2025-2026学年四川安岳中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学考试时间:120分钟；一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分）1.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.在区间上单调递减 B.在处取得极大值C.在区间上单调递减 D.在处取得极小值2.已知为正项等比数列，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.53..集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（）A.11 B.12 C.8 D.64.已知数列满足，则（）A.1 B.5 C. D.5.若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（）A.1 B.2 C.e D.6.若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.或 D.7.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分）9.A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A，不相邻，有72种排法 B.若A，不相邻，有48种排法C.若A，相邻，有48种排法 D.若A，相邻，有24种排法10.设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（）A. B.C.是等比数列 D.若，数列前n项和，则11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）A.函数有三个零点B.当时，C.，，都有D.若方程有三个解，则实数的取值范围是三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分）12.在数列中，，（为正整数），则__________.13.用0，1，2，3，4能组成___________个无重复数字的三位偶数.（用数字作答）14.已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________．四、解答题（共5小题，共77分）15.已知函数．（1）求函数的单调区间和极值．（2）若对恒成立，求实数的取值范围．16.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：17.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值．18.已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项的和；（3）若，求满足条件的最大整数．19.已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（3）若在上存在两个极值点，求的取值范围.

数学考试时间:120分钟；一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分）1.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.在区间上单调递减 B.在处取得极大值C.在区间上单调递减 D.在处取得极小值答案：C解析：解答过程：选项A，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故选项A错误；选项B，当时，，则在上单调递增，则在处不能取得极大值，故选项B错误；选项C，当时，，则在上单调递减，故选项C正确；选项D，时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递增，则在处不能取得极小值，故选项D错误.2.已知为正项等比数列，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：解答过程：由数列为正项等比数列，得，所以.3..集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（）A.11 B.12 C.8 D.6答案：A解析：思路：先利用计数原理得出所有的个数，再减去重复数字即可.解答过程：分两种情况讨论：情况一，从集合A中取数作横坐标，从集合B中取数作纵坐标，则有个元素，有个元素，共可构成个点：(2,1),(2,2),(2,4),(情况二，从集合B中取数作横坐标，从集合A中取数作纵坐标，则有个元素，有个元素，共可构成个点：(1,2),(1,3),(2,2),(两种情况中，重复计算了横、纵坐标均来自集合的点，即点，因此，所有不同点的个数为.4.已知数列满足，则（）A.1 B.5 C. D.答案：B解析：思路：根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可.解答过程：因为，所以，，，，……所以数列为周期数列，周期为3，又因为，所以.5.若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（）A.1 B.2 C.e D.答案：B解析：思路：本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解.解答过程：令，，则，．设直线与曲线相切于点，则，解得，所以公切线，即.令，解得，所以，解得．故选：B.6.若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，有两个零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，和端点函数值，构造不等式求解即可.解答过程：当时，则，，所以在上单调递增，且，，在内存在唯一零点；因为函数在其定义域内恰有三个零点，所以当时，有两个零点，，令，则或（舍去），在上单调递减，在上单调递增，又当，时，，且，当时，，所以当时，有两个零点时，需满足，解得.7.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题，再通过分离参数，最后构造函数求解问题.解答过程：当时，不等式恒成立可变形为,设,那么当时,有,即在区间上单调增，在上成立，即,设,那么,令,得,令,得,令,得,所以，函数在处取得极小值，也就是最小值，,,实数a的取值范围为.方法提示：本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题.8.已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式恒成立求实数的取值范围.解答过程：当时，，当时满足上式，所以，所以，所以所以，由可得，即恒成立，因为对勾函数在单调递增，所以当时有最小值为64，所以，故选:A.二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分）9.A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A，不相邻，有72种排法 B.若A，不相邻，有48种排法C.若A，相邻，有48种排法 D.若A，相邻，有24种排法答案：AC解析：思路：求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD.解答过程：A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误；A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.故选：AC10.设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（）A. B.C.是等比数列 D.若，数列前n项和，则答案：ACD解析：思路：根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D.解答过程：当时，，解得.当时，，，即，数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故.A，，正确；B，，，，错误；C，，则，是以4为首项，2为公比的等比数列，正确；D，，，，，正确.11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）A.函数有三个零点B.当时，C.，，都有D.若方程有三个解，则实数的取值范围是答案：AC解析：思路：A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围.解答过程：对于A：当时，令，得，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，，所以有三个零点，故A正确；对于B：当时，，则，因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误；对于C：当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在取到极大值，极大值为，且当时，；，，所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下：由图可知，，，都有，所以，故C正确；对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点，所以，即，故D错误.三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分）12.在数列中，，（为正整数），则__________.答案：15解析：思路：根据累加法求解即可.解答过程：由，则，，，，则，即，所以.13.用0，1，2，3，4能组成___________个无重复数字的三位偶数.（用数字作答）答案：30.解析：思路：按照0是否在末位分类讨论可得；或先从0，2，4中任选一个数作为个位数，然后从剩下的4个数字中任选2个排在十位和百位，这里还含有百位为0的数字，再减去百位为0的偶数可得答案.解答过程：方法一：末位是0的有：，末位不是0的有：，共有12＋18＝30个．方法二：排除法（个位是偶数的情况下，去掉百位是零的情况）：故30.14.已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________．答案：3解析：思路：由题意得出有两个变号零点，把进行同构变形为，利用导数知识得出问题等价于,即在上有两个不等的实根，然后通过确定函数的性质得出范围，从而得出的范围结论．解答过程：的定义域是,,由题意在上有两个变号的零点，设，则在上有两个相异实根，等价于方程在上有两个相异实根，方程化为，即，设，则在上恒成立，所以在上是增函数，又，因此，即，所以问题等价于,即在上有两个不等的实根，设，则，当时，，在上递增，当时，，在上递减，所以函数在处取得极大值，作出的大致图象及直线，如图，由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点，又，所以所求的范围是，从而的最小整数值为3.四、解答题（共5小题，共77分）15.已知函数．（1）求函数的单调区间和极值．（2）若对恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值；（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围.（1）因为，则，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，减区间为，函数的极大值为，极小值为.（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，故当时，，因为对恒成立，则，解得，因此，实数的取值范围是.16.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案（2）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证.（1）设等差数列的公差为，则①，又成等比数列，所以a32=a整理得②，联立①②，解得，所以.（2）由（1）得cn则H=17.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求导得解析式，分别讨论和两种情况，根据的正负，可得的单调区间，综合分析，即可得答案.（2）分别讨论、、和四种情况，根据的正负，可得的单调性，求出的最小值，根据条件，求出a值，综合分析，即可得答案.（1）因为，函数的定义域为，所以，当时，恒成立，则在上单调递减；当时，令，解得或（舍去），当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，则在上单调递减，所以，解得，不合题意，故舍去；当时，若即，则在上单调递增，所以，解得，符合题意；若即，则在上单调递减，所以，解得，不符合题意；若即，则在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；综上，函数在区间上的最小值为1时，.18.已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项的和；（3）若，求满足条件的最大整数．答案：（1）证明见解析（2）（3）2025解析：思路：（1）对两边取倒数并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断；（2）先求得，利用错位相减法求解即可得到；（3）由，利用分组求和法求出，再令，得到满足条件的最大整数．（1）由且，可得，，即，，数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）知，则所以，则，两式相减，，.（3）由（1）知，则，由，即，，，所以，因为，所以，当时，，满足条件；当时，，不满足条件，故满足条件的最大整数．19.已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（3）若在上存在两个极值点，求的取值范围.答案：（1）