2025-2026学年山西晋中市高二下册素养测评（二）数学试题 含答案

/数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，其中1本是小说1本是散文的不同取法有（）A.10种 B.20种 C.36种 D.72种2.已知事件、满足，，则（）A. B. C. D.3.用数字2，3，6，9组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数是（）A.24 B.18 C.12 D.64.二项式的展开式中，的系数为（）A.-10 B.10 C.20 D.-205.一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（）A. B. C. D.6.经检测，某箱10件产品中（分别标有不同的编号）有2件一等品，其余为二等品.从中抽取3件产品，下列说法正确的是（）A.取出的3件产品中恰有2件一等品，则不同的取法有7种B.若表示取出的3件产品中一等品的数量，则C.已知取出的3件产品中有一等品，则恰有2件一等品的概率为D.若表示取出的3件产品中一等品的数量，则7.某种动物的两种性状分别为，（，均为显性性状）.抽样调查显示，具有性状的有60%具有性状，具有性状的有40%具有性状，有43%的具有性状mn，则样本中具有性状的占比为（）A.40% B.25% C.18% D.15%8.在舞台上，智能机器人随着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”.开始时，机器人在舞台中心，机器人在舞台中心正东方向2米处.下列说法中正确的是（）A.经过4秒，机器人来到舞台中心的路径有12条B.经过1秒，机器人与的距离为米的情况有2种C.经过2秒，机器人与首次相遇的情况有6种D.经过2秒，机器人与的距离为2米（未相遇）的情况有45种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量的概率分布为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.当最大时，10.将5个小球放入3个盒子中，则下列说法正确的有（）A.若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为12B.若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21C.若小球不同、盒子不同，且恰有1个盒子放3个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为60D.若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为2511.杨辉三角是的展开式的二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为.在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表.下列命题，正确的有（）A.第行有个数B.从第行起到第行，每一行的第个数之和为C.第行的所有数之和能被整除D.去除所有为的数，依次构成数列、、、、、、、、、、，则此数列前项的和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从1，2，3，4，5中任取三个数字，从6，7，8，9中任取两个数字，可以组成__________个没有重复数字的五位数.13.已知在二项式的展开式中，的系数是的系数的5倍，则__________.14.某学习软件题库中有三类试题，甲类试题占，乙类试题占，丙类试题占，小王同学正确解答这三类试题的概率分别为，，.小王同学从题库里选择一题，则他能正确解答该题的概率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.根据下列条件求值：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.16.某校为丰富学生的业余活动，开设了5项不同的活动，由甲、乙、丙三位教师负责．（1）若每位教师至多负责2项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案？（2）若每位教师至少负责1项活动，教师甲只负责1项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案？17.一个盒子中装有5个大小相同的小球，每个小球上都有一个数字，数字分别是4，5，6，7，8，现从盒子中随机摸小球.（1）摸两次，每次摸出1个小球且不放回，求两次摸到的小球上的数字既有奇数也有偶数的概率；（2）摸两次，每次摸出1个小球且不放回，已知第一次摸到的小球上的数字是奇数，求第二次摸到的小球上的数字是偶数的概率；（3）每次摸出1个小球且不放回，当摸到的小球上的数字是偶数时停止，设摸球次数为，求的分布列和数学期望.18.已知二项式的展开式可以写成，且展开式中最后三项的二项式系数的和为92.（1）求的值及展开式中系数最大的项；（2）判断数列，，，的单调性.19.用数字组成没有重复数字的正整数.（结果用数字表示）（1）可以组成多少个三位数？（2）可以组成多少个能被整除的四位数？（3）可以组成多少个偶数数字不相邻的五位数？（4）把所有的四位奇数从小到大排列后，求第个数.

