2025-2026学年四川绵阳中学英才学校高一下册第一次月考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.化简：等于（

）A. B. C. D.2.已知，，则（）A.3 B.4 C.5 D.63.已知向量，若，则实数（）A.2 B. C.-1 D.-24.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形6.在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（）A. B.C. D.7.海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里8.在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（）A.3 B. C.2 D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的）9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.可以作为平面基底10.如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.已知向量，则（

）A.向量的夹角为B.若，则C.若，则D.向量在向量上的投影向量为第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．（注意：在试题卷上作答无效）12.已知，与的夹角为，则______

.13.已知向量,．若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为_______________．14.如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求的值.16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，已知，，B＝30°.（1）求角A的大小；（2）求△ABC的边的长．17.已知中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求.18.如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点．（1）求中线AM的长；（2）求的余弦值；（3）求面积．19.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，（1）求的模长；（2）设，若，求实数的值；（3）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．

数学满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.化简：等于（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程.2.已知，，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：解答过程：根据向量坐标减法法则，，则.3.已知向量，若，则实数（）A.2 B. C.-1 D.-2答案：B解析：思路：利用向量垂直的条件直接求得.解答过程：因为向量，且，所以，解得.故选：B4.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接根据投影向量的定义计算可得.解答过程：因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为.故选：A.5.在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形答案：A解析：思路：由余弦定理代入整理得，进而得答案.解答过程：解:由余弦定理,故代入边角互化得:,整理得:所以,故三角形为等腰三角形.故选：A方法提示：本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化.6.在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解.解答过程.故选：D.7.海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里答案：D解析：思路：根据题意利用正弦定理求解即可.解答过程：如题图，，，由正弦定理，得，解得，故选：D．8.在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（）A.3 B. C.2 D.答案：B解析：思路：由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.解答过程：由余弦定理得，即，即，又，，即，当且仅当时等号成立.，..故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的）9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.可以作为平面基底答案：AD解析：解答过程：由向量可得，即A正确；易知，所以，故B错误；又，所以不垂直，即C错误；假设存在实数满足，即可得，显然该方程组无解，即不共线，因此可以作为平面基底，即D正确.10.如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：根据正六边形的性质，结合向量加法，模长，数量积定义可解.解答过程：对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误.对于B,,故B正确.对于C，,故C正确.对于D，,,根据正六边形性质知道，且.故.故D错误.故选：BC．11.已知向量，则（

）A.向量的夹角为B.若，则C.若，则D.向量在向量上的投影向量为答案：ABD解析：思路：对于A，由向量夹角的余弦公式计算即可求解判断；对于B，由垂直关系的向量表示计算求解即可判断；对于C，由平行关系的向量表示计算求解即可判断；对于D，由投影向量定义计算求解即可判断.解答过程：对于A，向量的夹角的余弦值为，因为，所以向量的夹角为，故A正确；对于B，因，所以，故B正确；对于C，，故若，则，解得，故C错误；对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．（注意：在试题卷上作答无效）12.已知，与的夹角为，则______

.答案：解析：解答过程：因为，与的夹角为，所以，所以13.已知向量,．若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为_______________．答案：解析：思路：根据夹角为锐角可知数量积大于0且两向量不同向，解不等式可得结果.解答过程：因向量与的夹角为锐角，则可得，由①解得，由②解得；故实数的取值范围为.14.如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________．答案：解析：思路：设，，先利用余弦定理求出，进而同法求出表达式，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求出的最大值.解答过程：设，，因为，则，，由余弦定理，可得，因为，则.在中，，则.在中，由余弦定理，，代入得，，，由，则，所以当，即时，取最大值，此时取最大值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量共线的坐标表示即可求解；（2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解.（1）∵向量，，∴，解得.（2）∵向量，∴.∵，∴，解得.16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，已知，，B＝30°.（1）求角A的大小；（2）求△ABC的边的长．答案：（1）或.（2）当时，；当时，.解析：思路：（1）已知两边中的一边及其对角，先由正弦定理求出，再判断角的可能取值.（2）根据角的可能取值，利用正弦定理求解.（1）因为，，B＝30°，由正弦定理，得，所以，又因为，所以，从而，因此或，所以角的大小为或.（2）分两种情况讨论求解：当时，，由正弦定理，得，又因为，所以，当时，，同理由正弦定理，得，又因为，所以，综上，边的长为或.17.已知中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理即可得解；（2）利用三角形面积公式与题干条件得到关于的方程组，解之即可得解.（1）因为，即，所以，又，所以.（2）因为的面积为，，所以，所以，又，，所以，即，化简得，解得，又，所以.18.如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点．（1）求中线AM的长；（2）求的余弦值；（3）求面积．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解；（2）转化为向量夹角余弦值可解；（3）运用重心的性质，结合面积公式可解.（1）因为为BC的中点，，，.（2）因为,，.（3）为中线的交点，为重心，，，，.19.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，（1）求的模长；（2）设，若，求实数的值；（3）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．答案：（1）（2）（3）充要条件为解析：思路：（1）