2025-2026学年四川凉山州西昌市高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学满分为150分，考试时间120分钟.一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知函数的导数为，则（）A.1 B. C.0 D.2.年意大利米兰冬奥会期间，组委会选派名翻译志愿者分别承担汉语、英语、日语、韩语四个不同语种的翻译工作（名翻译志愿者均精通汉语、英语、日语、韩语），则不同的选派方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种3.下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（）A. B.C. D.4.已知函数在处可导，且，则（）A. B. C.1 D.5.为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（）A.36种 B.48种 C.72种 D.144种6.过点且与曲线相切的直线方程是（）A. B.C. D.7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值10.若，下列等式中正确的是（）A. B.C. D.11.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（）A.有两个极值点B.的最大值为C.D.当时，三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的单调递增区间是，则__________.13.某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________.14.已知不等式对一切都成立，则的最小值是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.求下列函数的导数：（1）（2）（3）16.已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值．17.从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人.（1）项目组有多少种不同的选派方案？（2）现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案.18.已知函数.（1）若，求的最值；（2）讨论的单调性；（3）当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且.19.已知函数.（1）若是的极值点，求的值；（2）若函数存在两个不同的极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明.

数学满分为150分，考试时间120分钟.一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知函数的导数为，则（）A.1 B. C.0 D.答案：B解析：解答过程：，故.2.年意大利米兰冬奥会期间，组委会选派名翻译志愿者分别承担汉语、英语、日语、韩语四个不同语种的翻译工作（名翻译志愿者均精通汉语、英语、日语、韩语），则不同的选派方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：解答过程：第个语种（汉语）可以从名志愿者中选人，有种选择；第个语种（英语）从剩下的名志愿者中选人，有种选择；第个语种（日语）从剩下的名志愿者中选人，有种选择；第个语种（韩语）只能选剩下的名志愿者，有种选择，所以总的选派方案数是．3.下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：对于A，是幂函数，图象关于轴对称，不符合题意；对于B，是由函数向上平移一个单位长度得到的，因为的图象关于原点对称，所以的图象不关于原点对称，不符合题意；对于C，，为偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，令，则，因为，所以图象关于原点对称，符合题意.4.已知函数在处可导，且，则（）A. B. C.1 D.答案：D解析：思路：根据导数的定义求解．解答过程：，所以．5.为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（）A.36种 B.48种 C.72种 D.144种答案：C解析：思路：利用插空法，先安装3个不同的新能源汽车充电区，再将2个不同的电动自行车充电区插入到4个空位中即可．解答过程：先安装3个不同的新能源汽车充电区，则有种，再将2个不同的电动自行车充电区插入到4个空位中，则有种，所以不同的安装方案共有种．故选：C6.过点且与曲线相切的直线方程是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.解答过程：，点不在曲线上，设切点为，则，解得：，得切点，则切线方程为：，故选：．7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得；函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立.，，在上恒成立，即.，，；，当且仅当，即时等号成立；，即；实数的取值范围是.8.定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集解答过程：为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求，当时，设，，所以为偶函数，，时，，，故在上单调递增，当时，，又，故，所以，故，为偶函数，故在上单调递减，时，，又，所以，故，所以不等式的解集为二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值答案：ABD解析：解答过程：由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确；函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确.10.若，下列等式中正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据排列数、组合数的计算公式逐项分析即可判断ACD，再由组合数的性质判断B得解.解答过程：A，因为，故A正确；B，由组合数的性质知，，故B错误；C，因为，故C正确；D，由，故D正确.故选：ACD11.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（）A.有两个极值点B.的最大值为C.D.当时，答案：BD解析：思路：由题意列出方盒体积方程为，化简方程，对方程进行求导即可判断选项AB；选项C为对称轴性质，没有对称轴；选项D，当时，可以得出，由对称中心性质即可得出结论.解答过程：，，令，解得，因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；则在处(唯一极大值点)取得极大值，也是最大值，无极小值点.，故A错误，B正确；，故C错误；当时，可以得出，所以，……一共有9组和为2的数对，再加上，则，故选项D正确.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的单调递增区间是，则__________.答案：2解析：解答过程：因为函数的对称轴为，则其单调递增区间为，依题意可得，解得.13.某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________.答案：解析：解答过程：要求至少有一道“有害垃圾”题的概率，可以先求一道“有害垃圾”题都没有的概率.总抽法数种，一道“有害垃圾”题都没有的抽法数.故所求概率为.14.已知不等式对一切都成立，则的最小值是______.答案：解析：思路：令，求出导数，分类讨论进而得到，可得，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值.解答过程：令，不等式对一切都成立等价于对一切都成立，因为，，若，则恒成立，即时函数单调递增，无最值；若，令得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数在时处取得极大值，也为最大值，为，，，，令，，令得，在上，，函数单调递减，在上，，函数单调递增，当时，，所以的最小值为.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.求下列函数的导数：（1）（2）（3）答案：（1）；（2）；（3）解析：思路：（1）本小问主要考查导数的减法运算法则和基本初等函数求导公式，对每一项分别求导，再相减即可；（2）本小问主要考查导数的商的运算法则与复合函数的导数，代入求导公式计算即可；（3）先将函数表达式进行化简，再根据导数加法运算法则及复合函数的导数，进行求导即可.（1）解：；（2）解：；（3）解：由，所以.16.已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值．答案：（1）（2）的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值，极小值．解析：思路：（1）先求函数在处的函数值与导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程．（2）先求导并因式分解，根据导数的正负判断函数单调性，再结合单调性确定极大值点、极小值点，代入原函数计算极值．（1）由，得，因为，，所以在点处的切线方程为，即．（2）的定义域为，，令，得或，令，得或，令，得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，取极大值，当时，取极小值．17.从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人.（1）项目组有多少种不同的选派方案？（2）现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案.答案：（1）60（2）660解析：思路：（1）结合题意分选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师两种情况求解即可；（2）结合（1）分两种情况讨论求解即可.（1）由题意可得，选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师，若选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师，此时有种不同的选派方案；若选派4人中可以有2名工程师和2名数据分析师，此时有种不同的选派方案；综上：项目组有60种不同的选派方案.（2）若选派4人中有1名工程师和3名数据分析师，若3名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案，若3名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案；若选派4人中有2名工程师和2名数据分析师，若2名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案，若2名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案；综上：有种不同的分配方案.18.已知函数.（1）若，求的最值；（2）讨论的单调性；（3）当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且.答案：（1）函数的最小值为，无最大值；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（3）证明见详解解析：思路：（1）利用导数求出函数的单调性，进而求最值；（2）求导，分类讨论判断导数正负，求单调区间即可；（3）由（2）可得，利用单调性和零点存在性定理可得在上存在唯一零点；可得，得，，构造函数，，利用导数求出最值，得证.（1）当时，，则，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以函数的最小值为，无最大值.（2）由，当时，，所以当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增；当时，令，得或，当时，，有，即在R上单调递增；当时，，所以当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增；当时，，所以当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增；综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（3）因为，由（2）知在上单调递增，