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，其中1本是小说1本是散文的不同取法有（）A.10种 B.20种 C.36种 D.72种答案：B解析：解答过程：由题意，取1本小说，有5种取法；取1本散文，有4种取法，由分步乘法计数原理，得不同的取法有种.2.已知事件、满足，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用条件概率公式可求得的值.解答过程：由条件概率公式得，故.3.用数字2，3，6，9组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数是（）A.24 B.18 C.12 D.6答案：C解析：思路：首先确定个位数为3或9，然后根据分步计数原理即可求解.解答过程：奇数要求个位必须是奇数，给出的数字中奇数为，因此个位共有种选择；要求数字不重复，选完个位后还剩3个不同数字，从中任选2个排列在百位和十位，排列数为种；根据分步乘法计数原理，总奇数个数为.4.二项式的展开式中，的系数为（）A.-10 B.10 C.20 D.-20答案：A解析：解答过程：的展开式的通项为：，令，解得：，所以的系数为.5.一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由条件概率计算公式即可求解.解答过程：设事件为“两次掷骰子点数之和为4”，事件为“两次都是奇数点”，事件（点数和为4）的所有等可能有序结果：抛掷两次骰子，点数满足的结果为：，共3种，事件的结果：满足条件的结果为：，共2种，由条件概率计算公式得.6.经检测，某箱10件产品中（分别标有不同的编号）有2件一等品，其余为二等品.从中抽取3件产品，下列说法正确的是（）A.取出的3件产品中恰有2件一等品，则不同的取法有7种B.若表示取出的3件产品中一等品的数量，则C.已知取出的3件产品中有一等品，则恰有2件一等品的概率为D.若表示取出的3件产品中一等品的数量，则答案：B解析：思路：由古典概率模型计算公式和条件概率计算公式，结合组合数逐项判断即可.解答过程：从10件产品中，取出3件，不同的取法有种，其中没有一等品的不同取法有种，恰有1件一等品的不同取法有种，恰有2件一等品的不同取法有种，A错，则，B对，，D错，则取出的3件产品中有一等品，共有种，故恰有2件一等品的概率为，C错.7.某种动物的两种性状分别为，（，均为显性性状）.抽样调查显示，具有性状的有60%具有性状，具有性状的有40%具有性状，有43%的具有性状mn，则样本中具有性状的占比为（）A.40% B.25% C.18% D.15%答案：C解析：思路：由条件概率计算公式，与和事件概率计算公式求解即可.解答过程：设“具有性状”，“具有性状”，具有性状.根据题意：具有的个体中60%有：，​具有的个体中40%有：，具有（既无也无）的概率：，因此，由，得

