2025-2026学年陕西省榆林市高三下册全国高考考前自测（二）数学试题 含答案

/数学满分150分、考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则在复平面内的对应点为（）A. B. C. D.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.6.已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.8.若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（）A. B.C. D.10.设函数（为自然对数的底数）.若存在，使成立，则的取值可以是（）（注：）A.1 B.4 C.8 D.1211.已知抛物线的准线方程为，是上一点，点与原点不重合，过点作准线的垂线，垂足为，直线与交于另一点，则（）A.的焦点为B.是线段的中点C.直线过定点D.存在点，使平分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分、12.已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则__________.13.双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为__________.14.有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，已知.（1）若，求的面积；（2）求的最小值.16.如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面.（1）求证：平面；（2）设，求平面与平面所成二面角的正弦值.17.已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若时，函数有3个零点，求实数的取值范围.18.已知椭圆经过点，离心率为是坐标原点，平行于的直线在轴上的截距为，且交于两点.（1）求的方程；（2）求的取值范围；（3）求证：直线与轴始终围成一个等腰三角形.19.设数列中，.（1）求证：数列是等差数列，并写出的通项公式；（2）在集合中，任取一个数组，求该数组满足成等差数列的概率；（3）在中抽出一个项数为无穷多项，公比为的等比数列，其中，记数列的前项和为，若，求的值.

数学满分150分、考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：不等式可化为，故不等式的解集为，又，所以.2.若复数满足，则在复平面内的对应点为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数的运算法则，可得z，根据几何意义，即可得答案.解答过程：由，得，所以，所以在复平面内的对应点为.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，得，设与的夹角为，则，又，所以.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，又，所以，则，即，所以.5.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．解答过程：设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点，因为四边形是边长为2的正方形，所以，由，得.由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径.又，所以，圆柱的高，所以圆柱的体积为.6.已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案.解答过程：因为函数在上单调递增，，所以，解得又在上单调递增，即；函数在上单调递增，即，解得，综上，的取值范围是.7.已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：设出等比数列的公比，根据题意列出方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式计算即可得到．解答过程：设的公比为，由得，所以.当时，，解得或.又是整数，所以；当时，，解得，此时不是整数，所以，A，B错误；，所以C错误，D正确.8.若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数单调性和特殊值条件可得，求出的取值范围及的表达式，再由结合周期确定出的表达式，确定取值，从而求得．解答过程：因为在上单调递增，，所以且，所以，又，则，故，所以，解得，因，则，所以，又，则当时，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（）A. B.C. D.答案：ABC解析：解答过程：由图可知，这5组的频率依次为，则这5组的频数依次为，将这100个零件的直径数据从小到大排序，第31个数大于或等于5.18，第65个数小于5.28，第50与第51个数之和为，所以，故A正确；若每个区间中的数都取最大值，平均数，故B正确；极差是最大数减去最小的数，所以，故C正确；众数是指这100个数中，相等的数的个数最多的那个，而在中最多有30个数相等，中最多有35个数相等，则众数，D错误.10.设函数（为自然对数的底数）.若存在，使成立，则的取值可以是（）（注：）A.1 B.4 C.8 D.12答案：BC解析：思路：分析可知原题意等价于在上有解，即在上有解，令，，利用导数分析其单调性和值域，结合选项即可得解.解答过程：因为，则，令，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则，即，可知在定义域内单调递增，若在内恒成立，则，不合题意；若在内恒成立，则，不合题意；若存在，使得，令，则，符合题意；综上所述：原题意等价于在上有解，即在上有解，令，，则，令，，则，可知在上单调递增，则，即，可知在上单调递增，且，，即，可得，结合选项可得AD错误，BC正确.11.已知抛物线的准线方程为，是上一点，点与原点不重合，过点作准线的垂线，垂足为，直线与交于另一点，则（）A.的焦点为B.是线段的中点C.直线过定点D.存在点，使平分答案：AC解析：思路：对于A：根据准线方程可得，即可得焦点坐标；对于B：设点的坐标为，可得直线的方程为，求点B的坐标分析判断即可；对于C：求直线的方程即可判断；对于D：假设成立，结合抛物线的定义分析判断即可.解答过程：对于选项A：因为抛物线的准线方程为，则，解得，则抛物线的焦点，A正确；对于选项B：设点的坐标为，则的坐标为，可得直线的方程为，联立方程，解得或，即点的坐标为，当且仅当，即时，是的中点，故B错误；对于选项C：直线的方程为，即，当时，，所以直线过定点，故C正确；若存在点，使平分，则，可得，又因为，则，又因为点不是原点，则，两者相矛盾，假设不成立，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分、12.已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则__________.答案：解析：思路：根据奇函数的性质可得，再根据奇函数的定义运算求解.解答过程：由题意可知：，解得，则当时，，所以.13.双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为__________.答案：解析：思路：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点的坐标，根据条件可求得的关系，再根据双曲线的离心率定义，即可求得双曲线的离心率.解答过程：设，渐近线方程分别为，设.由得，因为点在直线上，于是解得点坐标为，因为，所以.，所以，将代入，得，即，又，所以，所以.14.有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________.答案：##5.4解析：思路：列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可.解答过程：的可能取值为，，，，所以的数学期望.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，已知.（1）若，求的面积；（2）求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理得到，进而得到，再结合余弦定理即可求解；（2）由余弦定理结合基本不等式即可求解.（1）由及正弦定理得，又在中，，则，由正弦定理得，因为，所以由余弦定理得，所以，所以，由，解得，所以的面积为.（2）由（1）知，所以.，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.16.如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面.（1）求证：平面；（2）设，求平面与平面所成二面角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理，作出辅助线，根据平行四边形的性质，证明线面平行即可；（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量数量积的坐标表示，求出二面角的余弦值，进而根据同角三角函数关系，求出正弦值.（1）如图所示，取中点，连接，因为是中点，所以，因为是的中点，棱柱中，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.（2）取中点，连接，则，由平面知平面，因为是中点，所以，所以两两垂直.如图，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为，所以，.设平面的法向量为，因为，得，取，得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，所以，即，令，解得平面的一个法向量，设平面与平面所成二面角为，则.故.17.已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若时，函数有3个零点，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）转化问题为在上恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可；（2）令，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可.（1）因为在上为增函数，所以在上恒成立.若，则在上恒成立，满足题意；若，由对恒成立，知，则成立，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.（2）若时，由，得，设，，则，由得，由得或，所以的单调递增区间为，单调递减区间为与，又，当时，，时，，作出函数的图象，如下：要使函数有3个零点，则与的图象有3个交点，即，所以的取值范围是.18.已知椭圆经过点，离心率为是坐标原点，平行于的直线在轴上的截距为，且交于两点.（1）求的方程；（2）求的取值范围；（3）求证：直线与轴始终围成一个等腰三角形.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据点以及离心率联立方程组解得，即可求出的方程；（2）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程利用判别式解不等式可求得；（3）设直线的斜率分别为，由（2）中的表达式利用韦达定理化简可求得，从而可知直线与轴围成一个等腰三角形.（1）设的焦距为，则，因为，所以，由，解得；所以的方程为.（2）因为且在轴上的截距为，所以直线的方程为.联立，消去整理得.因为直线交椭圆于两点，所以，即，解得，又，所以的取值范围为.（3）证明：设直线的斜率分别为，，如下图：则，由，得.又，代入，得.所以，从而直线与轴围成一个等腰三角形.19.设数列中，.（1）求证：数列是等差数列，并写出的通项公式；（2）在集合中，任取一