2025-2026学年陕西省汉中市仁德学校高一下册第三次月考数学试题 含答案

/数学第一部分（选择题共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i为虚数单位，（）A. B. C. D.2.如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（）A. B. C. D.3.已知，，则（）A. B. C. D.4.已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是A.内的所有直线都与直线a异面B.内不存在与a平行的直线C.内的直线都与a相交D.直线a与平面有公共点6.已知向量，，若，则（）A. B.6 C.9 D.7.在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列结论正确的是（）A.若为纯虚数，则 B.若，则C.若，则 D.若在复平面内对应的点位于第四象限，则10.设是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则11.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（）A. B.外接圆的面积为12πC.的面积的最小值是 D.的最大值是第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设函数，则_______________________________．13.在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________.14.如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论：①四边形的周长为定值；②四边形的面积为定值；③四边形为矩形；④四边形的面积有最大值1．则其中正确的结论_______．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，（1）求的坐标及；（2）若与垂直，求实数m的值.16.已知复数z=（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z1+i+17.如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）取中点，求证：平面平面；（3）求异面直线与所成角的余弦值．18.已知函数．（1）求的最小正周期、对称轴和对称中心：（2）求在上的最值及此时的取值；（3）锐角中，，角满足，求角A的值与面积．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面.（1）求证：平面平面；（2）求直线PC与平面所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由.

数学第一部分（选择题共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i为虚数单位，（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的乘法运算直接求解.解答过程：故选：B2.如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积.解答过程：设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示：则，故，可得，还原原的图形如下图所示，则，，故.故选：A.3.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：已知sin(π−则.4.已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：根据复数的几何意义，即可判断选项.解答过程：复数对应的复平面上的点为，在第一象限.故选：A5.若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是A.内的所有直线都与直线a异面B.内不存在与a平行的直线C.内的直线都与a相交D.直线a与平面有公共点答案：D解析：解答过程：试题分析：直线不平行于，包括两种情况：或，当时，内的所有直线都与直线共面，A错；当时，内必然有直线与直线平行，B错；从而C也错；当，直线和平面有无数个公共点，当，直线与平面有唯一公共点，D正确.考点：直线和平面的位置关系.6.已知向量，，若，则（）A. B.6 C.9 D.答案：B解析：思路：利用向量共线求得，进而由向量的坐标运算求得的坐标，可求模.解答过程：因为，所以，解得，，所以，所以.故选：B.7.在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：连接，取的中点，连接，由，可得（或其补角）为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理计算即可得出结果.解答过程：如图所示，连接，取的中点，连接，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角.因为，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.8.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据函数图象变换关系求出的解析式，结合题意可得，，解不等式求得范围即可．解答过程：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.当时，，因为函数在上单调递减，所以，，解得，，当时，；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意.故实数的取值范围为.故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列结论正确的是（）A.若为纯虚数，则 B.若，则C.若，则 D.若在复平面内对应的点位于第四象限，则答案：BD解析：思路：根据纯虚数的概念判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数的几何意义判断D.解答过程：对于A：若为纯虚数，则且，解得，故A错误；对于B：若，则，得，故B正确；对于C：若，则，得，故C错误；对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得，即，故D正确.故选：BD.10.设是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：ACD解析：思路：由线面、面面的位置关系逐个判断即可.解答过程：若，，则或，错误；若，，则，正确；（面面平行的性质）若，，则或异面或相交，错误；若，，则或异面或相交，错误；故选：ACD11.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（）A. B.外接圆的面积为12πC.的面积的最小值是 D.的最大值是答案：BD解析：思路：利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求出，利用正弦定理、余弦定理逐项求解.解答过程：在中，由及正弦定理，得，则，而，因此，又，则，A错误；对于B，外接圆半径，外接圆的面积为，B正确；对于C，由余弦定理得，当且仅当时取等号，因此的面积，C错误；对于D，令，则，又，于是，整理得，因此，而，解得，即的最大值是，D正确.故选：BD第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设函数，则_______________________________．答案：解析：思路：由的最小正周期为6求解.解答过程：的周期．∴，，，.故13.在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________.答案：解析：思路：由，结合，得到，即可求解.解答过程：因为，又，所以，故14.如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论：①四边形的周长为定值；②四边形的面积为定值；③四边形为矩形；④四边形的面积有最大值1．则其中正确的结论_______．答案：①③④解析：思路：根据线面平行的性质定理判断③选项；由相似三角形性质判断①选项；借助三角形面积公式及基本不等式判断②、④选项.解答过程：因为平面，平面平面，平面，所以，同理可证，所以；又平面，平面平面，平面，所以，同理可证，所以；所以四边形为平行四边形，又，则，所以四边形为矩形，所以③正确；由相似三角形的性质得，所以，，所以，所以四边形的周长为定值，所以①正确；因为，当且仅当时取等号，所以四边形的面积有最大值，所以②错误，④正确.故①③④.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，（1）求的坐标及；（2）若与垂直，求实数m的值.答案：（1），；（2）解析：思路：（1）利用向量加法的坐标表示求出坐标,再利用坐标求出向量的模.（2）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解.（1）由，得，故.（2）由，得，，由与垂直，得，解得.16.已知复数．（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若，求实数m的值．答案：（1）0（2）±2解析：思路：（1）根据题意结合纯虚数的概念列式求解即可；（2）整理可得，结合共轭复数的概念运算求解即可.（1）因为复数为纯虚数，则，解得，所以m的值为0.（2）因为，可得，即，又因为，z=m则，，可得2m(m17.如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）取中点，求证：平面平面；（3）求异面直线与所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证.（2）易证平面，结合（1）可证结论成立.（3）利用几何法求出夹角的余弦.（1）在正方体中，连接交于，连接，则为的中点，而为的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）由为的中点，为的中点，得，，则四边形为平行四边形，，又平面，平面，于是平面，由（1）知平面，而，平面，所以平面平面．

（3）由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角，令正方体的棱长，则，，因此，所以异面直线与所成角的余弦值为.18.已知函数．（1）求的最小正周期、对称轴和对称中心：（2）求在上的最值及此时的取值；（3）锐角中，，角满足，求角A的值与面积．答案：（1）最小正周期为，对称轴为，对称中心为；（2）最小值为，此时；最大值为2，此时；（3）.解析：思路：（1）利用正弦函数的图象性质求解.（2）求出相位的范围，进而求出最值及对应值.（3）求出，再利用三角形面积公式求解.（1）由，得；由，得，所以的最小正周期为，对称轴为，对称中心为.（2）当时，，则当，即时，；当，即时，，所以的最小值为，此时；最大值为2，此时.（3）由，得，而为锐角，则，解得，又，所以面积为.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面.（1）求证：平面平面；（2）求直线PC与平面所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由.答案：（1）证明过程见解析（2）（3）解析：思路：（1）只需证明平面，只需证明（由正方形性质可得），，要证，只需证明平面即可.（2）作，垂足为，连接，从而为直线与平面所成的角，只需解直角三角形即可.（3）作，交于，连