，化简得：，解得，因此样本中具有性状的占比为.8.在舞台上，智能机器人随着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”.开始时，机器人在舞台中心，机器人在舞台中心正东方向2米处.下列说法中正确的是（）A.经过4秒，机器人来到舞台中心的路径有12条B.经过1秒，机器人与的距离为米的情况有2种C.经过2秒，机器人与首次相遇的情况有6种D.经过2秒，机器人与的距离为2米（未相遇）的情况有45种答案：D解析：解答过程：对于A，经过4秒，机器人来到舞台中心，即机器人移动4次来到舞台中心，则机器人需要有2次向西移动，剩下的2次为东西各1次或南北各1次，所以路径情况数为条，故A错误.对于B，经过1秒，机器人与的距离为米，则一个机器人在东西方向移动，另一个机器人在南北方向移动.若机器人东西方向移动，则机器人向东移动，机器人向南或向北移动，有2种情况；若机器人南北方向移动，则机器人向南或向北移动，机器人向西移动，有2种情况.所以经过1秒，机器人与的距离为米的情况有种，故B错误.对于C，经过2秒，机器人与首次相遇，即机器人与各移动2次首次相遇，分为两类：①在机器人或的起始位置相遇，②在其他位置相遇.对于①，一个机器人向东或向西移动2次，另一个机器人移动2次回到原地.若机器人移动2次回到原地，则机器人第一次向南、向西或向北移动，机器人向西移动2次，有3种情况：若机器人移动2次回到原地，则机器人第一次向东、向南或向北移动，机器人向东移动2次，有3种情况.所以有种情况.对于②，相遇位置为机器人和起始位置中点的正北或正南1米处，机器人向东、向北（南）移动，机器人向西、向北（南）移动.机器人先向北再向东移动时，机器人有2种情况；机器人先向东再向北移动时，机器人有1种情况；共有3种情况.同理，相遇位置在正南时，也有3种情况，所以有种情况.综上，经过2秒，机器人与首次相遇的情况有种，故C错误.对于D，以舞台中心为坐标原点，正东方向为轴正方向，1米为1个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，则机器人所在点为，机器人所在点为，经过2秒，机器人与各移动2次，与的距离为2米，机器人移动到点，则机器人移动到点或，有2种情况；机器人移动到点，则机器人移动到点，有种情况；机器人移动到点，则机器人移动到点或，有种情况；机器人移动到点，则机器人移动到点或，有种情况；机器人移动到点，则机器人移动到点，有种情况；机器人移动到点，则机器人移动到点或，有种情况；机器人移动到点，则机器人移动到点，有1种情况；机器人移动到点，则机器人移动到点或或或，有4种情况；机器人回到起点，则机器人回到起点，有种情况；共有种情况，其中机器人与在点相遇的情况有4种，所以经过2秒，机器人与的距离为2米（未相遇）的情况有种，故D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量的概率分布为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.当最大时，答案：AC解析：解答过程：因为随机变量的概率分布为，所以的分布列为：由，解得：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，因为在上单调递减，所以当时，，故D错误.10.将5个小球放入3个盒子中，则下列说法正确的有（）A.若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为12B.若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21C.若小球不同、盒子不同，且恰有1个盒子放3个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为60D.若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为25答案：BCD解析：思路：对于AB，根据隔板法求解；对于C，利用分步乘法计数原理列式求解即可；对于D，只需将5个球按照和分组计算方法数即可.解答过程：对于A，将5个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A错误；对于B，允许有空盒子，可先给每个盒子一个虚拟的球，即8个小球分成3组，每个盒子至少一个，由隔板法得不同的放法种数有种，故B正确；对于C，因小球不同、盒子不同，恰有1个盒子放3个球，其余盒子至少放1个球，可先确定放3个球的盒子，接着选3个球放入盒子，有种放法，再将剩下的2个球按照每盒一个球放入余下的2个盒子，有种放法，故不同的放法种数为种，故C正确；对于D，因小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则只需要将小球按照和分组即可，若按照分组，放法有种；若按照分组，放法有种，故不同的放法种数为，故D正确.11.杨辉三角是的展开式的二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为.在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表.下列命题，正确的有（）A.第行有个数B.从第行起到第行，每一行的第个数之和为C.第行的所有数之和能被整除D.去除所有为的数，依次构成数列、、、、、、、、、、，则此数列前项的和为答案：ACD解析：思路：利用二项式系数的性质可判断A选项；利用组合数的性质可判断B选项；利用二项式系数和求出第行的所有数之和，可判断C选项；分析可知第行中去除个后，有个数，这个数的和为，确定第行去除所有为的数后最后一项的项数，解方程，再结合分组求和法可判断D选项.解答过程：对于A选项，由题意知第行的数是的展开式的二项式系数，由二项式定理知第行有个数，故A正确；对于B选项，由题意知第行的第个数为，所以从第行起到第行，每一行的第个数（共个数）之和为，故B错误；对于C选项，因为第行的所有数之和为，能被整除，所以第行的所有数之和能被整除，故C正确；对于D选项，由题意知第行有个数，且所有数的和为，所以第行中去除个后，有个数，这个数的和为，所以到第行去除所有为的数，依次构成的数列有项，解，得，所以数列、、、、、、、、、、的前项和为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从1，2，3，4，5中任取三个数字，从6，7，8，9中任取两个数字，可以组成__________个没有重复数字的五位数.答案：7200解析：思路：由分步乘法计数原理结合组合数、排列数即可求解.解答过程：从1，2，3，4，5中任取三个数字，有种取法；从6，7，8，9中任取两个数字，有种取法.将取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，可以组成个五位数.由分步乘法计数原理，得可以组成个没有重复数字的五位数.13.已知在二项式的展开式中，的系数是的系数的5倍，则__________.答案：7解析：思路：由通项公式确定两项的系数，进而构造等式求解即可.解答过程：根据二项式展开式的通项公式，展开式的通项为

