2025-2026学年渝北中学高一下册期中质量监测数学试题 含答案

/数学总分150分，考试时长120分钟一、单项选择题：．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则（）A. B. C. D.82.如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（）A.直线 B.直线 C.直线 D.直线3.如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（）A. B. C. D.4.已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：①若，，则或；②若，，则；③若，，，，则；④若，，，则或与异面以上命题正确的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.②④5.已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.6.直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（）A. B. C. D.37.在中，角，，的对边分别为，，满足，，分别是与，同向的单位向量，，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰（非等边）三角形或直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形8.若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（）A. B. C.8 D.9二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得09.下列叙述中正确的是（）A.已知，，若，则B.若，，则在方向上的投影向量的坐标为C.若，，，则点的坐标为D.若，则与同向的单位向量的坐标为10.在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（）A.点的轨迹经过线段的中点B.点的轨迹长度为C.直线与直线为异面直线D.三棱锥的体积为定值11.在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（）A.是的充要条件B.若，则为等腰三角形C.若为锐角三角形，则D.已知，，若有两解，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将腰长为的等腰直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得旋转体的体积为______．13.已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．14.在平面四边形中，是等边三角形，，在直线两侧，，（，为常数），则当四边形的面积取得最大值时，______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出义学说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，满足：，，与的夹角．（1）求；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的值．16.如图，在直三棱柱中，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．17.记中，角，，的对边分别为，，，．（1）求的大小；（2）若，的周长为6，求的面积；（3）若，求的最大值．18.在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足：，．（1）证明：；（2）若，，求的值；（3）求的取值范围（以下公式供选用：）．19.如图，在中，点在线段上，为等边三角形．（1）若，，，，求线段的长度；（2）若，，，求线段长度的最大值；（3）若，，平分，设与内切圆半径分别为与，求的取值范围．

数学总分150分，考试时长120分钟一、单项选择题：．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则（）A. B. C. D.8答案：B解析：解答过程：因为向量，，所以.2.如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（）A.直线 B.直线 C.直线 D.直线答案：C解析：思路：根据异面直线的定义判断ABD；根据线线平行可证四点共面，即可判断C.解答过程：由图可知：直线、直线、直线均与直线异面，故ABD错误；连接，由题意可知：，，则，可知四点共面，所以直线与直线不是异面直线，故C正确.3.如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：平行四边形．中，，，为的中点，所以.4.已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：①若，，则或；②若，，则；③若，，，，则；④若，，，则或与异面以上命题正确的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.②④答案：C解析：解答过程：对于①，若，，则或，所以①正确；对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误；对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误；对于④，若，，，则或与异面，所以④正确.5.已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意结合圆台侧面积公式求上下底面半径以及母线长，进而可得圆台的高，即可得体积.解答过程：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为，则，解得，则，所以该圆台的体积为.6.直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（）A. B. C. D.3答案：C解析：解答过程：将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图在左图中，由于，，得是等边三角形，故．在右图中，．两点之间线段最短，连接，最小为．7.在中，角，，的对边分别为，，满足，，分别是与，同向的单位向量，，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰（非等边）三角形或直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案：D解析：解答过程：由，得，故．