2025-2026学年四川省宜宾市南溪第一中学校高三下册基地班下册模拟预测（二）数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知全集为，集合，，则（）A. B.C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知函数及其导函数定义域均为，则“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（）A.18种 B.24种 C.48种 D.60种6.已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（）A.2 B.3 C. D.7.2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则在上的投影向量为10.已知的面积为，若，则（）A. B.C. D.11.在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则（）A.若直线经过点，则的最小值为1B.若线段的中点坐标为，则直线的斜率为C.若直线经过坐标原点，则D.若点在椭圆上(点与不重合)，且，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________.13.已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________.14.已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____．15.已知各项均不为零的数列，且满足.（1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和；（2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明.16.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）.（1）求的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程.17.人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.18.已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD.（1）若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：；（2）若平面平面PDC.（i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；（ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由.19.已知函数，（1）求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若且，求证：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的乘法运算化简后得解.解答过程：因为，所以的虚部为，故选：A2.已知全集为，集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由集合利用对数运算得出集合，然后利用集合交并补运算即可.解答过程：因为，所以，所以，故，故选：C.3.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据平方关系和商数关系求出，再由二倍角公式求解，利用诱导公式化简求值.解答过程：因为，，所以，由，解得，因为，所以，，由，即解得，所以.故选：B.4.已知函数及其导函数定义域均为，则“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：利用中心对称、轴对称的意义及复合函数求导法则，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.解答过程：由函数图象关于中心对称，得，求导得，即，因此函数图象关于直线轴对称；令函数，则，函数图象关于直线轴对称，而函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得，又函数的图象关于点中心对称，因此函数图象关于中心对称，所以“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的充分不必要条件.故选：A5.国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（）A.18种 B.24种 C.48种 D.60种答案：B解析：思路：先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出.解答过程：若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种，因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种.故选：B6.已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（）A.2 B.3 C. D.答案：B解析：思路：利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差.解答过程：因为，当时，，两式相减，得，即，故公比为2，所以，而当时，得，所以等比数列的通项公式为，，所以，，公差为．故选：B7.2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解.解答过程：设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则，，所以.故选：B8.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.解答过程：因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则在上恒成立，所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，故当时，，所以，函数在上为减函数，由可得，即，解得或.故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则在上的投影向量为答案：BCD解析：思路：根据向量平行时坐标的关系，代数计算，可判断A的正误；根据向量垂直时坐标的关系，代数计算，可判断B的正误；根据求模公式，结合条件，代数计算，可判断C的正误；根据投影向量的求法，代数计算，可判断D的正误.解答过程：选项A：若，则，即，故A错误；选项B：若，则，解得，故B正确；选项C：若，则，解得，即，故C正确；选项D：若，则，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：BCD10.已知的面积为，若，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：由整理可得或，再由，判断出，判断出A选项的真假；当时，由，可得的值，判断出B选项的真假；由的面积结合可得AC的值，判断出C的真假；由余弦定理可得AB的值，判断出D选项的真假．解答过程：因为，所以，可得，则有，所以，有或，即或.若，则，得，显然不成立，所以不成立，故A错误；若，则，由，有，所以，因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以为锐角，则.可得，.又的面积为，则，即，解得，即，故C正确；由余弦定理，，所以，故D正确.故选：BCD11.在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则（）A.若直线经过点，则的最小值为1B.若线段的中点坐标为，则直线的斜率为C.若直线经过坐标原点，则D.若点在椭圆上(点与不重合)，且，则答案：ACD解析：思路：对A，过左焦点的弦长最小值为通径长；对B，利用中点弦斜率点差法可求；对C，利用椭圆对称性可得，根据基本不等式即可求解；对D，通过角度关系得到斜率的关系，再与椭圆方程联立可求点，利用可求.解答过程：对A，过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确；对B，设，在椭圆上，则，，两式相减得，∵的中点坐标为，∴，∴，故B错误；对C，直线经过坐标原点，椭圆，，，由椭圆对称性，所以，，当且仅当，，故C正确；对D，设，根据对称性不妨取点在第一象限，，，∵，∴，即，整理得，又，代入得，解得，∴，，，故D正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________.答案：解析：思路：设上底面半径为，结合题意得母线，下底面半径为，再结合侧面积求得，最后计算体积即可.解答过程：如图，根据题意，，，所以，在中，，，设上底面半径为，则下底面半径为，所以圆台的侧面积为，解得所以圆台的体积为故13.已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________.答案：##解析：思路：首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值.解答过程：，设直线l与曲线切于点，则，得，所以直线l的方程为，设直线l与曲线切于点，则，所以点在直线l上，故，得.故14.已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____．答案：2解析：思路：由双曲线第三定义得，分别找到直线斜率计算即可解答过程：设，，由题意得，，因为，所以，，又，即，两边平方并整理得，即，所以，由双曲线第三定义得，即，整理得，解得故215.已知各项均不为零的数列，且满足.（1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和；（2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）先应用已知转化为得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解；（2）先应用累乘法求出通项公式，再应用裂项相消法计算证明.（1）由数列各项均不为零，且，所以，因为是公比为的等比数列，所以，因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以；（2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以，即，当，且时，，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以.16.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）.（1）求的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量关系求出点A坐标，代入抛物线方程可得；（2）求出直线BF，AF的方程，设为的角平分线所在直线上任一点，利用点到直线的距离公式可得.（1）因为，所以，所以，设，则，解得.因为点在上，所以，所以，所以.（2）由（1）知，所以直线的方程为，又，所以直线的方程为，即.由抛物线的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数.设为的角平分线所在直线上任一点，则有，若，得，其斜率为负，不合题意，舍去.所以，即，所以的角平分线所在直线的方程为.17.人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.答案：（1）（2）（3）分布列见解析，解析：思路：（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解；（2）由条件概率求解公式可得；（3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望.（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件，A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，则；（2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，则；由条件概率公式可得；（3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件，则，，，的可能取值为，则，，，，所以X的分布列如下：0123数学期望为.18.已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD.（1）若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：；（2）若平面平面PDC.（i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；（ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析（2）（i）；（ii）不存在，理由见解析解析：思路：（1）首先证明平面PAD，利用线面平行的性质即可证明结论；（2）（i）以点A为坐标原点，所在的方向为轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系，分别求出平面PAD与平面PBC的法向量，利用向量夹角公式求解即可；（ii）假设四棱锥存在内切球，内切球的半径为，根据棱锥内切球半径公式求得，且求出，计算球心到平面PBC的距离与半径比较即可得到结论.（1）因为底面ABCD是平行四边形，故平面PAD，可得平面PAD，又因为平面PBC，平面平面，所以.（2）在平面PAD内过点作于点，因为平面平面PDC，所以平面PDC，故，又因为，又因为，