的虚部为，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．10．【答案】AD【分析】由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD.【详解】对于A：三枪全不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，A正确；对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误；对于C、D：设枪连续命中的概率为，枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率，若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为，同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为，若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为，因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确.11．【答案】ABD【分析】A项通过中位线证明线面垂直；B项构造辅助垂线和平面，利用平行传递性及线段比例推出等量关系；C项引入变量表示线段长度，建立二次函数求最值，从而判断错误；D项通过动点过程中线面角的连续变化趋势确定其范围.【详解】对于A选项，当点分别是线段，的中点时，平面，故A正确.对于B选项，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，连接.因为，且平面，平面，所以平面，进而平面平面，所以，.又，所以，，故B正确.对于C选项，过点作的平行线，设，则，当时，的最小值为，故C错误.对于D选项，在从点至点的过程中，直线与平面所成角由连续增大至，故D正确.12．【答案】/【详解】因为，，所以，，，，..13．【答案】【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差.【详解】设原5个数据为，由原平均数为10，得，因此；由原方差为6，根据方差定义得，因此；加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等；新样本的方差.14【答案】【分析】利用球的性质找球心，利用直角三角形解出球半径，根据球表面积公式计算即可．【详解】

取的中点，连接，取的重心，因为，故外接圆的圆心在，过点作垂直于平面的直线；又为正三角形，则外接球的球心在重心点，过点作垂直于平面的直线，与平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接球的球心；因为，为正三角形，为的中点，故，，则二面角为，则；因为平面，故，可得；因为，，则，则，故，，故，则在直角三角形中，，解得，三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥的外接球的表面积为．15．【答案】(1)如图，连接，，．正方体，四边形为正方形，平面，平面，且，平面，，平面.，平面，.设正方体的棱长为2，则，，，由勾股定理得，，，，.（方法一），平面，，平面，平面平面平面.（方法二）由得二面角的大小为，所以平面平面.(2)如图，连接，过点作交于，则为平面与正方体上表面的交线．正方体，平面平面，且，∴四边形为平行四边形，，平面平面，平面平面，，.【分析】（1）连接，，，根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理及勾股定理得，（方法一）利用线面垂直判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（方法二）利用二面角平面角为证明面面垂直．（2）过点作交于，利用面面平行的性质定理证明即可.【详解】（1）略（2）略16．【答案】(1)平均数为5.7，中位数为6.25(2)男性球迷有70人，女性球迷有30人，总方差为11.05【分析】（1）根据频率分布直方图得到每组的频率从而算出平均数，找到中位数所在区间之后利用比例法求出中位数；（2）通过加权平均数求出男性球迷和女性球迷的人数，通过加权方差的方法算出100位球迷的总体方差.【详解】（1）100位球迷每周锻炼时长的平均数为：，因为区间的累计频率为，区间的累计频率为，所以中位数落在区间内，因此中位数为.（2）设男性球迷有人，则女性球迷有人，因为男性球迷每周锻炼时长平均数是6，女性球迷每周锻炼时长平均数是5，由第一问可知100位球迷每周锻炼时长的平均数为5.7，所以，解得，即男性球迷有70人，女性球迷有30人，因为男性球迷每周锻炼时长的方差为10.21，女性球迷每周锻炼时长的方差为12.31，所以100位球迷锻炼时长的总体方差为.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）先用正弦定理将已知边的关系式全部转化为角的正弦形式，展开并代入等式，消去两边相同项后提取公因式，结合三角形内角正弦不为，求出，再由角的范围确定的大小；（2）由垂直平分线性质得，得到；利用等腰外角关系得，在中列余弦定理；再对用正弦定理建立与的等式，结合二倍角公式联立求出，由为锐角开方得到．【详解】（1）由，得，即，因为，所以，所以，化简得，而，所以，又，所以；（2）因为在的垂直平分线上，所以，因为，所以，即，在中，，所以，，，在中，，，，，因为，所以，即①，在中，由，得，即②，将②代入①中，得，即，解得，所以，因为，所以，所以．18．【答案】(1)(2)(3)五局三胜制下甲获胜的概率更大；说明：实力占优的一方单局获胜概率大于，比赛局数越多，单局胜负的偶然性影响越低，累计获胜概率越高，因此比赛局数越多对实力占优方越有利.【分析】（1）（2）利用独立事件概率公式和互斥加法概率公式，分类讨论甲获胜的不同比分情况计算对应概率；（3）比较概率大小验证结论即可.【详解】（1）三局两胜制下，甲获胜为两类互斥事件的和：①前2局甲全胜，直接结束比赛；②前2局甲1胜1负，第3局甲获胜.由各局比赛相互独立，得.（2）五局三胜制下，甲获胜为三类互斥事件的和：①前3局甲全胜；②前3局甲2胜1负，第4局甲获胜；③前4局甲2胜2负，第5局甲获胜.由各局比赛相互独立，得.（3）对两个概率进行比较得，即五局三胜制下甲获胜概率更高.说明略.19.【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC，因为E，M分别为SA，SD的中点，则且，又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且，可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则，且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD．(2)(3)【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定