由倍角公式，化简得，又由可得，由余弦定理，代入，化简得，即，故是等边三角形．8.若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（）A. B. C.8 D.9答案：A解析：思路：分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.解答过程：因为，即，可知点是的重心，则，因为三点共线，则，且，可得，又因为，则，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得09.下列叙述中正确的是（）A.已知，，若，则B.若，，则在方向上的投影向量的坐标为C.若，，，则点的坐标为D.若，则与同向的单位向量的坐标为答案：ABD解析：解答过程：对于选项A：因为，，若，则，所以，故A正确；对于选项B：若，，则，，所以在方向上的投影向量的坐标为，故B正确；对于选项C：若，，，则点为线段的中点，对应的坐标为，即为，故C错误；对于选项D：若，则，所以与同向的单位向量的坐标为，故D正确.10.在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（）A.点的轨迹经过线段的中点B.点的轨迹长度为C.直线与直线为异面直线D.三棱锥的体积为定值答案：ACD解析：思路：取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解.解答过程：如图，取的中点，连接，，则，且平面，平面，所以平面.又因为是中点，则，且平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，所以点的轨迹为线段（不含端点）.对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误；对于C，因为平面，平面，，所以直线与直线为异面直线，故C正确；对于D，因为平面，点是棱的中点，则，所以D正确；11.在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（）A.是的充要条件B.若，则为等腰三角形C.若为锐角三角形，则D.已知，，若有两解，则的取值范围是答案：ACD解析：思路：利用大角对大边、正弦定理可判断A选项；利用正弦函数的单调性与对称性可判断B选项；正弦函数性质结合锐角三角形定义可判断C；利用正弦定理判断D.解答过程：对于A选项，由和大角对大边，得，A对；对于B选项，因为、，则、，因为，所以或或，若，则；若，则；若，则，这与的内角和定理矛盾.综上所述，为等腰或直角三角形，B错；对于C，若为锐角三角形，则，则，因函数在上单调递增，所以，同理可得，则成立，故C正确；对于D，，根据正弦定理，因为有两解，则，解得，则的取值范围是，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将腰长为的等腰直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得旋转体的体积为______．答案：##解析：解答过程：可知所得旋转体为两个共底面的圆锥的组合体，且底面半径为1，高为1，所以所得旋转体的体积为.13.已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．答案：解析：思路：设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积．解答过程：因为，则，可知的外接圆半径，设该球的半径为，则，即，解得，所以该球的表面积是.14.在平面四边形中，是等边三角形，，在直线两侧，，（，为常数），则当四边形的面积取得最大值时，______．答案：解析：思路：设，利用余弦定理整理可得，结合面积公式整理可得四边形的面积，进而分析最值.解答过程：设，在中，由余弦定理可得，则四边形的面积，因为，则，当，即时，取到最大值，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出义学说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，满足：，，与的夹角．（1）求；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据数量积可得，根据数量积的运算律求模长；（2）根据向量垂直可得，根据数量积的运算律运算求解；（3）根据向量平行可知存在实数满足，结合平面向量基本定理运算求解.（1）因为，，与的夹角，则，可得，所以.（2）因为，则，即，解得.（3）因为，则存在实数满足，可得，解得，所以.16.如图，在直三棱柱中，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）设，连接，可得，进而可得线面平行；（2）根据题意可知点到平面的距离相等，转换顶点结合锥体体积公式运算求解.（1）设，连接，由题意可知：为的中点，且为的中点，则，且平面，平面，所以平面.（2）由题意可知：为的中点，则点到平面的距离相等，则三棱锥的体积.17.记中，角，，的对边分别为，，，．（1）求的大小；（2）若，的周长为6，求的面积；（3）若，求的最大值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用射影定理得到，再结合诱导公式与三角形性质求解即可.（2）结合题意得到，再利用余弦定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可.（3）利用余弦定理得到，再结合基本不等式建立不等式，进而求解最大值即可.（1）因为，所以由射影定理得，得到，则，则，而，得到，解得.（2）因为，的周长为6，所以，由余弦定理得，则，即，解得，则.（3）由已知得，则由余弦定理得，则，即，令，可得，即，由基本不等式得，当且仅当时取等，则，解得.18.在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足：，．（1）证明：；（2）若，，求的值；（3）求的取值范围（以下公式供选用：）．答案：（1）证明见详解（2）（3）解析：思路：（1）根据题意利用余弦定理结合倍角公式可得，进而分析证明即可；（2）根据题意可得，，进而可得；（3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合余弦函数有界性运算求解.（1）因为，由余弦定理可得，则，且，则，可得或，若，且，则，与题意相矛盾，所以.（2）因为，由正弦定理可得，即，且，则，可得，且，所以.（3）由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，解得，则，可得，所以的取值范围为.19.如图，在中，点在线段上，为等边三角形．（1）若，，，，求线段的长度；（2）若，，，求线段长度的最大值；（3）若，，平分，设与内切圆半径分别为与，求的取值范