2025-2026学年永川中学校高三下册第二次模拟考试数学试题 含答案

/数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.2.下列说法错误的是（）A.若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中B.在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好C.若样本数据的平均数为3，则的平均数为10D.一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为73.已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（）A. B.2 C. D.4.记为数列的前项和，已知，则（）A.18 B.54 C.81 D.1625.若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（）A. B. C. D.6.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）A. B. C. D.8.已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知平面向量，则（）A.不垂直B.，使得共线C.当时，D.当时，在方向上的投影向量为10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A.若，则 B.若，则与为异面直线C.若，则 D.若，则11.设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（）A.若对任意的正整数n均有，则为和谐数列B.若为和谐数列，则对任意的正整数n均有C.若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值D.一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12.的展开式中的系数为______________．（用数字作答）13.已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________.14.若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．16.如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．17.已知是函数的极值点.（1）求满足的等量关系式；（2）若，求在上最值.18.高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）．（1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率；（2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为．（ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率；（ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？19.已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且.（1）求的方程；（2）记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点.（i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式；（ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧.

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.解答过程：由题意，，所以,所以.故选：D.2.下列说法错误的是（）A.若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中B.在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好C.若样本数据的平均数为3，则的平均数为10D.一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7答案：D解析：思路：由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误.解答过程：对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确；对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确；对于C，由，则，故C正确；对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误.故选：D.3.已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（）A. B.2 C. D.答案：D解析：思路：设复数，根据题意可得，，即可解决.解答过程：设复数，∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为，∴，，∴．故选:D.4.记为数列的前项和，已知，则（）A.18 B.54 C.81 D.162答案：D解析：思路：结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出.解答过程：由可得当时，，两式相减得，整理得.又由及可得，满足.故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为，代入得.5.若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积．解答过程：设点的坐标为，∵，，动点满足，∴，两边平方化简得，∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，因此，点的轨迹所包围的图形的面积．故选：D6.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题可知，，令，得，则的对称中心为，结合选项可知，图象的一个对称中心为，其它选项不满足.7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.解答过程：设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.8.已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解.解答过程：设，则，由双曲线的定义，可得，所以，又由，因为，所以，在中，由余弦定理得，，即，即，所以，则，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，所以双曲线的离心率为.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知平面向量，则（）A.不垂直B.，使得共线C.当时，D.当时，在方向上的投影向量为答案：ABD解析：思路：对于选项A，可通过向量的数量积进行判断；对于选项B，根据向量的共线性质进行判断；对于选项C，首先求出的坐标，然后求其和的模；对于选项D，首先求出的坐标，然后根据向量的投影公式进行求解.解答过程：因为，则，所以不垂直，所以选项A正确.假设，则，所以，所以当时，共线，所以选项B正确.当时，，所以，所以，所以选项C错误.当时，，所以在方向上的投影向量为.故选.10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A.若，则 B.若，则与为异面直线C.若，则 D.若，则答案：AD解析：思路：运用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可推理A项正确，利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可推理D项正确，B,C两项可以通过举反例说明其错误.解答过程：对于A项，因，经过直线可作平面，使，则，因，则，又，故得，即A项正确；对于B项，若，则与可能相交、平行或异面，故B项错误；对于C项，若，则或，故C项错误；对于D项，因，经过直线可作平面，使，则，又，，则，故得，即D项正确．故选：AD．11.设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（）A.若对任意的正整数n均有，则为和谐数列B.若为和谐数列，则对任意的正整数n均有C.若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值D.一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列答案：ACD解析：思路：先证明等价于.对于选项A，由条件结合数列前项和的定义证明即可判断；对于选项C，设等差数列的公差为，先证明数列是公差为的等差数列，再结合和谐数列的定义证明，根据等差数列求和公式即可判断；对于选项D，举例说明满足条件的数列存在即可判断；对于选项B，根据选项D中所举数列即可判断.解答过程.对于选项A，，，∴数列为和谐数列，故选项A正确；对于选项C，设等差数列的公差为，则由等差数列求和公式可知：，，∴数列是公差为的等差数列.∵等差数列是和谐数列，，，∴关于的二次函数的图象开口向上，则在上一定存在最小值，故选项C正确；对于选项D，对等比数列，取，，则由等比数列的通项公式及求和公式可知，.要证等比数列是和谐数列，只需证，即证，即证，即证.当，时，上式中左边，不等式显然成立；当，时，要证，即证，即证.设，，在定义域上单调递增，，，综上，存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，故选项D正确；对于选项B，由选项D可知存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，此时，，，不满足，故选项B错误.故选：ACD.方法提示：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12.的展开式中的系数为______________．（用数字作答）答案：解析：思路：利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解．解答过程：由二项式的展开式的通项为，其中含项的系数为0，含项的系数为，所以的展开式中的系数为．13.已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________.答案：##解析：思路：设与直线l平行的直线为，与椭圆联立，根据判别式，可得t值，结合两平行线间距离公式，分析计算，即可得答案.解答过程：求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值，设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为，联立，得，判别式，解得，当时，切线为，与直线l的距离，当时，切线为，与直线l的距离.所以的最小值为.故14.若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________.答案：解析：思路：由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围.解答过程：令有且仅有一个根，且，由，显然不可能是零点，则有且仅有一个根，当或，则，令，当，则，令，则，即在上单调递增，由，即使，则，所以上，即，则在上单调递减，上，即，则在上单调递增，而在上恒成立，所以在上恒成立，且其最小值，此时，时，在上无解，即不存在，时，在上有1或2个解，与或唯一性矛盾，当，则，所以在上单调递增，趋向于0时，，趋向于1时，，则；当，则，令在上单调递减，且，趋向于时，，所以；综上，.故四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.16.如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线线平行证明线面平行，进而根据面面平行的判定求证，（2）证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.（1）因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面，又H、G分别为的中点，所以．平面，平面，所以平面，因为FD、平面，，所以平面平面．（2）因为三角形为正三角形，，F为的中点，所以，，所以为二面角的平面角，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．作平面于O，则O在直线上．又二面角的平面角为，所以O在线段的延长线上．由已知得，则，．以F为原点，所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，因为，，所以，则，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则由，，得，令，得．易得平面的一个法向量，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.已知是函数的极值点.（1）求满足的等量关系式；（2）若，求在上最值.答案：（1），且（2），解析：思路：（1）求导数，由是的极值点，可知，即，令，解得两根，再根据与3的大小关系，讨论两根的关系，进而验证是的极值点是否成立，进一步明确对的限制；（2）当时，得到的解析式，求导数，令，解得两根，再列表，判断在各区间的单调性，计算出极值和端点值，即可求出在上最值.（1）.因为是的极值点，所以，即，即，所以，令，解得或，①当时，，所以在和上单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值，符合题意；②当时，恒成立，所以在上单调递减，此时无极值，不符合题意；③当时，，所以在和上单调递减，在单调递增，所以当时，取得极大值，符合题意.综上，所以，且；（2）因为，所以当时，，，.令，解得或，012000-2所以，.18.高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）．（1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率；（2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为．（ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率；（ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？答案：（1）（2）（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项解析：思路：（1）按照古典概型公式计算；（2）（ⅰ）按照全概率公式计算；（ⅱ）分别按照选1个选项、选2个选项、选3个选项得分的所有可能结果，然后求出对应的概率，分别计算这3种情况的学期望进行比较即可.（1）记“随机选择2个选项得6分”为事件A．从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果，正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为．（2）（ⅰ）记