2025-2026学年四川合江县马街中学校高考考前适应性模拟考试数学试题 含答案

/数学满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷选择题（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.已知，则在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设甲：；乙：，则甲是乙的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.充分不必要条件4.已知是等差数列的前n项和，若，则（）A.33 B.44 C.55 D.665.某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（）（参考数据：，，）A.4个月 B.5个月 C.6个月 D.7个月6.人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（）A. B. C. D.7.二项式的展开式中有理项的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.18.已知，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数是偶函数，且其定义域为，则（

）A. B.C.函数的定义域为 D.函数的最小值为10.已知数列的前项和为，且，则（）A.数列是等差数列B.数列是单调数列C.数列中不存在不同的两项，使是这两项的等比中项D.记数列，则数列的前2026项的和为202611.伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程可以为B.若，则C.有且仅有一个点，使得D.的最小值为第Ⅱ卷非选择题（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则________．13.已知直线：与双曲线：的左、右两支分别相交于，两点，为坐标原点，为的右焦点，若，则双曲线的离心率为________.14.三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的周期为，图象关于直线对称．（1）求的解析式；（2）在钝角三角形中，角，，所对的边为，，，若，，，为的中点，求的长．16.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，M是棱的中点，且．（1）求证：平面；（2）棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．17.某研发系统内在初始时刻有一个可分裂粒子，在第1分钟末这个粒子分裂成两个新粒子，共有三种分裂情况：产生两个可分裂粒子，其概率为；产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，其概率为；产生两个不可分裂粒子，其概率为.新产生的每个可分裂粒子在1分钟末又会按照上述分裂情况分裂成两个新粒子，不可分裂粒子在1分钟末被移出系统.称系统中没有可分裂粒子时能量达到峰值.（1）求第2分钟末时能量首次达到峰值的概率；（2）记初始时刻后2分钟末时的可分裂粒子个数为，求的分布列和数学期望.18.已知函数．（1）若，求在上的最值．（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的最大值．19.在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若在曲线上存在三个点，使得的角平分线为，求直线的斜率；（3）过点的直线与曲线交于两点（点在轴上方），点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为，若线段的中点分别为，求面积的取值范围．

数学满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷选择题（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据补集的定义计算，需注意集合中元素的取值范围要求．解答过程：根据补集的计算法则可知.2.已知，则在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：由复数的运算法则求出，由共轭复数的概念得，进而得其在复平面内对应的点的坐标，即可得解.解答过程：由题意可得，故，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.设甲：；乙：，则甲是乙的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.充分不必要条件答案：D解析：思路：结合函数的单调性、对数函数运算及充分条件与必要条件的定义计算即可得结论.解答过程：由，得，所以，所以，又在上单调递增，所以，所以甲是乙的充分条件，由，可得，所以，得不出，所以甲是乙的不必要条件，综上所述：甲是乙的充分不必要条件.故选：D.4.已知是等差数列的前n项和，若，则（）A.33 B.44 C.55 D.66答案：C解析：思路：根据等差数列下标的性质和等差数列前项求和公式计算即可求解.解答过程：由题意知，，所以.故选：C5.某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（）（参考数据：，，）A.4个月 B.5个月 C.6个月 D.7个月答案：B解析：思路：根据题意可得方程,再取对数法解指数方程可得.解答过程：设经过个月，新型AI处理器算力是传统处理器的2倍．若初始算力均为，则，整理得，两边取常用对数，得，所以大约需要经过5个月．6.人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意得，是关于的一次函数，若满足时恒成立，则有，，进而可求得的取值范围.解答过程：由题意得，是关于的一次函数，且有时恒成立，则有，解得，取交集得，因此输入特征值的取值范围是.故选：B.7.二项式的展开式中有理项的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：B解析：思路：由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果.解答过程：二项式展开式的通项为．其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项．故选：B．8.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据已知化简可推得，两边平方整理得出，求解得出，进而根据二倍角的余弦公式，求解即可得出答案.解答过程：由已知可得，，显然，两边同时乘以可得，，整理可得，所以，，两边同时平方可得，即，解得或.当时，，此时，不满足题意，舍去.所以，.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数是偶函数，且其定义域为，则（

