2025-2026学年山西省晋中市榆次区第二中学高三下册模拟预测数学试题 含答案

/数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.6.已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.7.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个内角为的三角形，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）9.已知，，，下列说法正确的是（）A.的最大值为1 B.的最小值为2C.ab的最大值为 D.的最小值为210.在中，角、、的对边分别为、、，且满足，外接圆的直径为1，若，下列说法正确的是（）A. B.C. D.11.如图，在正四棱柱中，．点是侧面上的一个动点（含边界），且BP⃗=λBC⃗+μBB1⃗0≤λ≤1,0≤μA.平面截该正四棱柱所得的截面的周长为B.侧面上存在点，使得平面C.若，则的最小值为D.若，则的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数______.13.北京时间3月1日，2026年女足亚洲杯在澳大利亚正式拉开战幕.本届赛事持续至3月21日，共有12支球队分成、、三组比赛.现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三组进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，其中甲志愿者不去组，则组委会一共有______种安排方法.14.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记较小的锐角为，大正方形的边长为，小正方形EFGH的边长为，点是GC的中点，若，，则______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有.（1）求数列和的通项公式；（2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数.16.某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为.（1）求乙猜2次的概率；（2）记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围；（3）已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.（1）求证：平面平面PAB；（2）若二面角的大小为：（ⅰ）求PA的长；（ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值.18.已知椭圆：的焦距为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：交椭圆于、两点，点满足：（ⅰ）若，且，求直线的方程；（ⅱ）记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值.19.已知函数f(（1）当时，曲线在处的切线在轴上的截距为，求的最小值；（2）若不等式f(x)≥eax（3）当时，证明：函数h(x)=f(

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先解一元二次不等式可得集合，再通过数轴根据两个集合的包含关系求得参数范围.解答过程：因为，所以，所以，则，因为，所以，则，因为，所以，如图：所以.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：因为，所以z=5所以，则在复平面内对应的点为，在第一象限内.3.已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据平均数及方差的计算公式即可求解．解答过程：因为x1=x,因为x2=x所以，即．4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：因为，所以，所以cos2即成立；反之，若，则cos2x=−解得或，所以推不出.故“”是“”的充分不必要条件.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为函数是定义在上的偶函数，且，所以.又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减.所以等价于，解得.6.已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由内切球体积公式求出球的半径，从而得到圆台的高，再利用母线与底面所成的角，求得上、下底面的半径，再结合圆台的体积公式求解.解答过程：作出圆台的轴截面ABCD，如图，设圆台的上底面的圆心为，半径为，下底面的圆心为，半径为，高为，内切球的球心为，半径为.由内切球的体积为，可得，解得，所以圆台的高，因为，所以在中，，，所以，同理求得，所以圆台的体积.7.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，线段的中点在以为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据三角形的中位线性质及双曲线的定义可得.解答过程：依题意，如图，因为是的中点，是的中点，所以是的中位线，因为，所以，因为，因此是等腰三角形，因为，所以，所以，因为，所以，所以.8.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个内角为的三角形，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：联立方程，利用和差公式化简，表示出相邻三点的坐标，然后根据三角形的特征列方程求解即可.解答过程：设三个相邻的交点分别为，，，不妨设，由，得，整理得，所以，所以，，不妨令，0，1，得，，，则，，，所以，，，所以，，，所以，因为是一个内角为的三角形，所以是等边三角形，所以，即，整理得，因为，所以.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）9.已知，，，下列说法正确的是（）A.的最大值为1 B.的最小值为2C.ab的最大值为 D.的最小值为2答案：BD解析：思路：A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解.解答过程：对于A，因为，，，所以12当且仅当12a+1=1此时是最小值不是最大值，故A不正确；对于B，2a当且仅当2a+1=b+1，即对于C，因为，所以，因为，，所以，所以3≥2ab+22ab令2ab=t>0，所以3≥t所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以b+1=4所以a2令2a+1=m所以4a当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确.10.在中，角、、的对边分别为、、，且满足，外接圆的直径为1，若，下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用正弦定理进行边角互化，化简后得到两条边之间的比例；结合外接圆直径条件，将边长用角的正弦表示，代入面积公式建立方程，解出角的正弦值；再通过半角公式和三角恒等变换，逐项验证选项的真伪，最终确定正确选项.解答过程：对于A，因为外接圆的直径为1，所以由正弦定理得，，，因为，所以b2−即，所以，因为，，所以，故A正确；对于B，因为，又，所以12acsin对于C，由A知，所以，则，所以，所以，所以sinC2<又由得，所以sinC=1所以sinC对于D，因为，所以，所以，，所以sinB2+所以，所以sin，故D正确.11.