2025-2026学年云南九师联盟高三下册5月联考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则实数（）A.0 B.1 C.0或1 D.22.若复数，则（）A. B. C. D.3.设向量，，，若，，，则（）A. B. C.2 D.34.已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5.若等比数列的前项和为，且，，则（）A. B. C. D.6.若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（）A.2 B. C. D.47.已知，，，都是锐角，则（）A. B. C. D.8.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称C.的值域为 D.在定义域上单调递减10.设函数，则下列说法正确的是（）A.若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则B.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为C.若函数在上单调递增，则的取值范围是D.若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是11.如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的外接球的表面积是B.三棱锥体积的最大值为C.二面角为直二面角时，的长为D.二面角为直二面角时，点到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中常数项为______．13.若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________．14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某公司考察了A，B两个项目进行投资，记A，B两个项目的利润分别为X（万元），Y（万元），经过风险评估，得到X，Y的分布列如下：X（万元）–1001030Y（万元）01020P0.10.30.40.2P0.30.50.2（1）求A，B两个项目的利润的期望；（2）求A，B两个项目的利润的方差，并比较方差的大小．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若边，求的面积S的最大值．17.如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，E为棱的中点．（1）证明：；（2）若点F在棱上，且，求平面和平面夹角的余弦值．18.已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求面积的最大值．19.设函数，．（1）求的图象在点处的切线方程；（2）证明：；（3）设，，数列的前项和为，证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则实数（）A.0 B.1 C.0或1 D.2答案：A解析：思路：根据集合相等的关系求解．解答过程：∵集合，，若，∴，得.2.若复数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的定义得到，进而求解即可．解答过程：由，则，所以．3.设向量，，，若，，，则（）A. B. C.2 D.3答案：D解析：思路：先将转化为坐标方程组，然后求解，进而可得.解答过程：因为，所以，即，解得，所以.4.已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可解答过程：由题圆C：，圆心，圆心到直线l：的距离为，若l与C有公共点，则5.若等比数列的前项和为，且，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题可知，，，则，故，代入得：，解得.6.若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（）A.2 B. C. D.4答案：B解析：思路：联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式计算即得.解答过程：将代入，得，设，则，由，解得，于是原点到直线的距离为.7.已知，，，都是锐角，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，，得，，两式相加得，，则，即，则，因为，都是锐角，所以，则，即.8.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分别构造函数和，利用导数讨论其单调性可得.解答过程：将用变量x替代，则，，，其中，令，则，令，则，则在上单调递减，且，，所以，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．又，，则，则在上单调递增，则，即，所以，记，，则，在上单调递增，又，所以，所以.综上，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称C.的值域为 D.在定义域上单调递减答案：ABC解析：思路：先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可.解答过程：因为，对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确；对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为，而，因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确；对于C：因为，所以，即的值域为，故C正确；对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减，不能说在整个定义域上单调递减，例如：取，有，不符合单调递减定义，故D错误.10.设函数，则下列说法正确的是（）A.若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则B.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为C.若函数在上单调递增，则的取值范围是D.若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是答案：BD解析：思路：对于A，结合余弦函数的性质可得，进而结合余弦型函数的周期公式求解判断即可；对于B，先根据函数的平移求得函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性判断即可；对于C，根据余弦函数的单调性列不等式组求解判断即可；对于D，结合余弦函数的图象、极值点、零点的定义求解判断即可.解答过程：对于A，因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以，则，即，故A错误；对于B，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，因为所得函数图象关于原点对称，所以，则，又，则时，取得最小值，故B正确；对于C，当，时，，因为函数在上单调递增，所以，，则，，又，则，，即的取值范围是，故C错误；对于D，当，时，，因为函数在上恰有两个极值点和三个零点，所以，则，即的取值范围是，故D正确.11.如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的外接球的表面积是B.三棱锥体积的最大值为C.二面角为直二面角时，的长为D.二面角为直二面角时，点到平面的距离为答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用直角三角形射影定理求出，确定三棱锥的外接球球心及半径判断A；求出最大体积判断B；利用空间向量求出线段长判断C；利用等体积法求出点到平面距离判断D.解答过程：在矩形中，由，得，又于，则，而，解得，，对于A，取中点，连接，则，点是三棱锥的外接球球心，球半径，该球表面积是，A正确；对于B，由，得，，当且仅当平面平面，即平面时，点到平面的距离最大，因此三棱锥体积的最大值为，B正确；对于C，，，由二面角为直二面角，得，由，得，C错误；对于D，由选项C知，，在中，由余弦定理得，则，，二面角为直二面角时，由选项B得，设点到平面的距离为，因此，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中常数项为______．答案：60解析：解答过程：的展开式的通项为，，1，2，…，6，令，得，所以的展开式中常数项为．13.若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________．答案：解析：思路：首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可.解答过程：已知，进而.令，设其两个根为，由题意.二次方程有两个不等正根，则，解得或，则实数的取值范围.14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________．答案：解析：思路：分别记和的内切圆为，其半径分别为，则；由双曲线的定义及切线的性质，可得和的内切圆圆心的连线与垂直，且，从而求得，由二倍角的正切公式可求得，即直线的斜率，与渐近线斜率比较，并结合，求得关系式，进而得到离心率的取值范围.解答过程：设双曲线的焦距为，则.分别记和的内切圆为，其半径分别为，则，所以.设与切于点，则又，所以.即点坐标为，同理，与切于点，即三点共线，且.所以，所以.又所以，所以，所以，.所以，即直线的斜率为.所以，即，即，所以，所以的离心率的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某公司考察了A，B两个项目进行投资，记A，B两个项目的利润分别为X（万元），Y（万元），经过风险评估，得到X，Y的分布列如下：X（万元）–1001030Y（万元）01020P0.10.30.40.2P0.30.50.2（1）求A，B两个项目的利润的期望；（2）求A，B两个项目的利润的方差，并比较方差的大小．答案：（1）万元，万元．（2），，所以解析：解答过程：（1）由题意知（万元）（万元）．（2），，所以．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若边，求的面积S的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解.（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解.（1）在中，由及正弦定理，得，则，而，因此，即，又，所以.（2）由（1）知，而，由余弦定理，得，则，当且仅当时取等号，，所以的面积S的最大值为.17.如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，E为棱的中点．（1）证明：；（2）若点F在棱上，且，求平面和平面夹角的余弦值．答案：（1）连接，．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以是二面角的平面角，即．因为四边形是菱形，所以，，所以是等边三角形，又为的中点，所以，又，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解析：思路：（1）利用面面垂直、菱形性质找到CD的两条垂线AD和DE，即可锁定CD垂直平面ADE，从而证明CD垂直AE（2）利用第一问线面垂直条件建系，通过求两平面法向量，利用向量夹角公式取绝对值，快速解出平面夹角余弦值（1）略.（2）由（1）知平面，，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示．令，则，，，，，，，，由，得，设平面的一个法向量为，则，即，令，则．，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为18.已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求面积的最大值．答案：（1）（2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，，由，得，，所以，．因直线的斜率分别为，因为则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ）解析：思路：（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程；（2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值.（1）由可得①由点在上，则②联立①②得，，所以椭圆C的方程为；（2）（ⅰ）略（ⅱ）因，则，令，设，则，所以在上单调递减，则，故当，即时，取到最大值.19.设函数，．