2025-2026学年四川省广安市华蓥中学高一下册5月期中检测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则的虚部是（）A.1 B. C. D.2.已知向量，若，则实数（）A. B. C.1 D.43.在中，已知，则（）.A. B. C. D.4.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是（）A.1 B.2 C.4 D.85.如图，若，，，点是线段上靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.6.如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（）A. B. C. D.7.在中，，，，若仅一个解时，则（）A. B.C.或 D.无法确定a的范围8.在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）下列图形是正方体表面展开图的是（）A. B.C. D.10.中，，，则（）A. B.的角平分线交AB于D，则C. D.在上的投影向量是11.如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（）A.直线平面 B.平面平面C.三棱锥的体积为18 D.平面截正方体所得的截面是等腰梯形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则__________.13.若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______．14.在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，求：（1）的坐标；（2）的值；（3）的值.16.在中，角所对的边分别为，已知，．（1）求角的大小；（2）求边的长度；（3）求的面积．17.如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．（1）求三棱锥的体积（2）求证：∥平面；18.某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.（1）求岸线上点与点之间的直线距离；（2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）19.已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若，当的周长取最大值时，求的面积；（3）求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则的虚部是（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：根据化简复数，即可根据虚部概念求解.解答过程：由于，所以的虚部为1，故选：A2.已知向量，若，则实数（）A. B. C.1 D.4答案：A解析：解答过程：由向量平行的坐标表示，结合题意得，解得.3.在中，已知，则（）.A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由余弦定理得.4.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是（）A.1 B.2 C.4 D.8答案：C解析：思路：由直观图可以推得原三角形底边长及高，求面积即可.解答过程：由题可知原图中，，，，所以的面积为．故选：C．5.如图，若，，，点是线段上靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由，结合的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解.解答过程：，即，故选：A.6.如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据中截面性质得出圆柱的高和底面半径，然后由圆锥体积减去圆柱体积即得.解答过程：如图，过OP的中点作平行于底面的截面，截面圆半径，是圆锥底面半径，在母线上，因为为中点，则，，所以剩余的几何体的体积为.7.在中，，，，若仅一个解时，则（）A. B.C.或 D.无法确定a的范围答案：C解析：思路：利用正弦定理得，然后根据三角形一解的条件列不等式即可求解.解答过程：中，，，，由正弦定理得，即，可得，根据，且仅一个解时，或，即或，结合，解得或.8.在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长.解答过程：为边上的中线，，即，即，即，.因为，，，，为平分线，，故，又，所以，即，解得，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）下列图形是正方体表面展开图的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据正方体的展开图逐项判断即可.解答过程：通过分析可知，ABD选项均为正方体的表面展开图，C选项不是正方体的表面展开图，因为有一个面会重合.故选：ABD.10.中，，，则（）A. B.的角平分线交AB于D，则C. D.在上的投影向量是答案：ACD解析：解答过程：由余弦定理，得，故，A正确；因为，所以是等腰三角形，平分，所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确；由，，所以，因为是等腰三角形，所以，

，所以C正确；向量在上的投影向量为

，，故投影向量为，所以D正确.11.如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（）A.直线平面 B.平面平面C.三棱锥的体积为18 D.平面截正方体所得的截面是等腰梯形答案：ACD解析：思路：对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断.解答过程：对于A，取的中点，连接，，，则四边形为平行四边形，所以，又平面BMN，平面，所以平面，因为点，为，的中点，所以，又，所以，由，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A正确；对于B，由A可知，平面，经过的平面有且仅有平面平面，因为平面与平面不是一个平面，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得，因为，所以，所以，，，四点共面，所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形，由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则__________.答案：解析：解答过程：由正弦定理，可得.13.若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______．答案：解析：思路：由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可.解答过程：设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为.由题，故，即故（负根舍去），所以.14.在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______．答案：解析：解答过程：在中，点是边上异于端点的一点，，根据向量共线定理，可知，，．，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，求：（1）的坐标；（2）的值；（3）的值.答案：（1）（2）0（3）解析：思路：（1）利用向量线性运算的坐标表示求解.（2）利用数量积的坐标表示求解.（3）利用坐标求出向量的模.（1）由向量，，得a→+2b（2）由向量，，得a→⋅b（3）由向量，，得a→−b所以|a16.在中，角所对的边分别为，已知，．（1）求角的大小；（2）求边的长度；（3）求的面积．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理可求得，可求角的大小；（2）利用勾股定理可求边的长度；（3）由三角形是直角三角形可求的面积．（1）在中，由正弦定理得，又因为，，所以，所以，又因为，所以，所以；（2）由（1）可得，又，所以，所以由勾股定理可得，所以.（3）由（2）知是直角三角形，且，所以.17.如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．（1）求三棱锥的体积（2）求证：∥平面；答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）利用锥体的体积公式即直接求解，（2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证.（1）∵平面，所以三棱锥的高为，所以；（2）连接交于，连接，则为的中点，且为的中点，所以中位线//，且平面，平面，所以//平面.18.某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.（1）求岸线上点与点之间的直线距离；（2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）答案：（1）米（2）55076元解析：思路：（1）由余弦定理计算即可；（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.（1），岸线上点与点之间的直线距离为米.（2）△中，，，，（），设两段网箱获得的经济总收益为元，则，当，即时，（元）所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.19.已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若，当的周长取最大值时，求的面积；（3）求的取值范围．答案：（1）；（2）；