，因此：的系数为

，的系数为

，由题意得：

，

代入组合数公式展开：

，因为，两边约去，化简得：

，

整理得一元二次方程：

解得

或

，舍去负根，得.14.某学习软件题库中有三类试题，甲类试题占，乙类试题占，丙类试题占，小王同学正确解答这三类试题的概率分别为，，.小王同学从题库里选择一题，则他能正确解答该题的概率为__________.答案：解析：解答过程：设所选的题目为甲类试题、乙类试题、丙类试题分别为事件，所选的题目解答正确为事件，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.根据下列条件求值：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）通过赋值法即可求解；（2）由二项展开式通项公式即可求解；（3）通过令，，再联立两式，即可求解.（1）令，即，得.（2）因为的展开式的通项为，，，，，，所以，，，，，，则为偶数时，，为奇数时，，.令，得.（3）令，得；①令，得.②（①+②），得；（①-②），得.所以.16.某校为丰富学生的业余活动，开设了5项不同的活动，由甲、乙、丙三位教师负责．（1）若每位教师至多负责2项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案？（2）若每位教师至少负责1项活动，教师甲只负责1项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案？答案：（1）90（2）70解析：思路：（1）将5项不同的活动分为3组，结合分组分配的求解方法，即可得答案.（2）先考虑教师甲的选择方法，再将剩余4个项目分为2组，即可得答案.（1）由题意，有1位老师负责1项活动，另外2位老师，每人负责2项活动，即5项不同的活动分为1，2，2三组，则共有种不同的分配方案.（2）教师甲只负责1项活动，有种方法，另外2位老师，可以1人负责3项，1人负责一项，或者每人负责2项活动，则有种方法，则共有种不同的分配方案17.一个盒子中装有5个大小相同的小球，每个小球上都有一个数字，数字分别是4，5，6，7，8，现从盒子中随机摸小球.（1）摸两次，每次摸出1个小球且不放回，求两次摸到的小球上的数字既有奇数也有偶数的概率；（2）摸两次，每次摸出1个小球且不放回，已知第一次摸到的小球上的数字是奇数，求第二次摸到的小球上的数字是偶数的概率；（3）每次摸出1个小球且不放回，当摸到的小球上的数字是偶数时停止，设摸球次数为，求的分布列和数学期望.答案：（1）（2）（3）123​期望：解析：思路：（1）由古典概率模型计算公式即可求解；（2）由条件概率计算公式即可求解；（3）确定的所有可能取值，求得对应概率即可求解.（1）5个小球中，偶数共3个，奇数共2个，不放回摸两次，总基本事件数为

，既有奇又偶包含两种情况：第一次奇第二次偶、第一次偶第二次奇，符合条件的事件数为

，因此概率；（2）设事件：第一次摸到奇数，事件：第二次摸到偶数，第一次摸走1个奇数后，剩余4个小球中还有3个偶数，因此：；（3）由题意，摸球停止条件为摸到偶数，最多2个奇数，因此的可能取值为，（第一次直接摸到偶数）（第一次奇，第二次偶）​（前两次都为奇，第三次必停止）分布列：123​.18.已知二项式的展开式可以写成，且展开式中最后三项的二项式系数的和为92.（1）求的值及展开式中系数最大的项；（2）判断数列，，，的单调性.答案：（1）的值为13，（2）解析：思路：（1）通过后三项的二项式系数和求得，再结合不等式法