2025-2026学年四川省绵阳市三台县高一下册期中教学质量调研测试数学试题 含答案

/数学一、单选题：本大题共8小题，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数满足，则的虚部是（

）A. B. C. D.2.已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（）A.振幅是3，初相是 B.振幅是3，初相是C.振幅是4，初相是 D.振幅是4，初相是3.已知向量反向共线，且，则向量的方向（

）A.与向量方向相同 B.与向量方向相同C.与向量方向相同 D.与向量方向相反4.已知向量，，若，则=（

）．A. B. C.8 D.65.在中，点在边上，，记则（

）A. B.C. D.6.已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（

）A. B. C.或 D.或7.如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（）A. B.C. D.8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（

）A. B.2 C. D.1二、多选题：本大题共3小题，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9.下列结论正确的是（

）A.若复数满足，则B.复数在复平面内对应的点在第二象限C.若复数是纯虚数，则实数或D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为10.已知在四边形ABCD中，，且，为的中点.则下列说法正确的有（

）A.四边形的面积为 B.C.的外接圆的周长为 D.11.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（

）A.B.若，则周长的最大值为C.若为锐角三角形，且，则的取值范围为D.若的外心为，则三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知，则的共轭复数是_____．13.已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤.15.潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．（1）根据以上数据，求出函数的表达式及其频率；（2）在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻；16.已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线.（1）求实数的值；（2）若，.（ⅰ）求；（ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标.17.在中，角的对边分别为．已知且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，线段的中点为，求的长．18.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．分别是与方向同向的单位向量（1）若，的夹角为，且，求；（2）在（1）的条件下求的值（3）若，，求；19.阅读下面的两个材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式；在中，所对边分别为请回答下面的问题：（1）若的周长为18，且满足，求这个三角形的面积；（2）若的面积为6，其内切圆半径为1，，求、（3）若，，求面积的最大值.

数学一、单选题：本大题共8小题，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数满足，则的虚部是（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：的虚部为.2.已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（）A.振幅是3，初相是 B.振幅是3，初相是C.振幅是4，初相是 D.振幅是4，初相是答案：B解析：思路：根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得.解答过程：由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是.故选：B3.已知向量反向共线，且，则向量的方向（

）A.与向量方向相同 B.与向量方向相同C.与向量方向相同 D.与向量方向相反答案：B解析：解答过程：由向量反向共线，且，则可得向量的方向与向量方向相同，与向量方向相反，与向量方向相反，故B正确.4.已知向量，，若，则=（

）．A. B. C.8 D.6答案：B解析：解答过程：，，，故，解得.5.在中，点在边上，，记则（

）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可.解答过程：如图，作出符合题意的图形，且，∵，∴，则.6.已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（

）A. B. C.或 D.或答案：D解析：思路：先得到两两夹角为0或，分两种情况，结合投影向量的定义和数量积公式得到答案解答过程：两两的夹角相等，故两两夹角为0或，当两两夹角为0时，故，故向量在向量上的投影向量是，当两两夹角为时，，故向量在向量上的投影向量是，故向量在向量上的投影向量是或.7.如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：在中，由正弦定理得，，得，在直角三角形中，，即可求解.解答过程：解：如图所示：因为，，所以，则，在中，由正弦定理得，，则，得，在直角三角形中，，得.故选：D8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（

）A. B.2 C. D.1答案：A解析：思路：分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值.解答过程：分别表示与同方向的单位向量，故为的平分线所在直线，又，故的平分线所在直线与垂直，由三线合一可得，取的中点，则，，，故，所以为等腰直角三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，，则，故当时，取得最小值，最小值为.二、多选题：本大题共3小题，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9.下列结论正确的是（

）A.若复数满足，则B.复数在复平面内对应的点在第二象限C.若复数是纯虚数，则实数或D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为答案：BD解析：思路：对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示求解；对于C：根据纯虚数的概念列式求解；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解.解答过程：对于A：例如也满足，故A错误；对于B：复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限，故B正确；对于C：若复数是纯虚数，则满足，解得，故C错误；对于D：因为复数满足，则复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．10.已知在四边形ABCD中，，且，为的中点.则下列说法正确的有（

）A.四边形的面积为 B.C.的外接圆的周长为 D.答案：ACD解析：思路：利用三角形面积求解判断A；先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解外接圆半径判断C；建立平面直角坐标系，利用向量夹角坐标公式求解判断B；利用数量积的坐标运算求解判断D.解答过程：连接，，且，则，所以，，所以，所以四边形的面积为，故A正确；连接，在中，由余弦定理可得，设的外接圆的半径为R，则由正弦定理得，即，则外接圆的周长为，故C正确；如图：建立平面直角坐标系，可得，，，所以，又，所以，故B错误；，，所以，故D正确.11.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（

）A.B.若，则周长的最大值为C.若为锐角三角形，且，则的取值范围为D.若的外心为，则答案：ABD解析：思路：A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出.解答过程：A选项，，由正弦定理得，即，，因为，所以，故，A正确；B选项，，由余弦定理得，故，，因为，当且仅当时，等号成立，故，解得，，故的周长最大值为3，B正确；C选项，由正弦定理得，又，，故，若为锐角三角形，且，则，，结合，可得，故，C错误；D选项，若的外心为，则在上的投影向量为，又，故，D正确三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知，则的共轭复数是_____．答案：解析：思路：利用复数除法运算和共轭复数概念即可求解.解答过程：由可得：，所以的共轭复数是，故13.已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______.答案：解析：思路：设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可.解答过程：点，点在线段的延长线上，且，设点的坐标为，则，，且，即，解得，所以点的坐标为．14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________.答案：或解析：思路：根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a即可.解答过程：，整理得，解得或（舍去），或.又∵点P是的重心，，整理得.当时，，得，此时，解得；当时，，得，此时，解得.故或方法提示：本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤.15.潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．（1）根据以上数据，求出函数的表达式及其频率；（2）在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻；答案：（1），频率为；（2）某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为.解析：（1）由表格知，，则，，函数的最小正周期为，故频率为，，故，又，故，故，又，故，解得，故，频率为；（2）当时，，当，即时，取得最小值，最小值为，故的最小值为，当，即时，取得最大值，最大值为1，的最大值为，某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为.16.已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线.（1）求实数的值；（2）若，.（ⅰ）求；（ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标.答案：（1）5（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：（1），又，三点共线，设，则，故，故；（2）（ⅰ）由（1）可知，，故，又，，故；（ⅱ）四边形构成平行四边形，故，又，设，则，故，所以，解得，故点的坐标为17.在中，角的对边分别为．已知且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，线段的中点为，求的长．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理得，求出答案；（2）根据三角形面积和余弦定理可得关系式，再利用向量基本定理可得，两边平方后，计算出答案（1），故，由正弦定理得，又，故，即，因为，所以，故，因为，所以；（2）由，可得，由余弦定理得，即，故，线段的中点为，故，两边平方得，故；18.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．分别是与方向同向的单位向量（1）若，的夹角为，且，求；（2）在（1）的条件下求的值（3）若，，求；答案：（1）；（2）；（3）解析：思路：（1）两边平方后再开方，结合向量数量积运算法则得到答案；（2）转化为进行求解；（3）设两向量夹角为，，根据，得到，根据，得到，从而求出的值（1），故；（2）因为，，分别是与方向同向的单位向量，故，故，，，故，；（3）设两向量夹角为，，，，即，即，即，因为，所以，故，，，则，，故，设，则，故，因为，所以，故，故，，故.19.阅读下面的两个材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式；在中