2025-2026学年四川南江县实验中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的2,43,A. B. C. D.2.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.2 D.3.下列求导结果正确的是（）A.cos1x'C.cos5x'=−sin4.已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（）A.1或 B. C.2或 D.15.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A. B. C. D.46.圆：与圆：的位置关系是（）A.内含 B.外切 C.内切 D.相交7.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A. B. C. D.8.已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（

）A.62 B.169 C.170 D.190二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.过且与直线平行的直线方程为D.过且与直线垂直的直线方程为10.等差数列的前项和为，则（）A. B.C. D.当时，的最小值为1611.已知是函数的极大值点，则（）A.函数的极小值为0B.若，则C.若，则有3个相异的零点D.若（其中），则第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列满足，若，则___________．13.已知等比数列的各项均为正数，且，则__________.14.已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______．四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若，求函数的单调区间．16.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线与轴交于点，且与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的值.17.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．18.已知数列中，，满足.（1）证明数列是等比数列；（2）设，求的通项公式；（3）设，的前项和记为，试证明.19.设函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，若满足，求证：．

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的的一个通项公式（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式.解答过程：将写成，所以该数列各项分子为2,4,8,16,32,⋯，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列，所以此数列的一个通项公式为2n2.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：根据复数的除法运算求出复数，即得答案.解答过程：因为，所以z的虚部为.故选：A.3.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据导数的四则运算以及复合函数的求导法则即可求解.解答过程：对于A，cos1对于B，sinx对于C，cos5对于D，124.已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（）A.1或 B. C.2或 D.1答案：A解析：思路：利用等差中项概念和等比数列通项公式即可求公比.解答过程：因为为，的等差中项，所以，又因为数列为等比数列，设公比为，则有，解得，故选：A.5.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A. B. C. D.4答案：C解析：思路：根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.解答过程：由题意可得，.故选：C6.圆：与圆：的位置关系是（）A.内含 B.外切 C.内切 D.相交答案：B解析：思路：求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出，比较和的大小得到两圆的位置关系.解答过程：：，圆心，半径，：，圆心，半径，，，，圆：与圆：的位置关系是外切.故选：B.7.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.8.已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（

）A.62 B.169 C.170 D.190答案：D解析：思路：利用递推公式，依次令即可求出答案.解答过程：因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得或；当时，，解得或；当时，，解得或或；当时，，解得或或或；当时，，解得或或或或或；所以的所有可能取值为，它们的和为.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.过且与直线平行的直线方程为D.过且与直线垂直的直线方程为答案：AC解析：解答过程：直线，化为斜截式.A：斜率，倾斜角，正确.B：代入得轴截距为，非，错误.C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确.D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误.10.等差数列的前项和为，则（）A. B.C. D.当时，的最小值为16答案：AD解析：思路：设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断.解答过程：设等差数列的公差为d，因为，所以，即，对于A，，故A正确；对于B，，所以，故B错误；对于C，，，所以,故C错误；对于D，，因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确.故选：AD.11.已知是函数的极大值点，则（）A.函数的极小值为0B.若，则C.若，则有3个相异的零点D.若（其中），则答案：ACD解析：思路：根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解.解答过程：对于A中，由函数，可得，因为是的极大值点，所以，解得，所以，可得，当时，，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确；对于B中，当时，，则，因为在区间上单调递减，所以，所以B错误；对于C中，由，且当时，，当时，，可得的图象，如图所示，当时，有3个相异零点，所以C正确；对于D中，因为，要证，只需证明，由在上单调递增，需证明，即当时，证明，构造函数（其中），则，当时，，则在上单调递增，所以，即当时，，所以，所以，所以D正确．故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列满足，若，则___________．答案：解析：思路：根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解．解答过程：，则是周期为3的周期数列，又，.13.已知等比数列的各项均为正数，且，则__________.答案：9解析：思路：应用对数运算结合等比数列下标和性质计算求解.解答过程：因为log3a1+log因为是等比数列，则a5a14.已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______．答案：##解析：思路：根据“新不动点”的定义列方程求解即可.解答过程：由，得，由，得，，得，所以，因为，所以，所以，得，所以在区间上的“新不动点”为.故四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若，求函数的单调区间．答案：（1）极大值为；极小值为（2）单调递增区间为和；单调递减区间为解析：思路：（1）将代入并求导，再根据导数的符号求得函数的单调性，从而找出极值点，进而求出函数的极值；（2）将代入并求导，从而根据导数的符号求得函数的单调性，进而得到函数的单调区间．（1）若，则fx=2则f′令，则或，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，所以在处取得极大值，且极大值为；在处取得极小值，且极小值为f3=−21（2）若，则fx=2则f′令，则或，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为．16.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线与轴交于点，且与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用椭圆的性质求出基本量，进而得到方程即可.（2）利用两点间距离公式结合韦达定理求解即可.（1）因为椭圆的焦点在轴上，且经过点，所以，而离心率为，则，解得，可得，故椭圆方程为.（2）如图，作出符合题意的图形，设，令，可得，则，且，联立方程组，可得，由韦达定理得，，由两点间距离公式得，同理可得，则.17.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，证明即可求证；（2）结合（1）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可得解；（3）先计算平面的法向量，再结合（2）计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系，及同角三角函数的平方关系即可得解．（1）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图，

由正方体的棱长为2，且和分别为和的中点，则，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则A1C1⋅n=2x+2y又，则，又平面，故平面．（2）由（1）可知，平面的法向量为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．（3）由（1）可知，，平面的法向量为，设平面的法向量为，则m⋅AA1=2c=0m⋅所以，则二面角的正弦值为1−cos218.已知数列中，，满足.（1）证明数列是等比数列；（2）设，求的通项公式；（3）设，的前项和记为，试证明.答案：（1）证明见解析（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）对已知递推公式变形构造目标数列，通过等比数列定义验证公比为常数、首项非零，完成证明；（2）利用第一问的结论求出的通项，代入的对数式化简，直接得到​的通项公式；（3）写出通项后用错位相减法求出前项和，通过放缩证明不等式成立.（1）由已知递推式得，变形得an+1

首项a1+1故数列是首项为​、公比为的等比数列；（2）由（1）的结论得：an+1所以bn=log⁡3（3）由题意得cn前项和Sn=13

①②得：23S即2

整理得：因为，所以，因此Sn19.设函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，若满足，求证：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程.（2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不