）A. B.C.函数的定义域为 D.函数的最小值为答案：BC解析：思路：利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，可判断A选项；利用二次函数的对称性可判断B选项；求出函数的定义域，可判断C选项；利用二次函数的最值可判断D选项.解答过程：对于A选项，因为函数是偶函数，且其定义域为，则，解得，A错；对于B选项，二次函数的对称轴方程为，可得，B对；对于C选项，因为，，即函数定义域为，C对；对于D选项，，D错.故选：BC.10.已知数列的前项和为，且，则（）A.数列是等差数列B.数列是单调数列C.数列中不存在不同的两项，使是这两项的等比中项D.记数列，则数列的前2026项的和为2026答案：ABD解析：思路：对A，根据前项和为与的关系，由作差法得，再根据等差数列的定义，验证是否为常数来判断；对B，先求出数列的通项，再通过判断的符号，由此确定单调性；对C，假设存在不同两项，，根据等比中项的定义列出等式，结合通项公式分析是否存在正整数，满足等式；对D，先根据的通项公式化简，结合并项求和法得数列的前2026项的和．解答过程：对于A选项，已知数列的前项和为，且，当时，；当时，，对也成立，因此通项公式为，又（常数），所以数列是首项为2、公差为2的等差数列，故A选项正确；对于B选项，设，则对所有成立，因此数列是单调递减数列，故B选项正确；对于C选项，由A选项可得，若存在不同两项，使得，则，所以，存在正整数解，，满足条件，故C选项不正确；对于D选项，，设的前项和为，则，故D选项正确．11.伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程可以为B.若，则C.有且仅有一个点，使得D.的最小值为答案：AD解析：思路：由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为钝角，从而判断C；由基本不等式判断D．解答过程：对于：由，解得，则椭圆的标准方程为，故A正确；对于B：由定义可知，由余弦定理可得，，解得，则，故B错误；对于C：当点为短轴的一个端点时，最大，此时为钝角，则椭圆上存在四个不同的点，使得，故C错误；对于D，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：AD．第Ⅱ卷非选择题（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则________．答案：解析：思路：根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.解答过程：因为，则.故答案为.13.已知直线：与双曲线：的左、右两支分别相交于，两点，为坐标原点，为的右焦点，若，则双曲线的离心率为________.答案：解析：思路：根据可得到，设，利用求出点坐标，代入双曲线方程结合即可求出答案.解答过程：因为，所以可化为，即，所以，设，则，，则，解得，所以，代入双曲线方程得，即，根据代入整理得，即，解得或（小于，舍去），所以.14.三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是_____．答案：解析：思路：利用外接球的定义，先求出和外接圆的半径，再求出外接球的半径，根据公式求解球的表面积.解答过程：设的外接圆圆心为，半径为,的外接圆圆心为，半径为,三棱锥的外接球的半径为.由题，,，设的中点为，则.设二面角的平面角的大小为，则,，因为，所以四点共圆，且为直径，由正弦定理可知，故外接球半径.令,,所以当时，.所以.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的周期为，图象关于直线对称．（1）求的解析式；（2）在钝角三角形中，角，，所对的边为，，，若，，，为的中点，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由周期可求出的值，再由图象关于直线对称可求出的值，从而可求出函数解析式；（2）先由求出角，再在中利用余弦定理求出和，然后在中由余弦定理可求出的长．（1），，图象关于对称，，，，（2），∵，∴，或（舍去），或在中，由余弦定理得，解得由余弦定理得,∵为的中点，∴，在中由余弦定理得，∴.16.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，M是棱的中点，且．（1）求证：平面；（2）棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明见解析（2）存在，.解析：思路：（1）直接利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标，由线面角可得点N坐标，从而可得比值.（1）因为在中，，所以，所以．又因为底面底面，所以．因为平面，所以平面．（2）如图以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．因为M是棱的中点，所似．所以．设为平面的法向量，所以，即，所以平面的法向量．因为N是棱上一点，所以设．设直线与平面所成角为，因为，所以．因为平面的法向量．解得，即，所以．17.某研发系统内在初始时刻有一个可分裂粒子，在第1分钟末这个粒子分裂成两个新粒子，共有三种分裂情况：产生两个可分裂粒子，其概率为；产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，其概率为；产生两个不可分裂粒子，其概率为.新产生的每个可分裂粒子在1分钟末又会按照上述分裂情况分裂成两个新粒子，不可分裂粒子在1分钟末被移出系统.称系统中没有可分裂粒子时能量达到峰值.（1）求第2分钟末时能量首次达到峰值的概率；（2）记初始时刻后2分钟末时的可分裂粒子个数为，求的分布列和数学期望.答案：（1）（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求解即可.（2）判断出的取值，根据独立事件的乘法公式及全概率公式求出对应的概率，即可得到分布列，进而求出数学期望.（1）设第2分钟末时能量首次达到峰值的概率为.第2分钟末时能量首次达到峰值可分为两种情况：第1分钟末产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，第2分钟末该可分裂粒子产生两个不可分裂粒子；第1分钟末产生两个可分裂粒子，第2分钟末分别产生两个不可分裂粒子.，，所以.（2）显然的取值可以是0，1，2，3，4，，，，，，01234于是.18.已知函数．（1）若，求在上的最值．（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的最大值．答案：（1）最小值为，最大值为（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）解析：思路：（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，然后与端点值进行比较即可求得最值；（2）（ⅰ）令，并用导数研究其单调性，根据单调性找到隐零点，结合函数在区间单调性即可确定根的唯一性，即可证明.（ⅱ）先求得，然后，利用导数求出单调区间，即可求解最大值.（1）若，则，所以，令，可得或，令，可得或，令，可得，故在单调递减，，单调递增.所以.在处取得最大值，在处取得最小值，又，所以在上的最小值为，最大值为；（2）（ⅰ）令，则，令，显然在上单调递增，又，，所以存在唯一的，满足，即，且当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，是在上的极小值，也是最小值，又因为，要使在上仅有一个实根，必需，所以；（