2025-2026学年陕西省汉中市仁德学校高二下册5月期中数学试题 含答案

/数学总分：150分第一部分（选择题共58分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.设，则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知集合，，则“”是“”的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件4.设为等差数列，为其前项和，若，则（）A. B. C. D.5.已知函数，则A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数6.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.7.函数的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.8.已知数列满足，则下列结论中不正确的有（）A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前项和二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知，且，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是10.已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（）A.数列是等比数列 B.数列是递减数列C.数列是等差数列 D.数列中，，，仍成等比数列11.已知函数，其导函数为，则（）A.直线是曲线的切线B.有三个零点C.D.若在区间上有最大值，则的取值范围为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量,，且，则实数__________．13.中，内角的对边分别为，若，，的面积，则______．14.已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求的单调增区间；（3）求在区间上的最大值和最小值．16.某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中的值：（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数：（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率．17.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.已知数列中，，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设数列满足：，求的前项和．19.已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）试讨论函数的单调性；（3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值．

数学总分：150分第一部分（选择题共58分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，，所以2.设，则的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的乘法和除法运算，结合共轭复数及复数的概念求解即可.解答过程.则，所以的虚部为.3.已知集合，，则“”是“”的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件答案：C解析：思路：先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定“”是“”的什么条件.解答过程：已知，解不等式，即，所以.判断充分性：当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立.判断必要性：若，因为集合，集合，所以的值可以为，也可以是其他值如，不一定只能是，即由“”不能推出“”，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故选：C.4.设为等差数列，为其前项和，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，则，所以.5.已知函数，则A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数答案：D解析：思路：根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，据此分析可得答案．解答过程：根据题意，f（x）＝（）x﹣2x，有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，故选D．方法提示：本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．6.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得.解答过程：因为角的终边经过点，所以，所以.故选：C7.函数的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后写出切线方程的点斜式，化简即可得解.解答过程：，所以，即切线的斜率为1，又，所以切点坐标为，所以所求的切线方程为，化简得：故选：C.8.已知数列满足，则下列结论中不正确的有（）A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前项和答案：C解析：思路：原等式变形为，可得是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求出及的通项公式，再利用分组求和法及等比数列的前项和即可求出的前项和．解答过程：因为，所以，又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，A正确：，即，B正确；为递减数列，C错误；的前项和，D正确．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知，且，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是答案：ABD解析：思路：利用不等式性质可判断A；根据基本不等式判断BD；结合二次函数性质判断C；解答过程：由，得，因为，所以，解得，又，所以，故A正确；因为，故，所以，所以，当且仅当时取等号，故B正确；由，得，所以，当时，取最小值，最小值是，故C错误；，当且仅当时，结合，即取时等号，故D正确.故选：ABD.10.已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（）A.数列是等比数列 B.数列是递减数列C.数列是等差数列 D.数列中，，，仍成等比数列答案：ABC解析：思路：先根据等比数列求.对于A：根据等比数列的定义分析判断；对于B：根据数列单调性的定义分析判断；对于C：根据等差数列的定义分析判断；对于D：根据等比中项的定义分析判断.解答过程：依题意可知，对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确；对于选项B：，所以，所以数列是递减数列，故B正确；对于选项C：设，则，所以数列是等差数列，故C正确；对于选项D：，因为，即，所以，，不成等比数列，所以D错误；故选：ABC.11.已知函数，其导函数为，则（）A.直线是曲线的切线B.有三个零点C.D.若在区间上有最大值，则的取值范围为答案：BC解析：思路：对求导，根据二次函数的性质计算判断C，根据导函数求出函数的单调性及极值点B；利用导函数求出导数值为即可确定过该点的切线方程，即判断A；根据图象及函数有最大值列式计算即可判断D．解答过程：因为，则，，所以，C正确；因为，令，得，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，且，图象如图所示：故有两个极值点，三个零点，故B正确；设切点的坐标为，则切线斜率为，则，所以不存在斜率为的切线，直线不是曲线的切线，故A错误；因为，所以若在区间上有最大值，则，所以，故D错误．故选：BC．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量,，且，则实数__________．答案：9解析：思路：根据向量的坐标表示，求解出的坐标表示，利用垂直向量的数量积为0即可求解.解答过程：解：因为，，所以，又，故，解得.故9.13.中，内角的对边分别为，若，，的面积，则______．答案：解析：思路：利用的面积求出，再由余弦定理可得答案．解答过程：因为，所以，由余弦定理可得，所以.故答案为.14.已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.答案：解析：思路：把函数零点问题转化为函数图像交点问题，由，可以画出函数以及，根据的情况分类讨论，结合函数图像的交点，即可得解.解答过程：由对任意都成立，所以函数的图像关于直线对称，先作出函数在上的图像，再作出这部分图像关于直线对称的图像，得函数的图像，如图所示：令，得，令，则函数的零点个数即函数的图像与函数的图像的交点个数，因为，所以的图像关于轴对称，且恒过定点，当函数的图像过点时，，过点作函数的图像的切线，设切点为处的切线方程为，又切线过点，所以，所以切线的斜率为，即当时，的图像与函数的图像相切，由图可知，当且仅当时，和恰有3个交点，即恰三个零点.故方法提示：本题考查了函数零点问题即函数方程问题，考查了分段函数的性质以及函数对称性，考查了数形结合思想以及利用导数求切线方程，有一定的计算量，属于较难题.本题的关键点为：（1）把函数零点问题转化为函数图像交点问题；（2）掌握过某点求切线方程.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求的单调增区间；（3）求在区间上的最大值和最小值．答案：（1），；（2）；（3）最大值为，最小值为.解析：思路：（1）由图象观察可得，求出最小正周期可得；（2）根据正弦函数性质列不等式计算求解单调增区间；（3）由，得，根据正弦函数性质求解.（1）由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以，因为，所以；（2）由（1）可知，令，解得，所以函数的单调递增区间为；（3）因为，所以，当，即时，函数有最大值为，当，即时，函数有最小值为.16.某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中的值：（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数：（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率．答案：（1）（2）93分（3）解析：（1）由题0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+20a解得：．（2）由（1）可知，数学成绩在：频率，频率，频率，频率，频率，频率，样本平均值为：，可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分；（3）由题意可知，分数段的人数为（人），分数段的人数为（人）．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，，设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件，则样本空间共包含10个样本点，所以事件的对立事件为包含4个样本点所以，所以，即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为．17.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）在线段EC上存在点P,理由见解析.解析：思路：（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明．（2）推导出，，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且．解答过程：证明：Ⅰ，M是AB的中点，，平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，解：（2）平面ABCD，，是正三角形，、MC、ME两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系则0，，0，，0，，，0，，，0，，设y，是平面BCE的一个法向量，则，令，得，轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量，二面角的余弦值为（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为．0，，，设，，则，直线AP与平面ABE所成的角为，，由，解得，在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且方法提示：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．18.已知数列中，，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设数列满足：，求的前项和．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：（1）因为，，可得，可得数列是首项为1，公差为3的等差数列；（2）由（1）可得，则；（3）由题可知，则前项和，，两式相减可得，化简可得．19.