如图，在正四棱柱中，．点是侧面上的一个动点（含边界），且BP⃗=λBC⃗+μBB1⃗0≤λ≤1,0≤μA.平面截该正四棱柱所得的截面的周长为B.侧面上存在点，使得平面C.若，则的最小值为D.若，则的最大值为答案：CD解析：思路：对于A选项，通过线面关系确定截面形状，根据几何体性质计算即可，对于B选项，通过向量运算表示出，根据线面关系判断是否存在，对于C选项，根据给定条件分析得到最小时对应位置关系，通过等面积法即可求解，对于D选项，通过给定条件求出参数条件，求解即可.解答过程：对于A，如图1，取的中点，连接，过点作，交于点，连接，则四边形为平面截该正四棱柱所得的截面，因为四棱柱是正四棱柱，所以四边形为平行四边形，因为，，，所以，，，，，因此平行四边形的周长为，故A不正确；对于B，以为正交基底，建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，F0,2,3，，，，所以，，，，，因为，所以BP=−2λ,若平面，则，即，解得λ=−1μ=1，此时与所以侧面上不存在点，使得平面，故B不正确；对于C，因为，所以，，三点共线，当时，取得最小值，在中，，，所以，则BP=B因此在中，，故C正确；对于D，当时，，由B知BP=4λ化简得，令，，其中0，所以λ+μ=cosθ当时，取得最大值为，此时，所以，，满足题意，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数______.答案：（答案不唯一）解析：解答过程：根据是定义在上的增函数，再结合题意，可以令，则，满足题意（答案不唯一，可以是）.13.北京时间3月1日，2026年女足亚洲杯在澳大利亚正式拉开战幕.本届赛事持续至3月21日，共有12支球队分成、、三组比赛.现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三组进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，其中甲志愿者不去组，则组委会一共有______种安排方法.答案：24解析：思路：根据分类加法计数原理，分类计算求解.解答过程：因为4名志愿者去三个组，每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，则出现1、1、2分组情形，因为甲不去组，则有两种情形，情形1：甲单独一组，则有种安排方法，情形2：甲与乙、丙、丁中的一人组成一组，则有种安排方法，所以组委会一共有24种安排方法.14.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记较小的锐角为，大正方形的边长为，小正方形EFGH的边长为，点是GC的中点，若，，则______．答案：5解析：思路：由几何关系得出，由同角三角函数的平方关系得出，进而得出，即可得出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解．解答过程：在中，|AF|=acos所以b=|因为，，所以cosα−sin两边平方得，即，因为是锐角，所以，，所以sinα将（*）式与（**）式联立解得，，所以，，因为点是的中点，所以|HP|=|HG所以AF=2×1+2×3四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有.（1）求数列和的通项公式；（2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数.答案：（1），（2）8解析：思路：（1）先求出，再得出，再利用条件得出数列的首项和公差即可；（2）利用错位相减法求出，再结合解不等式求出答案.（1）因为，所以，当时，，两项相除得bn=2当时，，所以，满足式，综上所述，，所以，，设数列的公差为，则，解得或，因为，所以，所以；（2）由（1）知，所以单调递增，因为①，②，①－②得，所以，因为，，所以，故满足的最大正整数为8.16.某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为.（1）求乙猜2次的概率；（2）记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围；（3）已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？答案：（1）（2）（3）有理由认定甲是猜谜语高手解析：思路：（1）利用相互独立事件乘法公式计算即可；（2）先分别求出甲，乙两人猜谜语次数的期望，再根据列不等式求解即可；（3）根据求出，再求出甲最终得分的期望，验证是否满足即可判断.（1）记“乙猜2次”为事件，则，所以乙猜2次的概率为；（2）甲猜谜语的次数的可能值为1，2，3，，所以E(乙猜谜语的次数的可能值为1，2，3因为乙每次猜中的概率为，所以，，P(ξ=3)=E(因为，所以p2−3p+3>139因为，所以；（3）因为，则由（2）知p2−3解得或，因为，所以，甲最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3，，，，，所以E(所以E(17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.（1）求证：平面平面PAB；（2）若二面角的大小为：（ⅰ）求PA的长；（ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：(1)通过证明线面平行，从而证明面面平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解空间角的正弦值.（1）在PAD中，、分别是PD、AD的中点，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以，又，是AD的中点，所以，，所以四边形ABCF是矩形，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，因为，平面CEF，平面CEF，所以平面平面PAB；（2）（ⅰ）连接AC，BF，由（1）同理可证四边形BCDF是平行四边形，所以，因为四边形ABCF是矩形，，所以四边形ABCF是正方形，所以，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，又平面PAC，所以PC，PA，所以是二面角的平面角，即，所以，因为四边形ABCF是正方形，且2AB=2所以，所以；（ⅱ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以=(−2,0,2)，，=(−2,2,0)，设平面BCE的一个法向量为，则,所以，取，则，，所以=(1,0,2)，设直线CD与平面BCE所成的角为，所以=|−2|2所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为.18.已知椭圆：的焦距为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：交椭圆于、两点，点满足：（ⅰ）若，且，求直线的方程；（ⅱ）记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值.答案：（1）（2）（ⅰ）或；（ⅱ）解析：思路：（1）根据椭圆的焦距可得c，结合椭圆经过点，得出，即可得到椭圆C的标准方程；（2）（ⅰ）联立直线l与椭圆C的方程，消去y得到关于x的一元二次方程；设，，，得到根与系数的表达式，由，可得M点坐标，结合，解出k，进而得到直线l的方程；（ⅱ）由且M在椭圆C上，将M点坐标代入椭圆方程，结合P、Q在椭圆上的条件，推导得到的关系；利用弦长公式求出，再求出原点到直线l的距离，即可