2025-2026学年四川江油中学高一下册5月教学质量检测数学试题 含答案

/数学考试时间：120分钟总分：150一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.2.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.3.若平面内的两个向量满足，且，则（）A. B. C. D.14.已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（）A. B. C.12 D.105.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.6.在中，若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形C.等腰直角三角形 D.不含的直角三角形7.在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.不确定8.已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.B.的虚部为1C.若，则的最大值为2D.若是关于的方程的根，则10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.外接圆的面积为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为11.已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（）A.若，且，则B.若，则C.若，则动点的轨迹经过的内心D.若，则动点的轨迹经过的外心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上.12.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．13.已知向量a=(3,−4),b=(m,1)，若，向量14.在中，已知，则的形状为________．四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，．（1）证明：；（2）求D到平面MOB的距离．17.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，，的平分线交于点，求线段的长；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.18.如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上.（1）若为中点，求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，设点P为的费马点，求；（3）设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值.

数学考试时间：120分钟总分：150一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，所以.2.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为是边上靠近点的三等分点，所以，又因为，所以.3.若平面内的两个向量满足，且，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：应用数量积运算律计算得出，再应用夹角余弦公式计算求解.解答过程：因为，所以所以，所以.4.已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（）A. B. C.12 D.10答案：D解析：思路：求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得.解答过程：梯形中，，而，则梯形的高，因此梯形的面积，而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，所以原图形OABC的面积为.故选：D5.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由扇形的弧长公式与面积公式求解即可解答过程：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径为，因为底面周长，所以扇形的弧长，所以，所以圆锥的侧面积为，故选：D6.在中，若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形C.等腰直角三角形 D.不含的直角三角形答案：B解析：思路：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论.解答过程：由和正弦定理，可得，因，代入上式，化简得：，即，故得或，当时，，所以，此时是直角三角形；当时，，又，，则或（舍去），此时为等腰三角形.综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形.故选：B.7.在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.不确定答案：C解析：思路：根据判断即可.解答过程：因为，所以所以，即，所以这样的三角形解的个数为2个，如图.8.已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积.解答过程：如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心，取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则.因为，所以，所以，.设外接球的半径为，则，，又，，所以，解得.故正三棱锥外接球的表面积.故选：C.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.B.的虚部为1C.若，则的最大值为2D.若是关于的方程的根，则答案：ABC解析：解答过程：对于A，，故A正确;对于B，对于复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部；则复数的虚部为1，故B正确;对于C，设，，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；，其几何意义是圆上的点到的距离.圆心到点的距离为1，圆的半径为1，圆上的点到点的最大距离为1+1=2，即的最大值为2，故C正确;对于D，是关于的方程的根，，整理得；，解得，；，故D错误.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.外接圆的面积为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为答案：BC解析：思路：A.利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解.解答过程：因为，由正弦定理得，因为，所以，则，即，故A错误；由正弦定理得外接圆的半径为，即，所以外接圆的面积为，故B正确；由余弦定理得，即，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确；由，得，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的周长为，故D错误，故选：BC11.已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（）A.若，且，则B.若，则C.若，则动点的轨迹经过的内心D.若，则动点的轨迹经过的外心答案：ABD解析：思路：A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心.解答过程：A选项，因为，所以，所以，同理可得，故点是的垂心，故，故A正确；B选项，取的中点，则，故，故⊥，取的中点，则，故，故⊥，故点P是的外心，故，B正确；C选项，由正弦定理得，故，故，取的中点，则，故点P在的中线上，重心在其上，故C错误；D选项，，设的中点，，所以，，所以，故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确.故选：ABD方法提示：结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，点为所在平面内的点，且，则点为的外心，点为所在平面内的点，且，则点为的内心，三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上.12.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．答案：解析：解答过程：在中，由余弦定理得，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，所以，在中，，故．13.已知向量a=(3,−4),b=(m,1)，若，向量答案：解析：解答过程：，由得，即，解得m=−7,a⋅∴向量在上的投影向量为.14.在中，已知，则的形状为________．答案：等腰或直角三角形解析：思路：借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解.解答过程：由正弦定理及余弦定理可得：，即有，化简得，故或，则为等腰或直角三角形.故等腰或直角三角形.四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算列方程求解参数；（2）先根据数量积大于0列出不等式，再排除向量同向共线的情况，得到参数的取值范围（1），解得；（2）若向量与的夹角为锐角，则c⋅b>0且与不同向共线，且，解得且，或.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，．（1）证明：；（2）求D到平面MOB的距离．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明（2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解（1）连接PO，BD，如图一所示，，，∵平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，平面ABCD，，又∵PD⊥OB，PO∩PD又平面PAD，.（2）由（1）得,又∵O为AD的中点,，,是正三角形，,∴AB=AD=2，法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系，则，，设平面MOB的一个法向量为，则即，取，则，∴n=(2,0,−1)，∴点D到平面MOB的距离d=∴点D到平面MOB的距离为.法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h，∵OM∴S△DOB=32，S△MOB=即，VM−DOB=，∴点D到平面MOB的距离为.17.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，，的平分线交于点，求线段的长；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角；（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；（3）方法一：作于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围（1）即因，则，故，解得.（2）由（1）已得由为的平分线，可得设，由可得，即解得，即.（3）方法一：如图，作于点，过点作，交直线于点，当点在之间时，为锐角三角形∴，即，因，则得，的面积的取值范围为.方法二：由正弦定理，可得∵均为锐角解得故可得故又，的面积的取值范围为18.如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上.（1）若为中点，求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论.答案：（1）证明见解析（2）（3）存在，证明见解析.解析：思路：（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论；（2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值；（3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面.（1）连接交于点，连接，因为是正方形，所以为中点，所以在中，为中位线，，又平面，平面，平面；（2）取的中点，因为为中点，所以在中，为中位线，所以，，所以为异面直线与所成角（或其补角），在中，，，，由余弦定理可得，又，所以为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为；（3）当是棱中点时，平面证明如下：取中点，连接，，则，平面，平面，平面，在中，为中点，为中点，平面，平面，所以平面；，所以平面平面；平面，平面19.“费马点”是由十七世纪法国数学